การดำรงอยู่ของระยะทางระนาบระยะทาง?

ให้ g เป็น n โหนดกราฟไม่มีทิศทางและให้ T เป็นส่วนหนึ่งของโหนด V (G) ที่เรียกว่าขั้ว ดำรงระยะของ (G, T) เป็น H กราฟความพึงพอใจของสถานที่ให้บริการ

สำหรับโหนดทั้งหมด u, v ใน T (โปรดทราบว่า H ไม่จำเป็นต้องเป็นกราฟย่อยของ G)

ตัวอย่างเช่นให้ G เป็นกราฟต่อไปนี้ (a) และ T เป็นโหนดบนใบหน้าภายนอก จากนั้นกราฟ (b) เป็นตัวกำหนดระยะทางของ (G, T)

ดำรงตำแหน่งระยะทางพร้อมพารามิเตอร์ต่าง ๆ กัน ฉันสนใจเป็นพิเศษกับคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. G คือระนาบและไม่ถ่วง (นั่นคือขอบทั้งหมดของ G มีน้ำหนักหนึ่ง)
2. T มีขนาดและ$O(n^{0.5})$
3. H มีขนาด (จำนวนโหนดและขอบ)(n) (มันคงจะดีถ้าเรามี )$o(n)$$O(\frac{n}{\log\log n})$

ดำรงตำแหน่งระยะทางดังกล่าวอยู่?

หากไม่มีคุณสมบัติตามที่กล่าวไว้ข้างต้นยินดีต้อนรับการผ่อนคลายทุกรูปแบบ

อ้างอิง:

• ตัวกระจายระยะห่างที่ฉลาดและจับคู่อย่างฉลาด Don Coppersmith และ Michael Elkin, SIDMA, 2006
• ตัวกระจายระยะห่างแบบเบาบางและสไปเดอร์เสริม , BélaBollobás, Don Coppersmith, และ Michael Elkin, SIDMA, 2005
• ประแจและอีมูเลเตอร์ที่มีข้อผิดพลาดระยะทางเชิงเส้น Mikkel Thorup และ Uri Zwick, SODA, 2006
• ขอบเขตล่างสำหรับสไปเดอร์เสริม, อีมูเลเตอร์, และอื่น ๆ , David P. Woodruff, FOCS, 2006

ระยะทาง preserver เป็นที่รู้จักกันว่าemulator ; งานที่เกี่ยวข้องจำนวนมากสามารถพบได้บนอินเทอร์เน็ตโดยค้นหาคำว่าspannerซึ่งต้องการให้ H เป็นกราฟย่อยของ G แต่ในแอปพลิเคชันของฉันเราสามารถใช้กราฟอื่นได้เช่นกันตราบใดที่ H รักษาระยะห่างระหว่าง T ใน G

หลายปีต่อมาดูเหมือนว่า OP ได้ตอบคำถามของตัวเองแล้ว: Emulator ระยะใกล้ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับกราฟเชิงระนาบโดย Hsien-Chih Chang, Paweł Gawrychowski, Shay Mozes และ Oren Weimann เพิ่งโพสต์ลงใน arxiv

$\widetilde{O}(\min\{t^2, \sqrt{tn}\})$$|T| =: t$$\widetilde{O}(n^{3/4})$$\widetilde{O}(n)$

(ในบันทึกย่อที่เป็นทางการน้อยกว่าฉันพบว่าผลลัพธ์นี้น่าอัศจรรย์จริง ๆ ยินดีด้วย!)

คุณอาจต้องการดูประแจย่อยเซตของระนาบของไคลน์ซึ่งรักษาระยะห่างไว้ที่ 1 + epsilon factor

เครื่องมือจำแนกกลุ่มสำหรับกราฟระนาบพร้อมกับการประยุกต์ใช้กับกลุ่มย่อย TSP http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620