อะไรคือความคิดที่สำคัญที่สุดของการกระจายตัวของการออกแบบอัลกอริธึมกราฟที่มีประสิทธิภาพ?

มีแนวคิดการแข่งขันหลายอย่างของ "กราฟเบาบาง" ตัวอย่างเช่นกราฟที่ฝังพื้นผิวนั้นอาจถูกพิจารณาว่าเป็นเบาบาง หรือกราฟที่มีความหนาแน่นของขอบล้อมรอบ หรือกราฟที่มีเส้นรอบวงสูง กราฟที่มีการขยายขนาดใหญ่ กราฟที่มีความ จำกัด treewidth (แม้จะอยู่ในฟิลด์ย่อยของกราฟแบบสุ่มมันก็มีความกำกวมเล็กน้อยในสิ่งที่อาจเรียกได้ว่ากระจัดกระจาย) และอื่น ๆ

ความคิดของ "กราฟเบาบาง" มีผลกระทบมากที่สุดในการออกแบบอัลกอริธึมกราฟที่มีประสิทธิภาพและทำไม? ในทำนองเดียวกันความคิดของ "กราฟหนาแน่น" ... คืออะไร? (หมายเหตุ: Karpinski ทำงานได้อย่างยอดเยี่ยมเกี่ยวกับผลการประมาณค่าสำหรับกราฟมาตรฐานที่หนาแน่น)

ฉันเพิ่งเห็นคำปราศรัยของ J. Nesetril ในรายการของเขา (ร่วมกับ P. Ossona de Mendez) เพื่อจับภาพมาตรการกระจัดกระจายในกราฟภายในกรอบ (asymptotic) แบบครบวงจร คำถามของฉัน - ใช่อาจเป็นอัตนัยและฉันคาดหวังว่าค่ายที่แตกต่างกัน - ได้รับแรงบันดาลใจจากความปรารถนาที่จะได้รับมุมมองที่หลากหลายในการใช้ sparsity ในอัลกอริทึม (และเสียบช่องว่างใด ๆ

ฉันคิดว่าตามมาตรฐานที่สมเหตุสมผลใด ๆ กราฟกริดสามมิติของ n × n × n จะต้องได้รับการพิจารณาให้กระจัดกระจาย (ความไม่ลงรอยกันแบบ Sublinear จะยังคงเป็นไปได้แม้ว่า)

มาตรการ sparsity โปรดของฉันปัจจุบันคือความเสื่อม ความเสื่อมของกราฟคือค่าต่ำสุดสำหรับการเรียงลำดับเชิงเส้นทั้งหมดของจุดยอดของกราฟของค่าสูงสุดในการกำหนดทิศทางแบบวนรอบของกราฟที่เกิดจากการวางแนวของขอบจากก่อนหน้าถึงจุดยอดในภายหลัง เท่ากับมันคือจำนวนสูงสุดของกราฟย่อยทั้งหมดในระดับต่ำสุดในกราฟย่อย ตัวอย่างเช่นกราฟระนาบมีความเสื่อมห้าเพราะกราฟย่อยใด ๆ ของกราฟระนาบมีจุดสุดยอดขององศาไม่เกินห้า เสื่อมเป็นเรื่องง่ายในการคำนวณเส้นเวลาและการสั่งซื้อเชิงเส้นที่มาจากความหมายเป็นประโยชน์ในขั้นตอนวิธีการ

ความเสื่อมอยู่ภายในปัจจัยคงที่ของมาตรการมาตรฐานอื่น ๆ รวมถึงความเป็น Arboricity ความหนาและระดับเฉลี่ยสูงสุดของกราฟย่อยใด ๆ แต่สิ่งเหล่านั้นฉันคิดว่ายากกว่าที่จะใช้

ดูเหมือนว่าจะมีหลายความคิด "ดี" ของ sparsity แต่มีบางสิ่งบางอย่างของลำดับชั้นสำหรับความคิดเชิงโครงสร้างเหล่านั้นของ sparsity ที่มีรสชาติแบบจำลองทางทฤษฎี ฉันคิดว่าสิ่งเหล่านี้มีผลกระทบอย่างมากต่ออัลกอริทึมกราฟที่มีประสิทธิภาพ

$k$$K_{k+2}$

บันทึกหลักสูตรของ Anuj Dawar ตั้งแต่เดือนพฤศจิกายน 2010ยังพูดถึงการเดินทางแบบ จำกัด ขอบเขตในท้องถิ่นซึ่งเทียบไม่ได้กับผู้เยาว์ที่ได้รับการยกเว้น องศาที่ถูก จำกัด ขอบเขตให้นิยามกราฟที่กระจัดกระจายอย่างชัดเจนและกราฟดังกล่าวมีขอบเขตความกังวลในระดับท้องถิ่น แต่ไม่สามารถกำหนดได้โดยกลุ่มผู้เยาว์ที่ไม่รวม

ผลกระทบของระดับขอบเขตมีความชัดเจน: บ่อยครั้งที่หนึ่งในข้อ จำกัด แรกที่แสดงเพื่อสร้างปัญหาที่ยากจะหายากตัวอย่างเช่นอัลกอริทึมของ Luks สำหรับกราฟ Isomorphism บนกราฟระดับขอบเขต ผลกระทบของการยกเว้นผู้เยาว์ก็ชัดเจนเช่นกันอย่างน้อยก็ในหน้ากากของความกังวลที่ จำกัด (ตามที่ Suresh ชี้ให้เห็น)

ความคิดในเรื่องของการยกเว้นเฉพาะผู้เยาว์รองลงมาทั้งในระดับที่ จำกัด และไม่รวมผู้เยาว์ดังนั้นการสร้างชั้น "ส่วนใหญ่" ในลำดับชั้น อย่างไรก็ตามยังไม่ชัดเจนว่าจะใช้คุณสมบัตินี้อย่างไรในอัลกอริทึมที่ใช้งานได้จริง แม้แต่กรณีที่ "น่าใช้งานได้" ในการยกเว้นผู้เยาว์ก็ไม่จำเป็นต้องมีอัลกอริธึมการปฏิบัติที่ดี ค่าคงที่ขนาดใหญ่มากในอัลกอริธึมแบบจำลองเชิงทฤษฎี ฉันหวังว่าบางคลาสเหล่านี้จะกลายเป็นอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพในระยะยาว

ดูคำตอบของฉันสิ่งที่ง่ายสำหรับกราฟยกเว้นเล็กน้อย? สำหรับความคิดเห็นที่เกี่ยวข้องเพิ่มเติม

ฉันไม่สามารถนึกถึงคุณสมบัติกราฟใด ๆ ที่มีผลกระทบต่อการออกแบบอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพมากพอ ๆ กับความกังวลที่เพิ่มขึ้นและความสามารถในการประมูลโดยทั่วไป

เราสามารถนึกถึงกราฟในฐานะที่เป็นเมทริกซ์ adjacency - มีคำจำกัดความหลายประการสำหรับความกระจ่างของเมทริกซ์ (ตัวอย่างเช่น% ของศูนย์รายการ) ซึ่งสามารถแปลกลับไปเป็นกราฟได้ นอกเหนือจาก% ของรายการศูนย์แบนด์วิดท์ของเมทริกซ์ภายใต้การเรียงลำดับใหม่อาจเป็นพร็อกซีที่ดีสำหรับการกระจายของกราฟ (ดูเหมือนว่าแบนด์วิดท์เกี่ยวข้องกับความเสื่อม)