การสลายตัวแบบแยกส่วนและความกว้างกลุ่ม

ฉันพยายามที่จะเข้าใจแนวคิดบางอย่างเกี่ยวกับการแยกส่วนแบบแยกส่วนและกราฟความกว้างกลุ่ม

ในบทความนี้ ("ในกราฟ P4-ระเบียบ") มีหลักฐานของวิธีการแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพเช่นจำนวน clique หรือหมายเลขรงค์โดยใช้การสลายตัว Modular การแก้ปัญหาเหล่านี้โดยการเขียน (โดยใช้ผลรวมไม่รวมหรือแยกอิสระ) กราฟสองกราฟ G1, G2 นั้นง่ายเมื่อคุณรู้คำตอบสำหรับ G1 และ G2 เนื่องจากกราฟเฉพาะบนการสลายตัวของกราฟ P4-ระเบียบเป็นกราฟที่ถูกล้อมรอบ (เช่น C5, P5, ฯลฯ ) มันง่ายที่จะแก้มันสำหรับ "เคสฐาน" เหล่านี้จากนั้นจึงแก้ปัญหาสำหรับการจัดองค์ประกอบ ดังนั้นด้วยการใช้ทรีย่อยสลายมันเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาเหล่านี้ในเวลาเชิงเส้น

แต่ดูเหมือนว่าเทคนิคนี้จะใช้ได้กับคลาสกราฟใด ๆ ที่กำหนดขอบเขตกราฟไว้ จากนั้นฉันก็พบบทความนี้ "ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงเส้นเวลาที่แก้ไขได้เชิงเส้นบนกราฟของความกว้างของกลุ่มความกว้างของขอบเขต" ซึ่งดูเหมือนจะทำให้เป็นเรื่องทั่วไปที่ฉันกำลังมองหา แต่ฉันไม่เข้าใจมันเป็นอย่างดี

คำถามของฉันคือ:

1-จะเทียบเท่ากับการบอกว่ากราฟไพรม์ของแผนภูมิการสลายตัวถูกล้อมรอบ (เช่นในกรณีกราฟ P4-ระเบียบเรียบร้อย) และบอกว่ากราฟมีคุณสมบัติ "Clique-Width"

2-ในกรณีที่คำตอบสำหรับ1คือไม่ใช่ดังนั้น: มีผลใด ๆ เกี่ยวกับคลาสของกราฟที่มีขอบเขตกราฟกำหนดช่วงเวลา (เช่นในกราฟ P4 เรียบร้อย) และทำให้เกิดปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดเช่นหมายเลข clique-solvable ?

คุณจะพบข้อความเกริ่นนำเกี่ยวกับความกว้างของกลุ่ม (cwd สำหรับสั้น ๆ ) ที่นี่: ขอบเขตบนถึงความกว้างกลุ่มของกราฟ (B. Courcelle และ S. Olariu, DAM 101) คุณสามารถค้นหาผลลัพธ์ล่าสุดในแบบสำรวจนี้: การพัฒนาล่าสุดในกราฟของความกว้าง clique-bound (M. Kaminski, V. Lozin, M. Milanic, DAM 157 (12): 2747-2761 (2009)

Cwd คือการวัดความซับซ้อนบนพื้นฐานของการทำงานของกราฟที่สรุปการต่อคำ กราฟที่นับไม่สิ้นสุดสามารถมี cwd ที่ล้อมรอบ คุณจะบอกว่ากราฟ (เซตอนันต์) ของกราฟ (จำกัด หรือนับไม่ได้) จำกัด cwd หากมีค่าคงที่ k เช่นนั้นกราฟใด ๆ ในชุดนี้มี cwd ที่ k มากที่สุด ตัวอย่างเช่นกราฟที่สมบูรณ์มี cwd 2, กราฟระยะทางทางพันธุกรรม cwd ที่มากที่สุด 3, ...

1) ลิงก์ระหว่าง cwd และ modular-dec มีดังต่อไปนี้: cwd (G) = max {cwd (H) | H prime ใน dec ธันวาคมของ G} ดังนั้นคุณสามารถพูดได้ว่า cwd generalises ความจริงที่ว่า "กราฟที่สำคัญมีขนาด จำกัด " คุณสามารถมีกราฟที่มีกราฟเฉพาะขนาดไม่ จำกัด แต่มี cwd ที่ จำกัด

2) ถ้าขนาดของนายก - กราฟถูก จำกัด ขอบเขต cwd ถูก จำกัด ขอบเขต ผลลัพธ์ในกระดาษที่คุณอ้างถึงบอกว่าปัญหาใด ๆ ที่แสดงออกใน MSOL สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพในคลาสกราฟของ cwd ที่มีขอบเขต ชุดของปัญหานี้รวมถึงปัญหา NP-complete มากมาย: หมายเลข clique, จำนวนคงที่, 3-colorability, ...

มีการศึกษาแง่มุมอัลกอริทึมของโมดูลาร์ธันวาคม "การสำรวจแง่มุมอัลกอริธึมของการแยกส่วนโมดูล" (M. Habib และ C. Paul, วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทบทวน 4 (1): 41-59 (2010)