การดำรงอยู่ของ

10

พิจารณาปัญหา Dominating Set ในกราฟทั่วไปและปล่อยให้เป็นจำนวนจุดยอดในกราฟ อัลกอริทึมการประมาณแบบโลภให้การรับประกันการประมาณของปัจจัยนั่นคือสามารถหาได้ในเวลาพหุนามวิธีการแก้ปัญหาที่โดยที่คือขนาดของชุดควบคุมขั้นต่ำ มีขอบเขตแสดงให้เห็นว่าเราไม่สามารถปรับปรุงการพึ่งพาที่มีมาก $n$ $1 + \log n$ $S$ $|S| \leq (1 + \log n) opt$ $opt$ $\log n$ http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf

คำถามของฉัน: มีอัลกอริทึมการประมาณค่าซึ่งรับประกันในรูปของแทนที่จะเป็นหรือไม่? ในกราฟที่มีขนาดใหญ่มากด้วยความเคารพที่เหมาะสมเป็นปัจจัยประมาณจะเป็นมากยิ่งกว่าปัจจัยประมาณ บางสิ่งบางอย่างเช่นนั้นเป็นที่รู้จักหรือมีเหตุผลว่าทำไมสิ่งนี้จึงไม่มีอยู่? ฉันมีความสุขกับอัลกอริธึมเวลาพหุนามซึ่งสร้างโซลูชันเช่นนั้นสำหรับค่าคงที่ $opt$ $n$ $n$ $\log n$ $\log opt$ $S$ $|S| \in O(opt^c)$ $c$ .

cc.complexity-theory approximation-algorithms approximation-hardness

— Bart Jansen
แหล่งที่มา

14

ฉันคิดว่ามันยังคงเปิดอยู่หาก Dominating Set หรือ Hitting Set มีการประมาณ af (OPT) สำหรับฟังก์ชั่นบางอย่าง (ไม่สำคัญ) f นี่เป็นคำถามที่ตอบยาก (และเป็นไปได้ลึก) ที่จะตอบ ฉันคิดว่ามันเป็นคำถามที่น่าตื่นเต้นที่สุดในการประมาณค่าพารามิเตอร์ (พร้อมกับคำถามแบบอะนาล็อกสำหรับ Clique) คุณอาจต้องการดูแบบสำรวจของฉัน [1] ที่กล่าวถึงเรื่องนี้ โปรดทราบว่ามันจะแสดงในกระดาษเมื่อเร็ว ๆ นี้ [2] ว่า "เสียงเดียววงจรความน่าเชื่อถือสำหรับ weft-2 วงจร" ปัญหาซึ่งเป็นเรื่องที่กว้างกว่า Dominating Set ไม่มี f (OPT) สำหรับ f ใด ๆ

[1] D. มาร์กซ์ ความซับซ้อนของพารามิเตอร์และอัลกอริทึมการประมาณ วารสารคอมพิวเตอร์ 51 (1): 60-78, 2008

[2] D. Marx ปัญหาในการทำพารามิเตอร์แบบ monotone และ antimonotone ที่ไม่สามารถทำได้ทั้งหมด ในการประชุม IEEE ประจำปีครั้งที่ 25 เรื่องความซับซ้อนในการคำนวณ, Cambridge, Massachusetts, 181-187, 2010

— Daniel Marx
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับการอ้างอิง! นี่ตอบคำถามของฉันอย่างดี

— Bart Jansen

นอกจากนี้ยังอาจเป็นที่น่าสนใจที่จะดูบันทึกย่อของเนลสันต่อไปนี้ซึ่งแสดงว่าไม่มีใครสามารถรับอัตราส่วนที่ดีซึ่งขึ้นอยู่กับจำนวนชุดเท่านั้น eccc.hpi-web.de/eccc-reports/2007/TR07-105/revisn01.pdf

— Chandra Chekuri

2

นี่ควรเป็นความคิดเห็นเพราะมันไม่ได้ตอบคำถามของคุณโดยตรง แต่เป็นคำถามที่เกี่ยวข้อง บางทีเคล็ดลับที่คล้ายกันจาก [1] อาจให้คำตอบแก่คุณ

ใน [1] สิ่งต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว:

$G=(V,E)$ $k$ $k$ $G$ $g(k)$ $g(k)$ $k$ $G$ $k$

$g(k)$

[1] Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Catherine McCartin และ Frances Rosamond "การประมาณค่าพารามิเตอร์ของการครอบครองปัญหาเซต" การประมวลผลข้อมูลจดหมายเล่มที่ 109 ฉบับที่ 1 ธันวาคม 2551

— Ruub
แหล่งที่มา

1

เคล็ดลับใน [1] นั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าชุดการปกครองแบบอิสระในฐานะที่เป็นปัญหาการขยายใหญ่สุดไม่ใช่แบบโมโนโทน: เซตย่อยของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้นั้นไม่จำเป็นต้องเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ ดังนั้นจึงเป็นไปได้อย่างดีว่าทุกวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้มีขนาดเท่ากันทำให้ไม่เกี่ยวข้องกับการประมาณ

— Daniel Marx