หลักฐานเชิงโต้ตอบผ่านการเลือกโพสต์?

กำหนดรูปแบบการคำนวณ MPostBQP ให้เหมือนกับPostBQPยกเว้นว่าเราอนุญาตให้มีการวัด qubit จำนวนมากในเชิงพหุนามก่อนการเลือกหลังและการวัดสุดท้าย

เราสามารถให้หลักฐานใด ๆ ที่ระบุว่า MPostBQP มีประสิทธิภาพมากกว่า PostBQP หรือไม่

กำหนด MPostBQP [k] เพื่ออนุญาตการวัดหลายรอบและการเลือกโพสต์ก่อนที่เราจะทำการวัดขั้นสุดท้าย เลือกการจัดทำดัชนีดังนั้น MPostBQP [1] = PostBQP และ MPostBQP [2] = MPostBQP และอื่น ๆ (อัปเดต: คำจำกัดความที่เป็นทางการได้รับด้านล่าง)

พิจารณาเกมของ Arthur-Merlin บางทีเราสามารถจำลองพวกมันในรูปแบบการคำนวณนี้: การเลือกกระทู้สามารถใช้บทบาทของเมอร์ลินในการสร้างข้อความที่น่าเชื่อถือและการวัดระดับกลางสามารถใช้บทบาทของเหรียญสาธารณะของอาเธอร์ได้ ความเป็นไปได้นี้ทำให้ฉันถาม:

เรามี AM [k] $\subset$ MPostBQP [k]

เรื่องนี้เป็นที่รู้จักกันอย่างแน่นอน $k=1$ซึ่งพูดว่า MA $\subset$PP เพื่อแสดงมันให้$k=2$ จะหมายถึง MPostBQP = PP เฉพาะเมื่อ AM $\subset$PP เนื่องจากมี oracle ที่เกี่ยวข้องซึ่งไม่มี AM อยู่ใน PPนี่อาจเป็นคำตอบที่ยืนยันสำหรับคำถามแรกของฉัน

ในที่สุดสำหรับพหุนามหลายกรณี

เรามี PSPACE หรือเปล่า $\subset$MPostBQP [โพลี] ถ้าเป็นเช่นนั้นมันคือความเท่าเทียมกัน?

นี่จะเป็นเรื่องที่น่าสนใจทางปรัชญา (อย่างน้อยสำหรับฉัน) เพราะมันจะบอกเราว่าปัญหาที่ "น่าสนใจ" สำหรับ "การเลือกนักเวทย์" ซึ่งรวมถึงPSPACE ทั้งหมด(หรือเป็น )

แก้ไข: ฉันถูกขอคำจำกัดความอย่างเป็นทางการของ MPostBQP (ฉันได้อัปเดตสิ่งต่อไปนี้แล้ว)

MPostBQP [k] เป็นคลาสของภาษา $L \subset \{0,1\}^*$ ซึ่งมีวงจรตระกูลควอนตัมขนาดพหุนามขนาดเท่ากัน $\{C_n\}_{n \geq 1}$ เช่นนั้นสำหรับอินพุตทั้งหมด $x$ขั้นตอนด้านล่างให้ผลเป็นจริงด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อย $2/3$ ถ้า $x \in L$และมีโอกาสมากที่สุด $1/3$ ถ้า $x \notin L$. ขั้นตอนซึ่งจะช่วยให้ตัวเลือกบางอย่างซึ่งอาจขึ้นอยู่กับ$L$ (แต่ไม่ $x$) ถูกกำหนดดังนี้:

ขั้นตอน: ขั้นตอนที่ 1.ใช้ตัวดำเนินการรวมที่เกี่ยวข้อง$C_n$ ไปที่สถานะอินพุต $\left\vert 0\cdots 0\right> \otimes \left\vert x \right>$. บันทึกความยาวของอันแรก$\left\vert0\cdots 0\right>$ register เป็นพหุนามที่ยาวที่สุด $x$. ขั้นตอนที่ 2สำหรับ$i = 1 \cdots k$: ถ้า $i$คือเท่ากันจากนั้นวัดจำนวน qubits ใด ๆ ที่ต้องการจากการลงทะเบียนครั้งแรก (มากที่สุดที่มีหลายชื่อตามขนาดของการลงทะเบียน) ถ้า$i$ แปลกแล้วโพสต์เพื่อเลือก qubit เดียวในมาตรการการลงทะเบียนครั้งแรกเป็น $\left\vert 0 \right>$(และมีการรับประกันว่าความน่าจะเป็นไม่ใช่ศูนย์ดังนั้นการเลือกข้อความถูกต้องแน่นอน) ขั้นตอนที่ 3ในที่สุดวัด qubit สุดท้ายในการลงทะเบียนครั้งแรกและกลับมาจริงถ้าเราวัด$\left \vert 1 \right>$ และเท็จอย่างอื่น

