สามารถขยาย P = NP เกิน P = PH ได้หรือไม่?

ในความซับซ้อนเชิงพรรณนาอิมเมอร์แมนมี

ข้อพิสูจน์ 7.23 เงื่อนไขต่อไปนี้เทียบเท่า:
1. P = NP
2.เหนือขอบเขต จำกัด โครงสร้างที่ได้รับคำสั่ง FO (LFP) = SO

สิ่งนี้สามารถคิดได้ว่าเป็น "การขยาย" P = NP ไปยังคำสั่งที่เทียบเท่ากับคลาสที่ซับซ้อนกว่า โปรดทราบว่า SO จับภาพลำดับชั้นของพหุนาม PH และ FO (LFP) จับ P ดังนั้นนี่อาจเป็น P = NP iff P = PH

(ส่วนที่น่าสนใจของนี่คือคำสั่งที่ P = NP หมายถึง P = PH; มันเป็นเรื่องเล็กน้อยที่ P = CC หมายถึง P = NP สำหรับคลาส CC ใด ๆ ที่มี NP Immerman เพียงแค่พูดว่า "ถ้า P = NP แล้ว PH = NP" อาจเป็นเพราะ P = NP สามารถใช้กับคำจำกัดความ oracle ของ PH เพื่อแสดง inductively ที่ลำดับชั้นทั้งหมดยุบ)

คำถามของฉันคือ:

วิธีนี้สามารถขยาย P = NP ได้อีกมากในลักษณะนี้

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง CC ที่มีขนาดใหญ่ที่สุดที่รู้จักกันดีคืออะไรที่ P = NP หมายถึง P = CC 'และ CC ที่เล็กที่สุดในระดับนั้นที่ P = NP หมายถึง CC = NP? สิ่งนี้จะทำให้ P = NP ถูกแทนที่ด้วยคำถามที่เทียบเท่า CC = CC ' P ดูเหมือนจะเป็นคลาสที่ค่อนข้างมีพลังซึ่งดูเหมือนจะให้ "ห้องเลื้อย" เล็ก ๆ น้อย ๆ สำหรับการโต้เถียงที่พยายามแยกมันออกจาก NP: ห้องเลื้อยสามารถขยายได้มากแค่ไหน?

แน่นอนว่าฉันจะสนใจอาร์กิวเมนต์ที่แสดงว่า P = PH เป็นข้อ จำกัด ของวิธีการนี้

แก้ไข:บันทึกคำถามที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดเพราะเหตุใด P = NP จึงไม่แปลว่า P = AP (เช่น P = PSPACE) ซึ่งมุ่งเน้นไปที่ทิศทางอื่นทำไมเราไม่มีหลักฐานที่ P = PSPACE คำตอบที่นั่นโดย Kaveh และ Peter Shor ยืนยันว่าจำนวนตัวเลือกที่ได้รับการแก้ไขเป็นกุญแจสำคัญ คำถามที่เกี่ยวข้องอีกข้อคือปัญหาการตัดสินใจที่ไม่รู้ว่าอยู่ใน PH แต่จะอยู่ใน P ถ้า P = NPซึ่งถามถึงปัญหาของผู้สมัคร คำตอบที่มียังสามารถใช้เพื่อสร้างคำตอบสำหรับคำถามนี้แม้ว่าชั้นเรียนเหล่านี้จะค่อนข้างเทียม (ขอบคุณ Tsuyoshi Ito สำหรับการชี้เรื่องนี้) ในการตั้งค่าทั่วไปที่มากขึ้นการยุบของทัวริงและขอบเขตการสลับเครื่อง ถามว่าการล่มสลายในพื้นที่ในระดับใด ๆ ในลำดับชั้นสำรองจะทำให้เกิดการล่มสลายขึ้นหรือไม่เช่นเดียวกับลำดับชั้นของเวลาพหุนาม

