ความสัมพันธ์ระหว่างทัวริงจักรกับแคลคูลัสแลมบ์ดา?

49

มีความสัมพันธ์ระหว่างทัวริงจักรกับแคลคูลัสแลมบ์ดาหรือว่าเกิดขึ้นในเวลาเดียวกันหรือไม่?

computability lambda-calculus turing-machines

7

คุณช่วยอธิบายคำถามของคุณได้ไหม? ทั้งสองรุ่นมีพลังการคำนวณเท่ากัน (ทั้งคู่สามารถแสดงตระกูลของฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำ) ได้นั่นคือพวกเขากำลังทัวริงเสร็จสมบูรณ์ ดู: en.wikipedia.org/wiki/Turing_completeness

— Joel Rybicki

ที่เกี่ยวข้อง: ทฤษฎี Realizability: ความแตกต่างของอำนาจระหว่างแลมบ์ดาแคลคูลัสและทัวริงเครื่องจักร

— Kaveh

นี่เป็นคำถามที่ดี!

— Tayfun จ่าย

31

แคลคูลัสแลมบ์ดานั้นมีอายุมากกว่าโมเดลเครื่องจักรของทัวริงซึ่งดูเหมือนว่าสืบมาจากช่วงปี ค.ศ. 1928-1929 (Seldin 2006) และได้รับการคิดค้นขึ้นเพื่อสรุปความคิดของฟังก์ชันแผนผังที่คริสตจักรต้องการสำหรับตรรกะพื้นฐานที่เขาวางแผน มันไม่ได้คิดค้นในการจับความคิดทั่วไปของฟังก์ชั่นคำนวณและแน่นอนรุ่นพิมพ์ที่อ่อนแอจะได้ทำหน้าที่วัตถุประสงค์ของเขาดีขึ้น

ดูเหมือนว่าจะมีความขัดแย้งกับวัตถุประสงค์ของการที่โบสถ์แคลคูลัสคิดค้นกลายเป็นทัวริงสมบูรณ์แม้ว่าภายหลังโบสถ์ใช้แลมบ์ดาแคลคูลัสเป็นรากฐานของเขาสำหรับสิ่งที่เขาเรียกว่าฟังก์ชันคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ (1936) ซึ่งทัวริงหันไป .

ทฤษฎีประเภทง่ายๆของคริสตจักร (1940) ให้ทฤษฎีฟังก์ชันที่มีความพิมพ์ปานกลางซึ่งพอเพียงในการแสดงไวยากรณ์ของตรรกะระดับสูง แต่ไม่ได้ทำหน้าที่เรียกซ้ำทั้งหมด ทฤษฎีนี้สามารถเห็นได้ว่าสอดคล้องกับแรงจูงใจดั้งเดิมของศาสนจักรมากขึ้น

อ้างอิง

โบสถ์ (2479) ปัญหาที่แก้ไม่ตกในทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น วารสารคณิตศาสตร์อเมริกัน 58: 345–363
โบสถ์ (1940) สูตรของทฤษฎีที่เรียบง่ายของประเภท วารสารสัญลักษณ์เชิงตรรกะ 5 (2): 56—68
Seldin (2006) ตรรกะของแกงและคริสตจักร ในคู่มือประวัติศาสตร์ของลอจิกเล่ม 5: ลอจิกจากรัสเซลถึงคริสตจักรหน้า 19 819-874 นอร์ทฮอลแลนด์: อัมสเตอร์ดัม

หมายเหตุคำตอบนี้ได้รับการแก้ไขอย่างมากเนื่องจากคำคัดค้านของ Kaveh และ Sasho ผมขอแนะนำให้ระยะเวลาที่วิกิพีเดีย Kaveh แนะนำประวัติของวิทยานิพนธ์โบสถ์ทัวริงซึ่งมีคำพูดทางเลือกบางส่วนจากบทความน้ำเชื้อ

