สุ่มรอบ lattice ที่หลีกเลี่ยงตัวเองภายในกล่องขอบเขตที่กำหนด

ในการเชื่อมต่อกับSlither เชื่อมโยงปริศนาฉันได้รับการสงสัย: สมมติว่าผมมีตารางของตารางเซลล์และผมต้องการที่จะหาวงจรที่เรียบง่ายของขอบตารางสม่ำเสมอที่สุ่มในทุกรอบเป็นไปได้ง่าย$n\times n$

วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือใช้ลูกโซ่มาร์คอฟซึ่งรัฐเป็นชุดสี่เหลี่ยมที่มีขอบเขตเป็นวัฏจักรที่ง่ายและช่วงการเปลี่ยนภาพประกอบด้วยการเลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบสุ่มเพื่อพลิกและเก็บการพลิกเมื่อชุดสี่เหลี่ยมที่ดัดแปลงยังคงมีวัฏจักรง่ายๆ ขอบเขตของมัน ใครจะได้รับจากวงจรง่าย ๆ กับคนอื่น ๆ ในลักษณะนี้ (ใช้ผลมาตรฐานเกี่ยวกับการมีอยู่ของเปลือกหอย) ดังนั้นในที่สุดสิ่งนี้ก็แปรเปลี่ยนเป็นการแจกแจงแบบเดียวกัน แต่เร็วแค่ไหน?

อีกวิธีหนึ่งคือมีห่วงโซ่มาร์คอฟที่ดีกว่าหรือเป็นวิธีโดยตรงสำหรับการเลือกวงจรง่าย ๆ ?

การทางพิเศษแห่งประเทศไทย: ดูโพสต์บล็อกนี้สำหรับรหัสในการคำนวณจำนวนรอบที่ฉันกำลังมองหาและตัวชี้ไปที่ OEIS สำหรับตัวเลขเหล่านี้บางส่วน อย่างที่เรารู้การนับนั้นเกือบจะเหมือนกับการสร้างแบบสุ่มและฉันอนุมานจากการขาดรูปแบบที่ชัดเจนใด ๆ ในความเป็นจริงของตัวเลขเหล่านี้และการขาดสูตรในรายการ OEIS ที่ไม่น่าจะมีวิธีการแบบง่าย ๆ . แต่นั่นก็ยังคงทิ้งคำถามว่าเชนนี้มาบรรจบกันได้เร็วแค่ไหนและมีห่วงโซ่ที่เปิดกว้างกว่านี้หรือไม่

ดูเหมือนว่าเนื่องจากคุณใช้การนับสำหรับจำนวนรอบในกราฟเพื่อเลือกรอบแบบสุ่มเท่านั้นหากคุณมีการประมาณแบบสุ่มสำหรับตัวเลขนี้คุณจึงยังคงสามารถเลือกรอบได้อย่างสม่ำเสมอ

โปรดทราบว่าจำนวนรอบในกราฟซึ่งมี edge ( u , v )เท่ากับจำนวนรอบในG - ( u , v )บวกจำนวนเส้นทางแบบง่ายจากuถึงvในG - ( u , v ) . ดังนั้นด้วยการประมาณเวลาพหุนามสำหรับจำนวนของเส้นทางu - vการประมาณเวลาพหุนามสามารถทำได้โดยการเพิ่มขึ้นทีละGเพื่อเพิ่มขึ้นทีละGโดยประมาณเมื่อคุณไป $G$$(u, v)$$G - (u, v)$$u$$v$$G - (u, v)$$u$$v$$G$

จริง ๆ แล้วฉันคิดว่ามีวิธีที่ตรงไปตรงมามากขึ้นสำหรับการเลือกรอบ ให้เป็นกราฟทั้งหมดของขอบรอบn × nตารางสี่เหลี่ยม สำหรับแต่ละขอบ( U , V )พบว่าจำนวนรอบที่มีที่ขอบ (ซึ่งเป็นหมายเลขของยู - วีเส้นทางในG - ( U , V ) ) จากนั้นสุ่มเลือกขอบถ่วงน้ำหนักตามจำนวนรอบที่มี นี่จะเป็นขอบแรกในรอบการสุ่มที่คุณเลือก ขอบอื่น ๆ ทั้งหมดจะถูกเลือกโดยการขยายขอบหนึ่งครั้ง$G$$n \times n$$(u, v)$$u$$v$$G$$(u, v)$

สมมติว่าคุณได้เลือกเส้นทางที่เป็นส่วนหนึ่งของวงจรการสุ่มของคุณ ให้ชุดของจุดบนเส้นทางนี้จะเป็นและปล่อยให้วีsและวีอีจะ endvertices ของเส้นทาง ปล่อยให้Nเป็นชุดของเพื่อนบ้านของv eซึ่งไม่ได้อยู่ในC (โปรดทราบว่ามีเพียง 3 ในกราฟนี้โดยเฉพาะ) สำหรับแต่ละยู∈ Nนับจำนวนของยู - วีsเส้นทางในกราฟเหนี่ยวนำให้เกิดG [ V - ( C - { V s , วี$C$$v_s$$v_e$$N$$v_e$$C$$u \in N$$u$$v_s$ ] แล้วเลือกเพื่อนบ้านยูของวีอีถ่วงน้ำหนักในเส้นทางนับเพียง เพิ่ม edge ( v e , u )ลงในพา ธ ที่คุณเลือกโดยขยายออกไปทีละอัน$G[V - (C - \{v_s, v_e \} ) ]$$u$$v_e$$(v_e, u)$

ด้วยวิธีนี้มีการเลือกจำนวนขอบพหุนามแต่ละอันต้องใช้การคำนวณจำนวนเล็กน้อยของอัลกอริทึมการประมาณเวลาพหุนาม ดังนั้นรอบสามารถเลือกอย่างสม่ำเสมอ

ขณะนี้ฉันมีคำถาม stackexchange ที่ขออ้างอิงสำหรับอัลกอริทึมการนับจำนวนอย่างรวดเร็ว ฉันได้อ่านในไม่กี่ที่ที่อัลกอริทึมเหล่านี้มีอยู่ แต่ยังไม่พบพวกเขา