เรามี MPostBQP [0] = BQP, MPostBQP [1] = PostBQP และ MPostBQP: = MPostBQP [2] ฉันกำลังพยายามสะท้อนคลาสอาร์เธอร์ - เมอร์ลินที่ซึ่ง AM [0] = BPP, AM [1] = MA, และ AM [2] = AM

แก้ไข (3/27/11 17.00 น.): ดูเหมือนว่าจะมีการถกเถียงกันเกี่ยวกับวิธีการเลือกโพสต์ในบริบทนี้ เห็นได้ชัดว่าฉันหมายถึงคำจำกัดความที่ไม่ทำให้คำถามของฉันเล็กน้อย! :) คำจำกัดความที่ฉันได้สันนิษฐานไว้มีดังต่อไปนี้: การเลือกโพสต์บน kth บิตหมายความว่าเราคาดการณ์สถานะในพื้นที่ย่อยที่ kth บิตเป็น$0$และทำให้ปกติ ปรากฎว่าในรูปแบบที่เราโพสต์ก่อนที่เราจะทำการวัดแล้วเราสามารถรับสถิติขั้นสุดท้ายได้โดยดูที่ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขในรูปแบบที่โพสต์ที่ถูกแทนที่ด้วยการวัด อย่างไรก็ตามฉันอ้างว่าลักษณะนิสัยนี้พังลงเมื่อการวัดและการเลือกโพสต์สลับกัน ฉันคิดว่าความสับสนเกิดขึ้นจากคนที่ใช้คำจำกัดความความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขนี้ (ซึ่งทำงานในกรณีพิเศษที่ฉันสรุปได้ทั่วไป) เป็นคำจำกัดความของการเลือกโพสต์แทนคำจำกัดความ "การวัดแบบบังคับ" ที่ฉันให้ สั่งซื้อเพราะขาดการสับเปลี่ยน ฉันหวังว่านี่จะช่วยได้!

แก้ไข (3/27/11 21.00 น.): ฉันกำหนดการโพสต์ในพิธีการบริสุทธิ์แล้ว นีแอลทำการวิเคราะห์ในพิธีการเมทริกซ์ความหนาแน่นที่ไม่เห็นด้วยกับฉันสำหรับตัวอย่าง 3-qubit ผู้กระทำผิดคือความหมายของ postselection อีกครั้ง กำหนด postselection ในการตั้งค่าความหนาแน่นเมทริกซ์ดังนี้ รับเมทริกซ์ความหนาแน่น$M$เขียนใหม่เป็นส่วนผสมของสถานะที่แบ่งแยกได้ $M = \sum p_i \left\vert a_i \right> \left< a_i \right\vert$. ปล่อย$\left\vert A_i \right>$เป็นผลลัพธ์ของ postselection (ในบาง qubit) โดยใช้พิธีการบริสุทธิ์ที่ฉันกำหนดไว้ข้างต้น กำหนดผลลัพธ์ของการเลือกโพสต์ใน$M$ เป็น $\sum p_i \left\vert A_i \right> \left< A_i \right\vert$.

นี่เป็นคำจำกัดความที่สมเหตุสมผลมากขึ้นเพราะมันไม่ได้ให้ผลลัพธ์ที่บอกเราว่าหลังจากที่เราโพสต์เลือกเราจะเปลี่ยนสถิติของเหตุการณ์ (การวัด) ที่เราดูแล้วเกิดขึ้น นั่นคือ$p_i$เป็นความน่าจะเป็นของเหรียญที่เรา "ได้ทำการพลิกแล้ว" ฉันไม่สมเหตุสมผลที่จะบอกว่าเรากำลังจะย้อนเวลากลับไปและมีอคติพลิกเหรียญที่เกิดขึ้นแล้วเพราะนั่นจะทำให้การเลือกกระทู้ปัจจุบันมีแนวโน้มมากขึ้น

