อัลกอริธึมแบบพหุนามสำหรับ UPB (ฐานผลิตภัณฑ์ที่ไม่สามารถแก้ไขได้)

พิจารณาพื้นที่ของฮิลแบร์ต $H = H_1 \otimes \dots \otimes H_n$. พื้นฐานผลิตภัณฑ์ที่ไม่สามารถแก้ไขได้ (UPB) คือชุดของเวกเตอร์ผลิตภัณฑ์$\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle$ ดังนั้น:

a) ทั้งหมด $\vert v_i \rangle$ เป็นมุมฉากซึ่งกันและกัน

b) ไม่มี orthogonal ของเวกเตอร์ผลิตภัณฑ์ทั้งหมด $\vert v_i \rangle$

c) พื้นฐานเป็นสิ่งที่ไม่น่าสนใจเช่นไม่ขยาย $H$

(ฐานดังกล่าวเป็นที่สนใจในข้อมูลควอนตัม)

คำถาม:

1. มีอัลกอริทึมพหุนาม (ใน $n$) สำหรับการหา UPBs? (โปรดทราบว่าโดยทั่วไปไม่มีข้อ จำกัด ด้านบนกับขนาดของ UPB ดังนั้นค่าเริ่มต้นอาจเป็นเลขชี้กำลัง$n$)

2. มีอัลกอริทึมแบบพหุนามสำหรับตรวจสอบว่าพื้นฐานผลิตภัณฑ์ที่กำหนดเป็น UPB หรือไม่ (เช่นไม่สามารถอธิบายได้)

หรือปัญหา NP-complete?

ฉันรู้สึกงุนงงเล็กน้อยโดยคำถาม (1) มีผลิตภัณฑ์พื้นฐานที่ไม่สามารถแก้ไขได้$H_1 \otimes H_2 \otimes \ldots \otimes H_n$ ถ้า $n\geq 3$ หรือถ้า $n=2$ และ $\dim H_1, \dim H_2 \geq 3$. ในทุกกรณีมันเป็นเรื่องง่ายที่จะค้นหา

สำหรับคำถาม (2) คำถามนั้นเทียบเท่ากับการตรวจสอบว่ามีสถานะผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ในพื้นที่ย่อยซึ่งเป็นส่วนเติมเต็มของพื้นที่ที่ครอบคลุมโดยพื้นฐานหรือไม่ Leonid Gurvits ได้แสดงให้เห็นว่าการตรวจสอบว่าพื้นที่ย่อยทั่วไปมีสถานะผลิตภัณฑ์เทนเซอร์เป็น NP-hard หรือไม่ดังนั้นฉันจึงสงสัยว่ากรณีนี้จะยากเช่นกัน

จำแนกเต็มยังเป็นที่รู้จักสำหรับกรณี 3x3 ง่ายอื่นนี้เป็น addressed แรกในกระดาษhttp://arxiv.org/abs/quant-ph/9808030

ผลที่ได้ยังเกี่ยวข้องกับการก่อสร้างโดยพลการ 3x3 PPT เข้ารัฐอันดับที่สี่ ดูกระดาษ

http://arxiv.org/abs/1105.3142