จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราปรับปรุงทฤษฎีบทลำดับชั้นเวลา

โดยสรุปแล้วทฤษฎีลำดับชั้นของเวลาบอกว่าเครื่องทัวริงสามารถแก้ปัญหาได้มากขึ้นหากมีเวลาในการคำนวณมากขึ้น ในรายละเอียดสำหรับฟังก์ชั่น deterministic TM และฟังก์ชันที่สร้างขึ้นได้ตามเวลา$f,g$กับ$f(n) \log f(n) = o(g(n))$มันคือ

$$DTIME(f(n)) \subsetneq DTIME(g(n))$$ และสำหรับ nondeterministic TM และ ฟังก์ชันที่สร้างเวลาได้$f,g$พร้อม$f(n+1)=o(g(n))$มันคือ $$NTIME(f(n)) \subsetneq NTIME(g(n)).$$ มีผลลัพธ์จำนวนมาก (เก่าและปัจจุบัน) ซึ่งใช้ทฤษฎีลำดับชั้นของเวลาเพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่า นี่คือคำถามของฉัน:

• จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ที่ดีขึ้นสำหรับกรณีที่กำหนดขึ้นได้หรือไม่?

• หากเราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีช่องว่างระหว่างลำดับชั้นของเวลาที่กำหนดไว้และลำดับชั้นของเวลา nondeterministic สิ่งนี้หมายความว่า$P \neq NP$หรือไม่

เกี่ยวกับคำถามที่สองของคุณ ไม่มีที่จะได้หมายความ$P \neq NP$NP ทฤษฎีบทลำดับชั้นส่วนใหญ่มีประโยชน์ในการกำหนดจำนวนของทรัพยากรเดียวที่จำเป็นโดย TM เพื่อให้สามารถแก้ไขปัญหาเพิ่มเติมได้

ตัวอย่างเช่นเรารู้ว่า(n) ให้ , ,เช่นนั้นและn))f ( n ) = n g ( n ) h ( n ) f ( n + 1 ) = o ( g ( n ) ) f ( n ) l o g ( f ( n ) ) = o $DTIME(n) \neq NTIME(n)$$f(n) = n$$g(n)$$h(n)$$f(n+1) = o(g(n))$$f(n)log(f(n)) = o ( h(n) )$

จากทฤษฎีลำดับชั้นมันตามที่และ(n)) ภายใต้สมมติฐานเหล่านั้นเป็นไปได้N T I M E ( f ( n ) ) ⊊ N T I M E ( h ( n ) ) N T I M E ( g ( n ) ) ⊆ D T $DTIME( f(n) ) \subsetneq DTIME( g(n) )$$NTIME ( f(n) ) \subsetneq NTIME( h(n) )$$NTIME( g(n) ) \subseteq DTIME( h(n) )$

ทฤษฎีลำดับชั้นสามารถนำมาใช้เพื่อกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างทรัพยากรได้รับความเท่าเทียมกันระหว่างพวกเขา ตัวอย่างเช่นสมมติว่า (n) เรารู้ว่าสำหรับเช่นที่ไม่สามารถเท่ากับเนื่องจากทฤษฎีบทลำดับชั้นของ NTIMEN $NTIME(2^{n}) = SPACE( n )$g ( n ) 2 n + 1 = o ( g ( n ) ) S P A C E ( n $NTIME( g(n) )$$g(n)$$2^{n+1} = o(g(n))$$SPACE(n)$

ลำดับชั้น thms ยังเป็นเรื่องเกี่ยวกับความต่อเนื่องในเวลาและพื้นที่ (พิจารณาแยกต่างหาก) และดูเหมือนว่าเป็นไปได้ที่ความต่อเนื่องไม่ได้มากกว่า "แกรนูล" มากกว่าที่บอกเป็นนัยในทฤษฎีบทนั่นคือพวกมันอาจจะดีที่สุด

คำถามที่สองของคุณดูเหมือนไม่ชัดเจนหรืออาจไม่ชัดเจนถ้าคุณไม่สามารถกำหนดความหมายของคำว่า "ช่องว่าง" ได้ดีขึ้น ปัญหาที่แก้ได้ทั้งหมดสามารถแก้ไขได้ที่ใดที่หนึ่งในลำดับชั้นทั้งสอง ความยากลำบากคือการกำหนดความสัมพันธ์ หนึ่งใน "ช่องว่าง" ที่หายากหรือแยกในทฤษฎีปัจจุบันได้รับการพิสูจน์ในเวลาที่กำหนดอย่างแน่นอนเทียบกับเวลา nondeterministic [1] ดู [2] สำหรับคำถามที่คล้ายกัน & ความก้าวหน้า "ล่าสุด"$\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$

[1] PPST1983 http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1382850

[2] NTIME (n ^ k) ≠ DTIME (n ^ k)?