แก้ไข (3/28/11 13.00 น.): นีแอลยอมรับว่าด้วยคำจำกัดความของฉันปัญหานั้นสมเหตุสมผลและไม่สำคัญ - แต่ด้วยข้อกำหนดที่ฉันไม่ควรเรียกว่าการเลือกโพสต์ ด้วยจำนวนของความสับสนฉันต้องเห็นด้วยกับเขา งั้นลองเรียกสิ่งที่ฉันนิยามว่าเป็นการเลือกซึ่งจะทำการ "บังคับการวัด" ฉันควรเปลี่ยนชื่อของคลาสความซับซ้อนที่ฉันกำหนดไว้เช่นกัน (เพื่อไม่มี "โพสต์" ในพวกเขา) ดังนั้นลองเรียกพวกเขาว่า QMS [k] (quantum-measure-select)

ดูเหมือนว่าจากความคิดเห็นที่ Shaun มีอยู่ในใจบางสิ่งที่แตกต่างจากสิ่งที่ปกติแล้วจะเข้าใจได้จากการเลือกโพสต์ ตอนนี้ฉันเข้าใจแล้วว่านี่หมายความว่าสถิติสำหรับการวัดใด ๆ ที่เกิดขึ้นก่อนการเลือกโพสต์เฉพาะไม่ควรแก้ไขโดยการเลือกโพสต์ถัดไป สิ่งนี้คล้ายกับการมีตัวดำเนินการฉายภาพที่มีการปรับสภาพให้เป็นมาตรฐานในแต่ละสาขาของ wavefunction ที่สอดคล้องกับเรซูเม่วัดเฉพาะ

ในกรณีนี้ข้อโต้แย้งที่ให้ไว้ในคำตอบอื่น ๆ โดยฉันและนีลไม่ได้ระงับอีกต่อไป อันที่จริงก็เห็นได้ง่ายว่า$P^{PP[k]}\subseteq$ MPostBQP [k] ตั้งแต่MPostBQP$[k]$ สามารถดูได้เป็นเครื่อง BQP ซึ่งสามารถทำ $k$ แบบสอบถามไปยัง oracle PP และด้วยเหตุนี้ $P^{\# P}\subseteq$ MPostBQP

ตอนนี้เรามีขอบเขตล่างที่ไม่น่ารำคาญแล้วขอบเขตบนคืออะไร? เห็นได้ชัดว่าปัญหาอยู่ในPSPACEแต่เราจะทำได้ดีกว่าได้ไหม ที่จริงฉันคิดว่าเราทำได้

เราสามารถเขียนการคำนวณใด ๆ ในMPostBQPเป็นลำดับของเลเยอร์ของรูปแบบ: การคำนวณควอนตัมตามด้วยการเลือกโพสต์ตามด้วยการวัดควิบิตเดียว อันที่จริงนี่อาจเป็นทางเลือกอื่นในการกำหนดMPostBQP [k] เนื่องจากการคำนวณประกอบด้วย$k$เลเยอร์ดังกล่าว (ซึ่งแตกต่างจากคำนิยามของ Shaun ซึ่งฉันเชื่อว่ามีจุดประสงค์ที่จะนับเฉพาะจำนวนโพสต์ที่เลือก) ตามด้วยเลเยอร์สุดท้ายของการโพสต์คลาสสิก ฉันจะใช้คำจำกัดความของMPostBQP [k] ต่อไปนี้เนื่องจากจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจมากขึ้น

ด้านล่างนี้ได้รับการอัปเดตจากเวอร์ชั่นดั้งเดิมเพื่อแก้ไขรูในการพิสูจน์

ก่อนอื่นเราต้องการที่จะคำนวณผลลัพธ์ของการวัดของ qubit แรกที่วัด (ไม่ได้เลือกหลัง!) เมื่อต้องการทำสิ่งนี้เราต้องทราบก่อนว่าการคำนวณควอนตัมใด ๆ สามารถแสดงได้โดยใช้ประตู Hadamard และประตู Toffoli เท่านั้นและแอมพลิจูด$\alpha_w$ ของรัฐพื้นฐานการคำนวณโดยเฉพาะอย่างยิ่ง $|w\rangle$ ในเอาต์พุตสามารถเขียนเป็นผลรวมได้สูงสุด $2^{H}$ เงื่อนไข $a_{j,w}$ที่ไหน $H$คือจำนวนประตู Hadamard ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับเส้นทางการคำนวณที่ไม่ซ้ำกัน เห็นได้ชัดว่า$a_{j,w} = \pm 2^{-H/2}$. ความน่าจะเป็นที่จะได้รับสถานะสุดท้าย$|w\rangle$ มอบให้โดย $\alpha_w^2 = (\sum_j a_{j,w})^2 = \sum_{i,j} a_{j,w}a_{i,w}$. เราต้องการคำนวณความน่าจะเป็นทั้งหมดของการวัด 1 อนุญาต$S_0$ เป็นชุดของพื้นฐานการคำนวณซึ่งตรงกับเกณฑ์การคัดเลือกภายหลัง (เช่น qubit หลังเลือกคือ 1) และผลลัพธ์เป็น 0 สำหรับ qubit ที่วัดได้และปล่อยให้ $S_1$เป็นชุดของเกณฑ์การคำนวณที่เป็นไปตามเกณฑ์หลังการคัดเลือกและส่งผลให้ 1 สำหรับ qubit ที่วัดได้ เราสามารถกำหนด