— Charles Stewart
แหล่งที่มา

2

คริสตจักรได้กล่าวอ้างว่าแลมบ์ดาแคลคูลัสได้รวบรวมสัญกรณ์ที่ใช้งานง่ายของการคำนวณได้ก่อนหน้ากระดาษของทัวริงนั่นคือเหตุผลที่เรียกว่าวิทยานิพนธ์ของศาสนจักร แนวคิดของการรวบรวมความคิดทั่วไปของฟังก์ชันที่คำนวณได้กลับไปอีก (เช่นฟังก์ชันเรียกซ้ำทั่วไปของ Godel) และโบสถ์พยายามจับภาพนั้น

— Kaveh

5

ฉันคิดว่ามันทำให้เข้าใจผิดที่จะบอกว่าความเท่าเทียมกันของโมเดลเป็นอุบัติเหตุที่สมบูรณ์ สำหรับผมแล้วดูเหมือนว่าคริสตจักรและทัวริงมุ่งมั่นที่จะรับแนวคิดที่เกี่ยวข้องแม้ว่าจะไม่ชัดเจนในทันทีว่าแนวคิดนั้นเกี่ยวข้องกัน คุณจะบอกว่าเป็น "อุบัติเหตุที่สมบูรณ์" หรือไม่ที่การรวมตัวกันของ Riemann และการต่อต้านความแตกต่างนั้นสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด?

— Sasho Nikolov

@Kaveh: ตาม Seldin (2006) ตรรกะของคริสตจักรและแกง , จุดมุ่งหมายและไวยากรณ์ของแลมบ์ดาแคลคูลัสได้รับการพัฒนาในช่วงปีพ. คำตอบของฉันจะได้รับประโยชน์จากไทม์ไลน์ แต่ตอนนี้ฉันไม่มีเวลารวบรวมกัน

— Charles Stewart

1

λ

$\lambda$

1

@Charles ตามที่ฉันเขียนฉันยอมรับว่าแรงจูงใจดั้งเดิมของศาสนจักรคือการสร้างพื้นฐาน (เช่นระบบของ Frege) (AFAIK) แต่เขาก็คิดว่ามันเป็นรูปแบบการคำนวณก่อนที่จะทำงานของทัวริง ฉันไม่คิดว่าคำตอบจะต้องถูกลบการแก้ไขย่อหน้าที่สองควรทำให้ดีขึ้น (เหตุผลที่ฉันแสดงความคิดเห็นคือฉันรู้สึกว่าในช่วงไม่กี่ครั้งที่ผู้คนดูงานเขียนของคริสตจักรต่ำกว่าความเป็นจริง)

— Kaveh

26

ฉันอยากจะชี้ให้เห็นว่าในขณะที่แลมบ์ดาแคลคูลัสและทัวริงเครื่องจักรคำนวณทั้งฟังก์ชั่นตัวเลขเชิงทฤษฎีในระดับเดียวกันพวกเขาไม่ได้เทียบเท่ากันอย่างแม่นยำในทุกวิถีทางเท่าที่จะเป็นไปได้ ยกตัวอย่างเช่นในทฤษฎี realizability มีข้อความที่สามารถรับรู้ได้โดยเครื่องจักรทัวริง แต่ไม่ใช่แลมบ์ดาแคลคูลัส คำกล่าวหนึ่งดังกล่าวเป็นวิทยานิพนธ์อย่างเป็นทางการของศาสนจักรซึ่งกล่าวว่า:

\forall f : n a t \to n a t \exists e \forall n \exists k (T (e, n, k) \land U (k, f (n)))

$\forall f : \mathbf{nat} \to \mathbf{nat} \ \exists e \ \forall n \ \exists k \ \big( \mathbf{T}(e, n, k) \land \mathbf{U}(k,f(n)) \big)$

$\mathbf{T}$ $c$ $f$ $e$ $f$ $f$ $c$ $c$ $f$ . สิ่งนี้ไม่สามารถทำได้ (ฉันสามารถอธิบายได้ว่าทำไมหากคุณถามเป็นคำถามแยกต่างหาก)

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

4

T_{E} X

$T_EX$

Andrej, บทความ Wikipedia ใช้ลำดับพารามิเตอร์ที่แตกต่างกันที่คุณใช้อาร์กิวเมนต์ที่สองคืออินพุตและที่สามคือรหัสของการคำนวณหยุดการทำงานอาร์กิวเมนต์แรกคือรหัสของเครื่อง ฉันเดาว่าคุณกำลังระบุ CT ฉันแก้ไขมันตาม vDT88

