ผลลัพธ์ใน CS เชิงทฤษฎีที่เป็นอิสระจาก ZFC

ฉันจะถามคำถามที่ค่อนข้างคลุมเครือเนื่องจากเส้นแบ่งระหว่างวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีและคณิตศาสตร์ไม่ได้แยกแยะได้ง่ายเสมอไป

คำถาม:คุณรู้หรือไม่ว่าผลลัพธ์ที่น่าสนใจใน CS ซึ่งเป็นอิสระจาก ZFC (เช่นทฤษฎีเซตมาตรฐาน) หรือที่ได้รับการพิสูจน์แล้วใน ZFC (+ สัจพจน์อื่น ๆ ) และได้รับการพิสูจน์ในภายหลังใน ZFC alorne?

ฉันถามเพราะฉันใกล้จะทำวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของฉันเสร็จแล้วและผลลัพธ์หลักของฉัน (การกำหนดระดับของเกมที่ใช้ในการให้ "ความหมายของเกม" กับคำกริยาความน่าจะเป็นแคลคูลัส) เป็นช่วงเวลาที่พิสูจน์แล้ว ใน ZFC ขยายไปกับสัจพจน์อื่น ๆ (กล่าวคือการปฏิเสธของสมมติฐานต่อเนื่องและ, Axiom ของมาร์ติน )¬ C H $\mu$$\neg CH$$MA$

ดังนั้นการตั้งค่าเป็นวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์อย่างชัดเจน (modal -calculus เป็นตรรกะเชิงเวลาและฉันขยายมันเพื่อทำงานกับระบบน่าจะเป็น)$\mu$

ฉันอยากจะอ้างถึงตัวอย่างอื่น ๆ ในวิทยานิพนธ์ของฉัน (ถ้าคุณรับทราบ) ประเภทนี้

ขอบคุณล่วงหน้า,

บาย

มัตเตโอ

ในขณะที่ฉันไม่ได้ตระหนักถึงผลลัพธ์ดังกล่าวนอกเหนือจากของคุณเองฉันคิดว่าคุณสามารถขยายขอบเขตได้บ้างและถามว่าผลลัพธ์ใดใน TCS ได้รับการพิสูจน์โดยใช้สัจพจน์ที่ไม่ได้มาตรฐาน (ชนิดใด) โดยที่ไม่ได้มาตรฐานที่นี่ฉันหมายถึงสิ่งอื่นที่ไม่ใช่ตรรกะคลาสสิกกับ ZF (หรือ ZFC)

ตัวอย่างที่สวยงามของประเภทงานที่ฉันมีในใจคือผลลัพธ์ของ Alex Simpson เกี่ยวกับคุณสมบัติของภาษาการเขียนโปรแกรมโดยใช้ทฤษฎีโดเมนสังเคราะห์ เขาใช้ทฤษฎีเซต intuitionistic กับสัจพจน์ที่ขัดแย้งกับตรรกะดั้งเดิม

นอกจากนี้อเล็กซ์และฉันใช้สัจพจน์เชิงสัญชาตญาณกับหลักการต่อเนื่องแบบคลาสสิกเพื่อแสดงผลลัพธ์เกี่ยวกับการคำนวณของ Banach-Mazur

อย่างไรก็ตามไม่มีตัวอย่างดังกล่าวที่มีสถานะ "เปิด" เช่นหลักฐานของคุณเพราะเรารู้ว่าสัจพจน์ที่ไม่ได้มาตรฐานที่เราใช้นั้นสามารถเข้าใจได้ง่ายเหมือนกับการทำงานในรูปแบบของคณิตศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ที่สามารถแสดงแบบจำลองได้ ใน ZFC ดังนั้นการตั้งค่าที่ไม่ได้มาตรฐานนั้นเป็นวิธีที่จะทำให้สิ่งต่าง ๆ ได้รับความสวยงามมากขึ้นและในหลักการพวกเขาสามารถทำได้ใน ZFC แบบตรง (แม้ว่าฉันกลัวที่จะคิดว่ามันจะไปได้อย่างไร)

ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของ "วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์" นำตัวอย่างด้านล่าง - มันจะนับ?