ในกรณีนี้ความน่าจะเป็นของการวัด 1 แบบมีเงื่อนไขบน 1 สำหรับ qubit หลังที่เลือกถูกกำหนดโดย $\frac{\pi_1^+ - \pi_1^-}{\pi_1^+ - \pi_1^- - \pi_0^- + \pi_0^+}$. ในขณะที่เราสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ด้วยการโทร 4 ครั้งไปยัง #P oracle เราใช้สิ่งนี้เพื่อสร้างบิตสุ่ม$b_1$ ซึ่งเป็น 1 ด้วยความน่าจะเป็น $X_1$เช่นเดียวกับการวัดควอนตัม ดังนั้นMPostBQP [1] จึงอยู่ใน$BPP^{\# P[4]}$.

ต่อไปเราคำนวณผลการวัดของ qubit ที่สอง ในการทำเช่นนี้เราเรียกใช้#P การสืบค้นเดียวกันกับเลเยอร์แรก แต่ในวงจรที่ได้จากการเขียนสองเลเยอร์แรกและที่เราโพสต์เลือกที่ 1 สำหรับแต่ละ qubits ที่โพสต์ที่เลือก แต่ยังอยู่ใน$b_1$ สำหรับผลลัพธ์ของการวัด 1. โปรดทราบว่าแม้ว่านี่จะเป็นการเลือกในสถานะของ 3 qubits แทนที่จะเป็น 1 แต่นี่เป็นการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยสำหรับ $\# P$แบบสอบถามโดยเพียงแค่เพิ่ม ancilla ซึ่งถูกตั้งค่าเฉพาะถ้าทั้ง 3 qubits ตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็นและการเลือกโพสต์แทนใน ancilla นี้ สิ่งนี้จะสร้างความน่าจะเป็นผลลัพธ์ตามเงื่อนไขที่ถูกต้องสำหรับผลลัพธ์ของ qubit ที่สองที่เราวัด$b_2$. โปรดทราบว่าขณะนี้เราได้ใช้การเรียก 8 ครั้งไปยัง#P oracle

เราทำซ้ำขั้นตอนนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีกเพื่อให้เป็นชั้น $j$ เราโพสต์เลือกวันที่ 1 สำหรับทุก $j$ นำหน้า qubits และการโพสต์ที่เลือกไว้ก่อนหน้า $b_{i<j}$ สำหรับการวัดก่อนหน้านี้ทั้งหมดและติดป้ายผลลัพธ์ของการวัดที่สอดคล้องกัน $P^{\# P}$ เครื่อง $b_j$. โดยรวมแล้วสิ่งนี้จำเป็น$4j$ แบบสอบถามออราเคิล

ดังนั้นเราจึงมีMPostBQP [k]$\subseteq P^{\# P[4k]}$ซึ่งรวมกับผลลัพธ์ก่อนหน้านั้น $P^{PP[k]}\subseteq$ MPostBQP$[k]$หมายความว่า $P^{PP[k]} \subseteq$ MPostBQP [k]$\subseteq BPP^{\# P[4k]}$และMPostBQP $= P^{\# P}$.

[แก้ไขแล้ว]ฉันได้แก้ไขคำตอบของคุณตามการแก้ไขคำถามของคุณฉันได้รักษาเนื้อหาของคำตอบดั้งเดิมไว้ แต่ทำให้สั้นลง คำอธิบายที่ละเอียดยิ่งขึ้นของกระบวนการ "จำลอง" ถูกแทนที่ แต่ฉันคิดว่ามันสามารถมองเห็นได้ด้วยการดูประวัติการแก้ไขของโพสต์นี้