— András Salamon
แหล่งที่มา

ที่เกี่ยวข้อง (ไร้ยางอายโปรโมชั่นด้วยตนเอง): ปัญหาการตัดสินใจที่ไม่เป็นที่รู้จักที่จะอยู่ใน PH แต่จะอยู่ใน P ถ้า P

— Tsuyoshi Ito

เป็นวิธีการอย่างเป็นทางการสิ่งที่อยู่ในภาษา P ถ้า P = NP รีแกนนำระดับเอชซับซ้อนภาษา

อยู่ใน H และถ้าหากอยู่ใน L P

เมื่อเทียบกับทุก oracle

เพื่อให้ P

= NP O

ดังนั้น

อยู่ใน H ถ้าคำสั่ง P = NP

L

$L$

^{O}

$^O$

O

$O$

^{O}

$^O$

^{O}

$^O$

L

$L$

P สัมพันธ์กัน PH

Alternations เวลา

)

จากทฤษฎีบทดะและบางส่วนของ lemmas ในทฤษฎีบทโทดะก็ยังเป็นความจริงที่ H

ทุกคิว

(โดยทั่วไป oracle ใด ๆ ที่สร้างความพึงพอใจ P

= NP

ให้ใหม่ขอบเขตบนเอชจะเปิดให้บริการไม่ว่าจะเป็น H = PH.)

⟹ L \in

$\implies L \in$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

(O (\log \log n), p o l y)

$(O(\log \log n), \rm{poly})$

\subseteq

$\subseteq$

^{{m o d}_{q} P}

$^{\rm{mod}_q \rm{P}}$

q

$q$

^{O}

$^O$

^{O}

$^O$

— รัสเซลล์อิมพากเลียซโซ

@ รัสเซล: ขอบคุณ! ความคิดเห็นนั้นฟังดูเหมือนคำตอบ

— András Salamon

H

$H$

ให้ f (n) เป็นฟังก์ชันใด ๆ ที่ไม่มีขอบเขต H ไม่ได้อยู่ใน Alternations-Time (f (n), poly) และถ้าคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่า P = NP หมายถึง P = Alternations-Time (f (n), poly) ดังนั้น NP จะแตกต่างจาก L

— Fortford

คำตอบ:

จากความคิดเห็นของรัสเซล Impagliazzo :

$\mathsf{P}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{H}$ $L$ $\mathsf{H}$ $L$ $\mathsf{P}^O$ $O$ $\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$ $L$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies L\in\mathsf{P}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{H} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\lg\lg n),\mathsf{poly})$ $\mathsf{H} \subseteq \mathsf{P}^{\mathsf{mod}_q \mathsf{P}}$ $q$ $\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{H}=\mathsf{PH}$

และจากความคิดเห็นของ Lance Fortnow :

$f(n)$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}=\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{L}$

$\mathsf{H}$

Kenneth W. Regan " ชุดดัชนีและการนำเสนอของคลาสที่ซับซ้อน ", 1999

— Kaveh
แหล่งที่มา

f (n) = \lg \lg n

$f(n) = \lg \lg n$

ฉันสับสนเกี่ยวกับบางสิ่ง ทำไม Josh Grochow ถึงไม่ตอบคำถามก่อนหน้านี้ในหัวข้อนี้ ( cstheory.stackexchange.com/a/2039/1575 ) ก็ตอบคำถามของ Regan ด้วยเช่นกัน? นั่นคือเหตุผลที่ไม่ให้ตัวอย่างของภาษา L ที่อยู่ใน P ถ้า P = NP โดยอาร์กิวเมนต์ relativizing แต่นั่นไม่ได้อยู่ใน PH ถ้า P! = NP? แล้วทำไมมันถึงไม่แสดงให้เห็นว่าถ้า P! = NP แล้ว H ก็ใหญ่กว่าค่า PH อย่างเคร่งครัด?

— Scott Aaronson

จริงๆแล้วคำตอบที่เป็นไปได้เกิดขึ้นกับฉัน ในการก่อสร้างของ Grochow คำจำกัดความของภาษา L จะขึ้นอยู่กับ oracle O หรือไม่?

