โครงสร้างทั่วไปส่วนใหญ่ที่การตรวจสอบผลิตภัณฑ์เมทริกซ์สามารถทำได้ในเวลา

ในปี 1979 Freivaldsแสดงให้เห็นว่าการตรวจสอบผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ที่สนามใด ๆ ที่สามารถทำได้ในการสุ่มเวลา เพิ่มเติมอย่างเป็นทางการให้สามเมทริกซ์ A, B และ C กับรายการจากสนาม F, ปัญหาของการตรวจสอบว่า AB = C มีอัลกอริทึมเวลาO ( n 2 )แบบสุ่ม$O(n^2)$$O(n^2)$

สิ่งนี้น่าสนใจเพราะอัลกอริทึมที่รู้จักกันเร็วที่สุดสำหรับเมทริกซ์การคูณนั้นช้ากว่านี้ดังนั้นการตรวจสอบว่า AB = C นั้นเร็วกว่าการคำนวณหรือไม่

ฉันต้องการที่จะรู้ว่าอะไรคือโครงสร้างพีชคณิตทั่วไปที่สุดที่การตรวจสอบผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ยังคงมีอัลกอริทึมเวลา (สุ่ม) เนื่องจากอัลกอริทึมดั้งเดิมทำงานได้กับทุกฟิลด์ฉันจึงเดาได้ว่ามันทำงานได้ดีบนโดเมนรวมทั้งหมด$O(n^2)$

คำตอบที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถหาได้สำหรับคำถามนี้คือSubcubic Equivalences ระหว่าง Path, Matrix และ Triangle Problemsโดยที่พวกเขาพูดว่า "การตรวจสอบผลิตภัณฑ์เมทริกซ์บนวงแหวนสามารถทำได้ในเวลาสุ่ม [BK95]" ([BK95]: M. Blum และ S. Kannan การออกแบบโปรแกรมที่ตรวจสอบงานของพวกเขา J. ACM, 42 (1): 269–291, 1995. )$O(n^2)$

อย่างแรกคือโครงสร้างที่เป็นวงแหวนที่สุดของปัญหานี้มีอัลกอริธึมแบบสุ่มหรือไม่? ประการที่สองฉันไม่เห็นว่าผลลัพธ์ของ [BK95] แสดงอัลกอริธึมเวลาO ( n 2 )ผ่านวงแหวนทั้งหมดอย่างไร บางคนสามารถอธิบายวิธีการใช้งานได้อย่างไร$O(n^2)$$O(n^2)$

นี่คือข้อโต้แย้งสั้น ๆ ว่าทำไมมันถึงใช้งานได้กับวงแหวน การฝึกอบรมได้รับ, B , C , เราตรวจสอบB = Cโดยการเลือกสุ่มบิตเวกเตอร์โวลต์แล้วตรวจสอบว่าB V = Cวี สิ่งนี้จะผ่านอย่างชัดเจนหากA B = C$A$$B$$C$$A B = C$$v$$ABv = Cv$$AB = C$ C

สมมติว่าB ≠ CและB V = Cวี Let D = B - C Dเป็นเมทริกซ์มากเลขที่D V = 0 ความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นคืออะไร? ให้D [ i ′ , j ′ ]เป็นรายการที่ไม่ใช่ศูนย์ โดยการสันนิษฐาน∑ j D [ i ′ , j ] v [ j ] = 0$AB \neq C$$ABv = Cv$$D = AB - C$$D$$Dv = 0$$D[i',j']$$\sum_{j} D[i',j] v[j] = 0$ ]ด้วยความน่าจะเป็น ,วี[ J ' ] = 1ดังนั้นเราจึงมี$1/2$$v[j'] = 1$

0$D[i',j'] + \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j] = 0$

แหวนใด ๆ ภายใต้การดำเนินงานนอกจากนี้มันเป็นกลุ่มสารเติมแต่งเพื่อให้มีความเป็นเอกลักษณ์ของผกผันคือ- D [ ฉัน' , J ' ] ตอนนี้น่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่ดี- D [ ฉัน' , J ' ] = Σ เจ≠ J ' D [ ฉัน' , J ] V [ J ]เป็นอย่างมากที่สุด1 /$D[i',j']$$-D[i',j']$$-D[i',j'] = \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j]$$1/2$. (วิธีหนึ่งที่จะเห็นสิ่งนี้คือ "หลักการของการตัดสินใจรอการตัดบัญชี": เพื่อให้ผลรวมเท่ากัน , อย่างน้อยหนึ่งDอื่น ๆ[ i ′ , j ]ต้องไม่ใช่ศูนย์ดังนั้นให้พิจารณาv [ j ]สอดคล้องกับรายการอื่น ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์แม้ว่าเราจะตั้งค่าทั้งหมดของv [ j ]เหล่านี้ยกเว้นรายการใดรายการหนึ่ง อย่างเหมาะสมแต่ก็มีความน่าจะเป็นเท่ากับสำหรับรายการสุดท้ายที่เป็น0หรือ$-D[i',j']$$D[i',j]$$v[j]$$v[j]$$0$$1$แต่ยังมีเพียงหนึ่งใน ค่าเหล่านี้สามารถทำให้ผลรวมสุดท้ายเท่ากับ ) ดังนั้นด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อย. 1 / 4เราประสบความสำเร็จพบว่า D วี≠ 0เมื่อ Dไม่ใช่ศูนย์ (หมายเหตุ v [ j ]และ v [ j ′ ]ได้รับเลือกอย่างอิสระสำหรับ j ≠ j ′ )$-D[i',j']$$1/4$$Dv \neq 0$$D$$v[j]$$v[j']$$j \neq j'$

ตามที่คุณเห็นอาร์กิวเมนต์ข้างต้นขึ้นอยู่กับการลบ ดังนั้นมันจะไม่ทำงาน (ตัวอย่าง) กับเซมิคอนดักเตอร์การสับเปลี่ยนโดยพลการ บางทีคุณอาจผ่อนคลายคุณสมบัติการคูณของโครงสร้างพีชคณิตและยังได้ผล?