— Kaveh

f

$f$

λ

$\lambda$

f

$f$

λ

$\lambda$

@Kaveh: ฉันคิดว่ามันเป็นวิธีอื่น ๆ แต่ฉันก็ยังสงสัยว่าทำไมมันไม่เป็นธรรมชาติเลยที่จะมีเอาท์พุทประเภทเดียวกันกับอินพุตในกรณีของแคลคูลัสแลมบ์ดา

— Abel Molina

1

f : R \to R

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

2^{N}

$2^\mathbb{N}$

N^{N}

$\mathbb{N}^\mathbb{N}$

11

พวกเขามีความเกี่ยวข้องทั้งทางคณิตศาสตร์และประวัติศาสตร์

แคลคูลัสแลมบ์ดาได้รับการพัฒนาในปี 2471 - 2472 โดยโบสถ์อลองโซ (ตีพิมพ์ในปี 2475)

เครื่องทัวริงได้รับการพัฒนาในปี 1935 - 1937 โดย Alan Turing (ตีพิมพ์ในปี 1937)

Alan Turing เป็น Ph.D. ของโบสถ์ Alonzo นักศึกษาที่ปรินซ์ตันตั้งแต่ปี 2479 - 2481

เครื่องทัวริงและแคลคูลัสแลมบ์ดานั้นเทียบเท่ากันในกำลังการคำนวณ: แต่ละเครื่องจำลองได้อย่างมีประสิทธิภาพ

— แมตต์อาจ
แหล่งที่มา

6

Entscheidungsproblemเป็นหนึ่งใน 23 ปัญหาที่มีชื่อเสียงที่เสนอโดยนักคณิตศาสตร์ David Hilbert

ในปีค. ศ. 1936 และ 1937 Alonzo Church และ Alan Turing ตามลำดับเอกสารอิสระที่เผยแพร่แล้วแสดงให้เห็นว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินใจว่าอัลกอริทึมในการคำนวณทางคณิตศาสตร์เป็นจริงหรือเท็จ

สิ่งนี้กระทำโดย Alonzo Church ในปี 1936 ด้วยแนวคิดของ "การคำนวณที่มีประสิทธิภาพ" ตาม based แคลคูลัสของเขาและโดย Alan Turing ในปีเดียวกันกับแนวคิดของเครื่องจักรทัวริง ภายหลังได้รับการยอมรับว่าเป็นแบบจำลองการคำนวณที่เทียบเท่ากัน - วิกิพีเดีย

ดังนั้นแลมบ์ดาแคลคูลัสและทัวริงจักรไม่เพียงเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด แต่เป็นแบบจำลองการคำนวณที่เทียบเท่ากัน

คุณอาจจะยังชอบ Tor อ่าน ข้อเขียนทัวริง: เป็นไกด์ทัวร์ผ่านอลันทัวริงประวัติศาสตร์กระดาษ Computability และเครื่องทัวริงโดย Charles Petzold หนังสือเล่มนี้รวบรวมข้อมูลที่น่าสนใจเกี่ยวกับหัวข้อ

— Pratik Deoghare
แหล่งที่มา

4

เครื่องจักรทัวริงและแลมบ์ดาแคลคูลัสเป็นสองโมเดลที่จับความคิดของอัลกอริทึม (การคำนวณเชิงกล) คริสตจักรแลมบ์ดาถูกคิดค้นโดยคริสตจักรเพื่อทำการคำนวณด้วยฟังก์ชั่น มันเป็นพื้นฐานของภาษาโปรแกรมการทำงาน โดยทั่วไปปัญหาทุกอย่างที่คำนวณได้ (ถอดรหัสได้) โดยเครื่องทัวริงก็คำนวณได้โดยใช้แคลคูลัสแลมบ์ดา ดังนั้นพวกเขาจึงเป็นแบบจำลองการคำนวณสองแบบที่เทียบเท่ากัน (ขึ้นอยู่กับปัจจัยพหุนาม) และทั้งสองพยายามจับพลังของการคำนวณเชิงกลใด ๆ

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา