เมอร์ลินสามารถโน้มน้าวให้อาเธอร์เกี่ยวกับผลรวมบางอย่างได้หรือไม่?

เมอร์ลินผู้ซึ่งมีทรัพยากรการคำนวณมากมายต้องการโน้มน้าวอาเธอร์ว่า สำหรับกับและ การคำนวณผลรวมนี้ในวิธีที่ตรงไปตรงมา (การยกกำลังแบบแยกส่วนและการเพิ่ม) ใช้เวลา

ม. | \underset{พี \leq ยังไม่มีข้อความ, พี สำคัญ}{Σ} {พี}^{k}

$m|\sum_{p\le N,\ p\text{ prime}}p^k$

(N, m, k)

$(N,m,k)$

k = O (\log N)

$k=O(\log N)$

m = O (N) .

$m=O(N).$

ใช้การคูณแบบอิง FFT * แต่อาร์เธอร์สามารถใช้งาน

ได้เท่านั้น

N (\log \log N)^{2 + o (1)}

$N(\log\log N)^{2+o(1)}$

O (N)

$O(N)$

(สัญลักษณ์เพื่อความเข้ากันได้กับคำถามรุ่นก่อนหน้านี้: ให้ผลรวมเท่ากับแล้วคำถามคือเป็นจำนวนเต็ม) $m\alpha$ $\alpha$

เมอร์ลินสามารถโน้มน้าวให้อาเธอร์ด้วยความยาวหรือไม่? ถ้าไม่เขาสามารถโน้มน้าวให้อาเธอร์ด้วยหลักฐานเชิงโต้ตอบ (แน่นอนว่าการสื่อสารทั้งหมดต้องเป็น ) ถ้าเป็นเช่นนั้น Merlin สามารถใช้สตริงที่มีความยาวหรือไม่? อาเธอร์สามารถใช้เวลาหรือไม่? $O(N)$ $O(N)$ $o(N)$ $o(N)$

อาร์เธอร์ไม่สามารถเข้าถึง nondeterminism หรือเครื่องมือพิเศษอื่น ๆ (วิธีควอนตัม, ออราเคิลนอกเหนือจากเมอร์ลิน ฯลฯ ) แต่มีพื้นที่หากจำเป็น แน่นอนว่าอาร์เธอร์ไม่จำเป็นต้องคำนวณผลรวมโดยตรงเขาเพียงแค่ต้องเชื่อว่าสาม (N, m, k) ทำให้สมการเป็นจริงหรือเท็จ $O(N)$

โปรดทราบว่ามีมันเป็นไปได้ในการคำนวณผลรวมในเวลาโดยใช้Lagarias-Odlyzkoวิธี สำหรับผลรวมนั้นยอดเยี่ยมมากดังนั้นจึงไม่สามารถจัดเก็บได้โดยตรง (โดยไม่มีเช่นการลดแบบแยกส่วน) แต่ก็ไม่ชัดเจนว่ามีอัลกอริทึมแบบเร็วอยู่หรือไม่ $k=0$ $O(N^{1/2+\varepsilon})$ $k>0$

ฉันจะสนใจอัลกอริทึมใด ๆ ในการคำนวณผลรวม (แบบแยกส่วนหรืออย่างอื่น) นอกเหนือจากการเพิ่มกำลังโดยตรงและการเพิ่ม

* หมายเลข เพื่อคำนวณเวลาสำหรับการคำนวณแต่ละครั้ง $N/\log N$ $\lg k\log N(\log\log N)^{1+o(1)}=\log N(\log\log N)^{2+o(1)}$

— ชาร์ลส์
แหล่งที่มา

โพสต์ที่เกี่ยวข้องใน Math.SE

— Hsien-Chih Chang 張顯之

ใช่ที่เกี่ยวข้อง ความแตกต่างที่สำคัญคือคำถาม math.SE ถือว่า Merlin มีทรัพยากรการคำนวณเป็นศูนย์และอันนี้ถือว่าเขามีทรัพยากรที่ไม่ได้ จำกัด

— ชาร์ลส์

เวลาที่ต้องใช้ในการทดสอบแบบดั้งเดิมเป็นอย่างไร

— Peter Shor

@Charles: ฉันไม่เห็นว่า

ปรับสเกลสำหรับการนับจำนวนเฉพาะ คุณช่วยได้ไหม ฉันคิดว่ามันต้องใช้การปรับยอดเยี่ยม ตะแกรงของ Eratosthenes ให้อัลกอริทึม

\sqrt{N}

$\sqrt{N}$

O (N^{2})

$O(N^2)$

— Joe Fitzsimons

อัลกอริทึมเกิดจาก Lagarias & Odlyzko มีการอธิบายเช่นdtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/analytic.pi.of.x.pdf (และไม่ใช่

แต่

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt N)$

)

\tilde{O} (\sqrt{N}) .

$\tilde{O}(\sqrt N).$

— Charles

คำตอบ:

ฉันกำลังโพสต์ข้อความนี้แยกจากกรณีพิเศษก่อนหน้าของฉันเพราะฉันเชื่อว่ามันเป็นแนวทางที่แตกต่างกับปัญหาและมีความสัมพันธ์เพียงเล็กน้อยกับคำตอบอื่น ๆ ของฉัน อาจไม่ใช่สิ่งที่คุณกำลังมองหา แต่มันง่ายและเข้าใกล้

มีหลักฐานที่อาร์เธอร์จะยอมรับเสมอเมื่อหลักฐานนั้นถูกต้อง แต่จะปฏิเสธด้วยความน่าจะเป็น )นี่คือวิธีการทำงาน: เมอร์ลินส่งอาร์เธอร์คู่สำหรับแต่ละนายกNอาร์เธอร์ตรวจสอบยอดรวม (สละเวลา $\frac{1}{(\log \log N)^{2+o(1)}}$ $(p_i,c_i = p_i^k\mbox{ mod }m)$ $p\leq N$ $O(N/\log(N)) \times O(\log(N)) = O(N)$ ) อาร์เธอร์ตรวจสอบว่าจำนวนที่ถูกต้องของจำนวนเฉพาะเป็นแหล่ง (โดยการคำนวณ ) ซึ่งเป็น sublinear ในNสุดท้ายสำหรับคู่สุ่มเขายืนยันว่าเป็นสำคัญและเมตรนี้ต้องใช้เวลา )จด $\pi(N)$ $N$ $S N$ $p$ $p_i^k \equiv c_i \mbox{ mod }m$ $SN~O((\log \log N)^{2+o(1)})$ เราได้รับการปรับสเกลเวลาเชิงเส้น ดังนั้นเศษส่วนของคู่ทั้งหมดจะถูกตรวจสอบ หากสิ่งเหล่านี้ล้มเหลวแน่นอนว่าอาเธอร์จะปฏิเสธ สำหรับอาร์เธอร์ที่จะยอมรับการพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้องจะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งคู่ที่ล้มเหลวหนึ่งในสองการทดสอบนี้ (หรือจำนวนคู่ต้องน้อยกว่าซึ่งถูกตรวจสอบก่อนหน้านี้) ดังนั้นในฐานะที่เป็นส่วนของทุกคู่มีการตรวจสอบการทดสอบจะล้มเหลวสำหรับหลักฐานที่ไม่ถูกต้องกับความน่าจะเป็นอย่างน้อยS $S = (\log \log N)^{-(2+o(1))}$ $S$ $\pi(N)$ $S$ $S$

โปรดทราบว่าสำหรับขนาดใหญ่การคาดเดาแบบสุ่มดีกว่ามากซึ่งประสบความสำเร็จกับความน่าจะเป็น $N$ ) $\frac{1}{m} = \frac{1}{O(N)}$

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา

หากการโพสต์คำตอบสองข้อเป็นการปฏิบัติที่ไม่ดีโปรดแจ้งให้เราทราบและฉันจะรวมพวกเขา ฉันแยกพวกเขาออกจากกันเมื่อพวกเขาเพิ่งมาหาฉันและแตกต่างอย่างสิ้นเชิงเมื่อเทียบกับคำตอบแรก

— Joe Fitzsimons

สบายดีกับฉัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในคำถาม CW มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะมีคำตอบมากมาย

— Suresh Venkat

@Suresh: ใช่ฉันรู้ แต่นี่ไม่ใช่ CW และฉันไม่ต้องการเจอตัวแทนหญิงโสเภณี

— Joe Fitzsimons

คำตอบที่ดีมาก มัน maxes ออกทรัพยากรทั้งสอง - สตริงเมอร์ลินเป็น

และอาเธอร์ใช้

เวลา Nitpick: การยืนยันจำนวนเฉพาะบุคคลจะใช้เวลานานเกินกว่าที่คุณจะได้รับ แต่แน่นอนว่าอาร์เธอร์สามารถสร้างพวกเขาทั้งหมดและเปรียบเทียบกับรายชื่อของเมอร์ลิน (กำหนดให้เป็นระเบียบ)

Θ (N)

$\Theta(N)$

Θ (N)

$\Theta(N)$

— ชาร์ลส์

@JoeFitzsimons: มันดี :) ถ้าคำตอบทั้งสองสมควรได้ตัวแทนที่คุณจะได้รับคะแนนคู่ :)

— Suresh Venkat

นี่เป็นคำตอบสำหรับปัญหาที่ไม่ได้ใช้ Merlin เลย

Deléglise-Dusart-Roblot [1] ให้อัลกอริทึมที่กำหนดจำนวน primes ขึ้นไปที่สอดคล้องกันแบบโมดูโลในเวลาปรับเปลี่ยนขั้นตอนวิธีการของ Lagarias-Odlyzko [2] ช่วยให้เดียวกันกับที่จะคำนวณได้ในเวลา $x$ $l$ $k,$ $O(x^{2/3}/\log^2x).$ $O(x^{1/2+o(1)}).$

โดยใช้วิธีใดพบจำนวน primes ในชั้นเรียนตกค้างทุกช่วงเวลาพอควรจนผลิตภัณฑ์ของตนเป็นใหญ่กว่าสำหรับไพรม์แต่ละอันนำจำนวนทั้งหมดของจำนวนเฉพาะในแต่ละคลาสของสารตกค้างที่ระดับของสารตกค้างไปยังกำลังของ -th นี่ให้ค่าของ $m.$ $q,$ $k$

\sum_{\overset{p \leq N}{p prime}} p^{k} (\mod q) .

$\sum_{\stackrel{p\le N}{p\text{ prime}}}p^k\pmod q.$

ใช้เวลาที่เหลืออยู่จีนทฤษฎีบทในการกำหนดมูลค่าของทุนเฉลี่ย $2\cdot3\cdots\log m.$

โดยนายกรัฐมนตรีจำนวนทฤษฎีบทสำคัญที่ใหญ่ที่สุดที่จำเป็นคือดังนั้นนี้จะช่วยให้ผลรวมในเวลา $(1+o(1))\log m,$ $O(N^{1/2+o(1)}).$

อ้างอิง

[1] Marc Deléglise, Pierre Dusart, และ Xavier-François Roblot, นับจำนวนเฉพาะในชั้นเรียนที่เหลือ , คณิตศาสตร์การคำนวณ 73 : 247 (2004), หน้า 1565-1575 ดอย 10.1.1.100.779

[2] JC Lagarias และ AM Odlyzko, คอมพิวเตอร์ : วิธีการวิเคราะห์ $\pi(x)$ , วารสารอัลกอริทึม 8 (1987), หน้า 173-191

[3] ชาร์ลส์คำตอบ MathOverflow (ใช่นี่คือบุคคลเดียวกันดูคำตอบอื่น ๆ ที่นั่นสำหรับวิธีการที่แตกต่างกัน)

— ชาร์ลส์
แหล่งที่มา

$k$ $k=x \phi(m)$ $x$

$\phi(m)$ $m$ $N$ $p^{x \phi(m)} \equiv 0 \mbox{ mod } m$ $p|m$ $p^{x \phi(m)} \equiv 1 \mbox{ mod } m$ $k=x \phi(m)$ $\sum_{p \leq N, p~prime} p^{k} \equiv \pi(N) - y \mbox{ mod } m$ $y$ $m$ $\pi(N)$ $N$

$1<N<m$ $m\alpha$ $1<\pi(N)<m$

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา