วิเคราะห์บอลและถังขยะในระบอบการปกครอง >>

เป็นที่ทราบกันดีว่าถ้าคุณโยนลูกบอล n ลูกลงในถังขยะถังขยะที่โหลดมากที่สุดมีแนวโน้มที่จะมีลูกอยู่ในนั้น โดยทั่วไปเราสามารถถามเกี่ยวกับลูกใน bins กระดาษจาก RANDOM 1998 โดย Raab และ Stegerศึกษารายละเอียดนี้โดยแสดงให้เห็นว่าเมื่อเพิ่มขึ้นความน่าจะเป็นที่จะสูงกว่าค่าที่คาดหวังของเพียงเล็กน้อยลดลงอย่างรวดเร็ว ประมาณ, การตั้งค่าพวกเขาแสดงให้เห็นว่าน่าจะเป็นของการมองเห็นมากกว่าเป็น(1) $O(\log n)$ $m > n$ $n$ $m$ $m/n$ $r = m/n$ $r + \sqrt{r\log n}$ $o(1)$

บทความนี้ปรากฏในปี 1998 และฉันไม่ได้พบอะไรเพิ่มเติมอีก มีผลลัพธ์ใหม่และเข้มข้นกว่านี้ในบรรทัดเหล่านี้หรือไม่หรือมีเหตุผลแบบฮิวริสติก / เป็นทางการที่น่าสงสัยว่าเป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่จะได้รับหรือไม่? ฉันควรเพิ่มว่าบทความที่เกี่ยวข้องกับตัวเลือกหลายตัวที่ร่วมเขียนโดย Angelika Steger ในปี 2549 ไม่ได้อ้างถึงงานล่าสุดอีกต่อไป

ปรับปรุง : เพื่อตอบสนองต่อความคิดเห็นของปีเตอร์ให้ฉันชี้แจงสิ่งที่ฉันอยากรู้ ฉันมีสองเป้าหมายที่นี่

ประการแรกฉันต้องรู้ว่าการอ้างอิงใดที่อ้างถึงและดูเหมือนว่านี่เป็นงานล่าสุดในเรื่องนี้
ประการที่สองมันเป็นความจริงที่ว่าผลลัพธ์จะค่อนข้างแน่นในช่วง r = 1 ฉันสนใจในช่วง m >> n และโดยเฉพาะในขอบเขตที่ r อาจเป็นโพลีล็อก n หรือแม้แต่ n ^ c ฉันพยายามที่จะสล็อตผลลัพธ์นี้เป็นบทแทรกที่ฉันพิสูจน์และขอบเขตเฉพาะใน r ควบคุมส่วนอื่น ๆ ของอัลกอริทึมโดยรวม ฉันคิดว่า (แต่ไม่แน่ใจ) ว่าช่วงที่ r จัดทำโดยเอกสารนี้อาจพอเพียง แต่ฉันแค่ต้องการให้แน่ใจว่าไม่มีขอบเขตที่แน่นกว่า (ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่า)

reference-request pr.probability

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

ฉันเรียนรู้ชื่อ“ ปัญหาการครอบครอง” จากแท็กดังนั้นขอบคุณที่โพสต์คำถามเพื่อการศึกษา :)

— Tsuyoshi Ito

ดูกระดาษของ Raab และ Steger มันยากสำหรับฉันที่จะค้นหาว่าคุณต้องการผลลัพธ์เพิ่มเติมตามแนวเหล่านี้ มีคำถามเฉพาะที่คุณต้องรู้คำตอบหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นคุณควรถามทั้งที่นี่หรือใน MathOverflow โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า Raab และ Steger ให้ขอบเขตที่แน่นของโดยที่คือค่าคงที่ที่ถูกต้อง

r = m / n

$r=m/n$

r + \sqrt{2 r \log n}

$r + \sqrt{2r \log n}$

2

$2$

— Peter Shor

@ ปีเตอร์ฉันจะแก้ไขคำถาม: มันเป็นจุดที่ถูกต้อง

— Suresh Venkat

ไม่ใช่คำตอบที่สมบูรณ์ (หรือการอ้างอิงที่มีประโยชน์) แต่เป็นเพียงความคิดเห็นที่ขยายออกไป สำหรับถังขยะที่กำหนดความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลในถังขยะจะถูกกำหนดโดย{} เราสามารถใช้อสมการได้เนื่องจาก Sondow, , เพื่อให้ได้ที่rโปรดสังเกตว่าขอบเขตนี้ค่อนข้างแน่นเนื่องจากอรรถเป็น $B$ $p_B = \binom{m}{B} \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ $\binom{(b+1)a}{a}<\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$ $p_B < \left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right)^B \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ $r=\frac{m}{B}-1$ $\binom{(b+1)a}{a}>\frac{1}{4ab}\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$

ดังนั้นเราจึงมี(n-1)} ตอนนี้เนื่องจากคุณสนใจที่จะหาหรือมากกว่านั้นในถังขยะเราสามารถพิจารณา(n-1)} การจัดเรียงข้อกำหนดใหม่เราจะได้รับ $p_B < e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - m\ln n + (m-B)\ln (n-1)}$ $B$ $p_{\geq B} = \sum_{b=B}^{m} p_b < \sum_{b=B}^{m} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - m\ln n + (m-b)\ln (n-1)}$

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \sum_{b = 0}^{m - B} e^{b (r + 1) \ln (r + 1) - b r \ln r - b \ln (n - 1)} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \sum_{b=0}^{m-B} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - b\ln (n-1)}.$

หมายเหตุการสรุปข้างต้นเป็นเพียงชุดเชิงเรขาคณิตดังนั้นเราสามารถทำให้สิ่งนี้ง่ายขึ้นเพื่อให้หากเราเขียนคำโดยใช้เลขชี้กำลังเราจะได้รับ ซึ่งจะกลายเป็น

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - (\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)}.$

\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)}

$\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}$

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}},

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}},$

p_{\geq B} < \frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} .

$p_{\geq B} < \frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}}.$

ตอนนี้ฉันเอาคุณสนใจเกี่ยวกับการหาบางอย่างที่สำหรับค่าคงที่เนื่องจากสิ่งนี้ให้ความน่าจะเป็นรวมของถังขยะที่มีหรือมากกว่าลูกบอลตามขอบเขต ข้างต้นโดยCเกณฑ์นี้เป็นที่น่าพอใจโดยการซึ่งสามารถ ถูกเขียนใหม่เป็น $B$ $p_{\geq B} < \frac{C}{n}$ $C$ $B$ $C$

\frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} = \frac{C}{n},

$\frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}} = \frac{C}{n},$

B = \frac{\ln (\frac{C}{n} e^{m \ln \frac{n}{n - 1}} (1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}) + e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)} .

$B = \frac{\ln\left(\frac{C}{n} e^{m\ln \frac{n}{n-1}} \left(1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right) + e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{(r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1)}.$

ฉันไม่แน่ใจว่าข้อคิดเห็นนี้มีประโยชน์กับคุณเพียงใด (เป็นไปได้โดยสิ้นเชิงว่าฉันทำผิดไปบางแห่ง) แต่หวังว่ามันจะเป็นประโยชน์

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา

มันยอดเยี่ยมมาก ขอบคุณสำหรับโครงร่าง

— Suresh Venkat

@Suresh: ดีใจที่มันมีประโยชน์

— Joe Fitzsimons