คนส่วนใหญ่จะเข้าใจ "การเลือกโพสต์" ในแง่ของความน่าจะเป็นตามเงื่อนไข อันที่จริงแล้วบทความ WikipediaฉบับปัจจุบันในPostBQPอธิบายอย่างนั้น และถูกมองว่าเป็นการดำเนินการกับตัวดำเนินการความหนาแน่น (ซึ่งมีการใช้แผนที่ร่องรอยที่ไม่สมบูรณ์เพิ่มขึ้นอย่างสมบูรณ์เช่นนั้น = ² = Φและจากนั้นเปลี่ยนรูปแบบการติดตามแบบปกติ) เราจะกู้คำจำกัดความนี้

จากนิยามของการเลือกโพสต์นี้การกำหนดMPostBQP [ k ] อัลกอริทึมของคุณสามารถจำลองได้โดยอัลกอริทึมPostBQPโดยการเลื่อนการเลือกและดำเนินการพร้อมกันในวิธีที่เหมาะสม นี้เป็นข้อสังเกตเพิ่มเติมหรือน้อยกว่าอย่างชัดเจนในหน้า 3 กระดาษ Aaronson ของควอนตัมคอมพิวเตอร์ Postselection และความน่าจะเป็นพหุนามเวลาที่แนะนำชั้นPostBQP

สิ่งนี้สามารถแสดงให้เห็นได้อย่างชัดเจนโดยการสังเกตว่าสำหรับลำดับของบิตP ₁  ,   P ₂  , ... ที่จะเลือกโพสต์ไว้ ( เช่นใน1รัฐซึ่งเป็นเรื่องปกติ) ไม่มีความแตกต่างระหว่างการคงอยู่ของพวกเขาที่1อยู่ตรงกลาง การคำนวณและการ จำกัด ให้พวกเขาอยู่1ที่จุดสิ้นสุดของการคำนวณตราบใดที่ค่าของบิตเหล่านี้จะไม่เปลี่ยนแปลงในระหว่างกาล จากนั้นแทนที่จะเลือกการโพสต์ในแต่ละรายการ1เราสามารถคำนวณตรรกะและก่อนที่จะเลือกโพสต์จากนั้นเลือกโพสต์ในการเชื่อมโยงนั้น1. นอกจากนี้การคำนวณ AND สามารถทำที่จุดใดก็ได้ระหว่างการแปลงครั้งล่าสุดของบิตและการเลือกหลัง สิ่งนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อสถิติการเชื่อมต่อของคุณสมบัติใด ๆ ของรัฐ

ดังนั้นการใช้คำจำกัดความทั่วไปของ postselection ในแง่ของความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขเราจะมีMPostBQP [ k ] =  PostBQPสำหรับk  > 0 ทั้งหมด

ตามที่ฉันได้กล่าวไว้ในความคิดเห็นข้างต้นฉันไม่คิดว่าการดำเนินการที่คุณอธิบายเกี่ยวกับรัฐ เวกเตอร์ - โดยเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับการปรับสภาพของเวกเตอร์ให้เป็นอิสระในแต่ละสาขาของการกระจายความน่าจะเป็นเหนือผลลัพธ์การวัด- สอดคล้องกับการโพสต์การคัดเลือกเนื่องจากผู้คนจำนวนมากในสาขา (ผู้ทดลองใช้ epsecially) จะอธิบายแนวคิด มันอาจก่อให้เกิดคุณสมบัติ 'ไม่เป็นทางกายภาพ' บางอย่างหากขยายไปถึงการทำแผนที่กับตัวดำเนินการความหนาแน่น อย่างไรก็ตามมันเป็นวิธีที่เป็นไปได้ในการสร้างบางสิ่งบางอย่างเช่นต้นไม้การตัดสินใจที่โหนดถูกระบุโดยเวกเตอร์ของรัฐและโดยหลักการแล้วมันเป็นกระบวนการที่เหมาะสมในการศึกษาในด้านขวาของตัวมันเอง ฉันจะไม่เรียกกระบวนการนี้ว่า

[แก้ไข.]เพื่อความเป็นระเบียบเรียบร้อยฉันได้ลบตัวอย่างจากการคำนวณ ฉันคิดว่ามันสามารถเห็นได้โดยดูประวัติการแก้ไขของโพสต์นี้

ดูเหมือนว่าคุณจะนิยามคำว่าMPostBQPว่านี่เป็นเพียงPostBQPในชุดแฟนซี แทนที่จะพยายามโน้มน้าวให้คุณทราบว่าการวัดสามารถจัดลำดับใหม่ได้คุณอาจพบว่ามันน่าเชื่อถือมากกว่าที่จะพิสูจน์MPostBQP = PPเนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีว่าPostBQP = PP (ดูquant-ph / 0412187 ) เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้เราแยกมันเป็นสองงาน:

1. พิสูจน์ว่าPP$\subseteq$ MPostBQPและ
2. พิสูจน์ว่า MPostBQP$\subseteq$ PP

ภารกิจแรกนั้นไม่สำคัญเนื่องจากPP = PostBQP = MPostBQP [1]$\subseteq$MPostBQP ภารกิจที่สองเป็นคำถามหลักที่นี่จริง ๆ แต่สามารถตอบได้ด้วยการปรับตัวให้เข้ากับการพิสูจน์ว่าPostBQP = PPได้รับในquant-ph / 0412187 (ดูที่หน้า Wikipedia บน PostBQPเพื่อเป็นโครงร่างของการพิสูจน์)

ต่อไปนี้เป็นที่ดัดแปลงมาจากร่างหลักฐานวิกิพีเดียPostBQP = PP

เราสามารถเขียนวงจรที่สอดคล้องกับการคำนวณMPostBQPใด ๆเป็นชุดของประตูรวมและการเลือกหลัง โดยไม่สูญเสียความสามารถเราสามารถสันนิษฐานได้ว่าเมื่อเลือก qubit หลังโพสต์แล้ว ดังนั้นสถานะควอนตัมที่ได้รับเมื่อสิ้นสุดการคำนวณนั้นถูกกำหนดโดย $|\psi\rangle = \prod_i (P_i^1 \prod_j A^{ij}) |x\rangle$ที่ไหน $P_i^1$ หมายถึงโปรเจ็กเตอร์สำหรับ qubit $i$ สู่ $|1\rangle$ สเปซและ $A^{ij}$เป็นเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับประตูประถม โปรดทราบว่าโดยไม่สูญเสียความเห็นทั่วไปเราสามารถสันนิษฐานได้ว่ารายการทั้งหมดใน$A^{ij}$ เป็นจริงที่ค่าใช้จ่ายของ qubit เพิ่มเติม

ตอนนี้ขอ $\{p_i\}$ เป็นชุดของ qubits ซึ่งโพสต์เลือกไว้แล้วและปล่อยให้ $q$เป็นเอาท์พุทควิบิต เรากำหนด$\pi_0 = \sum_{w \in S_0} \psi_w^2$ และ $\pi_1 = \sum_{w \in S_1} \psi_w^2$ที่ไหน $S_0$ ($S_1$) เป็นชุดของพื้นฐานการคำนวณที่ $p_i = 1 \forall i$ และ $q=0$ ($q=1$) คำจำกัดความของMPostBQPจะทำให้แน่ใจได้เช่นกัน$\pi(1) \geq 2\pi(0)$ หรือ $\pi_0 \geq 2\pi_1$. แนวคิดก็คือการสร้างเครื่องPPเพื่อเปรียบเทียบ$\pi_0$ และ $\pi_1$. การแสดง$\psi_w$, the part of the final wavesfunction $\psi$ corresponding to a particular computational basis state $w$, as a sum over paths and replacing the indices $i$ and $j$ on $A^{ij}$ with a single index $k$ running from 1 to $G$, we obtain $\psi_w = \sum_{\alpha_1 ... \alpha_G} A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$.

The idea, then, is to construct a PP machine which accepts with probability $\frac{1}{2}(1+C(\pi_1-\pi_0))$ for some $C>0$, since then $x \in L$ would imply that $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0)> \frac{1}{2}$ and $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0) < \frac{1}{2}$ if $x \notin L$.

Now let $\alpha = \{\alpha_i\}$ and $F(A,w,\alpha,X) = A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$. Then $\pi_1 - \pi_0 = \sum_{w \in S_1} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X) - \sum_{w \in S_0} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X)$.

Such a PP machine can then be defined as follows:

1. Pick a computational basis state $w$ uniformly at random.
2. If $w \notin S_0 \cup S_1$, then stop and accept with probability $1/2$, and reject otherwise.
3. Pick two sequences $\alpha$ and $\alpha'$ of $G$ computational basis states uniformly at random.
4. Compute $X = F(A,w,\alpha,x)F(A,w,\alpha',x)$.
5. If $w\in S_1$ then accept with probability $\frac{1+X}{2}$, and reject otherwise. Alternatively, if $w\in S_0$ then accept with probability $\frac{1-X}{2}$, and reject otherwise.

This then puts MPostBQP[k] $\subseteq$ PP, for all $k$, and hence MPostBQP is no more powerful than PostBQP.