— Scott Aaronson

P^{O} = N P^{O}

$P^O = NP^O$

L

$L$

L

$L$

O

$O$

O

$O$

P^{O} \neq N P^{O}

$P^O \neq NP^O$

L

$L$

O

$O$

2^{Σ^{*}}

$2^{\Sigma^*}$

— Joshua Grochow

$\Sigma^P_k$ $k$

$M$ $x$ $y$ $\mathsf{NP}$

$Cook(M, \vec{n}, t)$ $M$ $s(\vec{n},t) \in \mathsf{poly}$ $M$ $\vec{n}$ $t$

$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $A$ $p\in\mathsf{poly}$

$s_i$ $i$ $s_{i+1} = s\circ p(s_i)$ $k$ $q(n) = (s \circ p)^k(n)$ $n$ คือขนาดของสูตร TQBF ที่กำหนดเป็นอินพุต

$k$ $q(n) \in \mathsf{poly}$ $\mathsf{P}$

$k \in \omega(1)$ $q(n)$ $n^{2^{O(k)}}$ $k = \lg \lg n$ $k = \lg n$

$C$

T ⊢ P = N P \to P = C

$T \vdash \mathsf{P} = \mathsf{NP} \to \mathsf{P}=C$

T

$T$

Z F C

$\mathsf{ZFC}$

P \neq N P

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

$C$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{H}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

$\mathsf{BPP} = \mathsf{PP}$ $\mathsf{IP} = \mathsf{PSpace}$

ฉันยังพบความคิดว่ามีวิธีที่ถูกต้องเพียงวิธีเดียวในการ relativizing ปัญหาระดับความซับซ้อนซึ่งก่อให้เกิดความเข้าใจผิดมากมาย (เช่นการคิด relativization เป็นการทำงานของคลาสความซับซ้อนในความรู้สึกเชิงมิติของพวกเขา) ไม่ใช่คลาสของฟังก์ชันหรือภาษา) ฉันคิดว่าการดูความสัมพันธ์ตามกรอบการคำนวณที่ได้รับการแก้ไขแล้ว (มีประโยชน์) นั้นมีประโยชน์มากกว่า วิธีนี้มีวิธีที่มีประโยชน์มากมายในการจัดคลาสเรียนที่ซับซ้อน (ตามความตั้งใจ) ในการรับข้อมูลใด ๆ เกี่ยวกับการตั้งค่าที่ไม่เกี่ยวข้องจากกรอบความสัมพันธ์เราจำเป็นต้องมีหลักการถ่ายโอนบางชนิดคล้ายกับหลักการถ่ายโอนในการวิเคราะห์ที่ไม่ได้มาตรฐาน. โปรดทราบว่าการเลือกวิธีการเฉพาะสำหรับ relativization สำหรับคลาสที่รักษาความสัมพันธ์ที่รู้จักระหว่างคลาสไม่ให้หลักการถ่ายโอน (นี่คือเกณฑ์หลักที่มักใช้ในวรรณคดีเพื่อตัดสินว่าอะไรคือ "relativization ที่ถูกต้องของคลาส")

— Kaveh
แหล่งที่มา

ฉันเห็นด้วยกับ "การดูความสัมพันธ์เป็นกรอบการคำนวณแบบโต้ตอบมีประโยชน์มากขึ้นในความคิดของฉัน" ในบางวิธี การนำเสนอของความสัมพันธ์สามารถทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นโดยเริ่มจากสถานการณ์ที่มีการให้เครื่อง (ที่มีการเข้าถึง oracle แบบโต้ตอบ) ก่อนและฝ่ายตรงข้ามสามารถเลือกภาษาสำหรับพยากรณ์ได้ จากนั้นหนึ่งสถานการณ์จะเปลี่ยนไปเป็นภาษาออราเคิลที่ซับซ้อน (ซับซ้อน) ก่อนและตอนนี้เครื่องจักรสามารถปรับให้เข้ากับโลกที่ได้รับจากออราเคิลที่เฉพาะเจาะจง

— Thomas Klimpel