การเข้ารหัสของจำนวนเต็มเป็นรหัสไบนารีอ่านได้โดยไม่ซ้ำกันของ{N} ถ้าความยาวของ codewords ที่ไม่ลดลงเราเรียกรหัสเดียว รหัสเป็นดีขึ้นกว่ารหัสถ้า- กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับทุกจุดบน codewords ของอย่างน้อยบิตจะสั้นกว่าC 1 C $\mathbb{N}$$C_1$$C_2$$|C_1(n)| - |C_2(n)| \rightarrow -\infty$$L$$C_1$$L$

ชุดของรหัสเรียกว่าcofinalถ้ารหัสทุกมีรหัสซึ่งดีกว่าCมันเป็นคำสั่งที่ดีถ้ามันเป็นอย่างดีที่เกี่ยวกับ "ดีกว่า" เครื่องชั่งเป็นชุดรหัส cofinal ที่ได้รับคำสั่งอย่างดี$S$$C$$D \in S$$C$

นี่คือคุณสมบัติสองประการที่ไม่ขึ้นกับ ZFC:

1. มีมาตราส่วนของรหัสอยู่
2. มีมาตราส่วนของรหัส monotone (เช่นชุดรหัส monotone ที่สั่งซื้ออย่างดีซึ่งเป็น cofinal ในชุดของรหัส monotone ทั้งหมด)

กรวยองศาทัวริงเป็นชุดองศามีฐานบางเช่นว่าทุกองศา ,และถ้าหากD$D$$b \in D$$c$$b \leq_T c$$c \in D$

คำแถลงการกำหนดระดับทัวริง :

ทัวริงองศาทุกชุดจะบรรจุกรวยหรือแยกออกจากกรวย

เป็นผลมาจากสัจพจน์ของการกำหนด (AD) ซึ่งเป็นอิสระจาก ZF และไม่เข้ากันกับ ZFC คำสั่งที่อ่อนแอ

ชุดของโบเรลทุกชุดที่ปิดภายใต้ความเท่าเทียมกันของทัวริงอาจประกอบด้วยกรวยหรือแยกออกจากกรวย

เป็นผลมาจากทฤษฎีบทของมาร์ตินต่อการกำหนด Borel ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ใน ZFC คำแถลงทั้งสองนี้ได้รับการศึกษาก่อนที่ผลการพิสูจน์ของ Martin จะได้รับการพิสูจน์ในระดับ Borel ซึ่งเป็นที่ทราบกันดีว่าทั้งคู่นั้นสามารถพิสูจน์ได้ใน ZF + AD

ผลยกที่สองมีข้อสรุปที่น่าสนใจดังต่อไปนี้: สมมติว่าเป็นชุด Borel ของ reals ปิดใต้ทัวริงเท่าเทียมกันเช่นว่าสำหรับทุกจริงมีบางกับ (เพียงแค่นี้บอกว่าเป็นขึ้นหนาแน่น ในทัวริงองศา) จากนั้นจะต้องบรรจุกรวยทัวริงทั้งหมดb c ∈ S b ≤ T c S $S$$b$$c \in S$$b \leq_T c$$S$$S$

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันได้เข้าร่วมพูดคุยกับหนึ่งในผลดังกล่าวเพื่อกำหนดระดับของเกมBüchiหนึ่งเกม: Olivier Finkel, ความมุ่งมั่นของเกมที่ไม่มีบริบท , STACS 2012, http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2012/ 3389

คณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์มากมาย ดูงานของ Per Martin-Löfเกี่ยวกับทฤษฎีเซตเชิงสร้างสรรค์ซึ่งใช้เป็นพื้นฐานสำหรับภาษาการเขียนโปรแกรมที่พึ่งพาได้ง่าย