การแก้เขาวงกตจำนวนกระโดด

เด็กอายุ 8 ปีของฉันเบื่อหน่ายกับการสร้างเขาวงกตแบบดั้งเดิมและได้นำไปสร้างสายพันธุ์ที่มีลักษณะดังนี้:

ตัวอย่างจำนวนกระโดด

ความคิดคือการเริ่มต้นจาก x และเข้าถึง o ผ่านกฎปกติ นอกจากนี้คุณสามารถ "กระโดด" จากจำนวนเต็มไปยังจำนวนเต็มอื่น ๆได้ แต่คุณต้องจ่ายดอลลาร์สำหรับสิทธิพิเศษ เป้าหมายคือการแก้เขาวงกตในราคาที่ถูกที่สุด ในตัวอย่างข้างต้นเราสามารถเปลี่ยนจาก x เป็น o ผ่าน x-14-18-27-28-o ในราคา 5 แต่มันถูกกว่าที่จะไป x-13-11-9-8-29-28-o เท่านั้น 4 $a$ $b$ $|a-b|$

ดังนั้นนี่คือคำถามของฉัน: อะไรคือทางออกที่ดีที่สุด (ในแง่ของเวลาทำงานเชิงซีมโทติค) คุณสามารถคิดถึงการแก้ปัญหานี้ คุณอาจกำหนดสมมติฐานที่สมเหตุสมผลเกี่ยวกับรูปแบบการป้อนข้อมูล

หมายเหตุ:ฉันกำลังใช้แท็ก "ปริศนา" ที่นี่เพราะฉันมีคำตอบในใจ แต่ฉันไม่แน่ใจว่ามันเป็นวิธีที่ดีที่สุดและต้องการดูว่ามีใครบางคนสามารถปรับปรุงวิธีการแก้ปัญหาของฉัน (นี่คือจำนวนของจำนวนเต็มในเขาวงกต.) $O(n^2)$ $n$

ds.algorithms optimization puzzles

— Fixee
แหล่งที่มา

อุปกรณ์ประกอบฉากให้กับลูกของคุณสำหรับการสร้างปริศนาความคิดสร้างสรรค์และคณิตศาสตร์!

— bbejot

@bjjot คุณควรเห็นบางสิ่งที่เขาถามฉัน ... บางครั้งฉันไม่สามารถตอบคำถามของเขาได้ เช่นmath.stackexchange.com/questions/33094/…

— Fixee

ฉันไม่แน่ใจว่าการคำนวณต้นทุนของคุณถูกต้อง X-14-18-27-28-o ควรค่าใช้จ่ายและ x-13-11-9-8-29-28-o ควรค่าใช้จ่าย27

4 + 9 + 1 = 14

$4 + 9 + 1 = 14$

2 + 2 + 1 + 21 + 1 = 27

$2 + 2 + 1 + 21 + 1 = 27$

— Dave Clarke

@Dave ไม่ได้มีการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดที่กระโดด เราสามารถเขียน 'ab' สำหรับการกระโดด (ซึ่งมีราคา ) และ 'a-> b' สำหรับการเดินในกราฟจาก a ถึง b (ซึ่งมีค่า ) ซึ่งอนุญาตเฉพาะเมื่อ พวกเขาสามารถเข้าถึงได้โดยไม่ทำลายกำแพงในเขาวงกต ในสัญกรณ์นี้เรามี x-> 14-18-> 27-28-> o และค่าใช้จ่าย 5 และ x-> 13-11-> 9-8-> 29-28-> o ฉัน Thin Fixee ไม่แนะนำสัญกรณ์นี้เนื่องจากมันซ้ำซ้อน: ไม่มีเหตุผลที่จะกระโดดสองครั้งจึงกระโดดและเดินในเขาวงกตจะสลับกัน

| a - b |

$|a - b|$

0

$0$

— Artem Kaznatcheev

นี่เป็นปัญหาการบ้านที่ยอดเยี่ยม!

— Jeffε

คำตอบ:

คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้ในเวลาโดยใช้อัลกอริทึมของ Dijkstra เราสามารถออกไปได้โดยไม่ทำการอัปเดตทางไกลทั้งหมดเมื่อเราไปที่โหนดใหม่ หากเราไปที่โหนดเราต้องการเพียงอัปเดตระยะทางของทุกสิ่งที่สามารถเดินได้จากเป็น 0 และเพื่ออัปเดตระยะทางไปยังโหนดทั้งสองและด้วยค่าที่ใกล้เคียงกับน้อยกว่าและมากกว่าซึ่งไม่ ถูกเลือกแล้ว $O(n\log n)$ $y$ $y$ $y_-$ $y_+$ $y$ $y$

การอัปเดตเหล่านี้เพียงพอที่จะทำให้ฮีปส่งคืนองค์ประกอบขั้นต่ำเนื่องจากโหนดที่อยู่ใกล้ที่สุดที่คุณข้ามไปจะต้องเป็นตัวเลขด้านบนหรือด้านล่างโหนดที่เข้าชมแล้ว

แต่ละโหนดจะได้รับการอัปเดตเป็น 0 มากที่สุด (ถ้าเราเปิดโหนศูนย์ระยะไกลทั้งหมดจากคิวเพื่อหลีกเลี่ยงพฤติกรรมสมการกำลังสอง) และทุกครั้งที่เราเพิ่มโหนดเราจะทำการอัปเดตอื่น ๆ ของ O (1) เท่านั้น การค้นหาค่าและสามารถทำได้ในเวลาเชิงเส้นถ้าเรายังเก็บรายการที่เชื่อมโยงเป็นสองเท่าของลำดับของโหนดทั้งหมดเรียงลำดับตามค่าจำนวนเต็ม การสร้างรายการที่เชื่อมโยงเป็นทวีคูณนี้ใช้เวลาและสุดท้ายจะอัปเดตและปรากฏจาก heap ใช้เวลาสำหรับรันไทม์ทั้งหมดของ $y_-$ $y_+$ $O(n \log n)$ $O(n)$ $O(n \log n)$ $O(n \log n)$

— เดฟ
แหล่งที่มา

สิ่งนี้สามารถปรับปรุงได้เล็กน้อยโดยใช้การเรียงลำดับและลำดับความสำคัญซึ่งเป็นพิเศษสำหรับจำนวนเต็ม แต่คุณไม่สามารถทำได้ดีกว่าการเรียงลำดับจำนวนเต็มดังที่เห็นได้จากการลดลงต่อไปนี้: หากเรามีรายการค่าจำนวนเต็ม

, ตั้งค่า

ให้น้อยที่สุดเป็นสองเท่าของค่าเหล่านี้และ

เป็นค่าสูงสุดสองเท่า สร้างพื้นที่ที่มีค่า

และ

สำหรับแต่ละอื่น ๆ

ฉัน

ทางออกที่ดีที่สุดจะผ่านแต่ละภูมิภาคในการเรียงลำดับโดย

และทำให้เกิดการเรียงลำดับของ

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

x

$x$

o

$o$

2 x_{i}

$2x_i$

2 x_{i} + 1

$2x_i+1$

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

ค่า

x_{i}

$x_i$

— เดฟ

เดฟถูกต้องสามารถลดเป็น

โดยการอัปเดต

และ

เท่านั้น นอกจากนี้แทนที่จะเชื่อมต่อทุกโหนดในพื้นที่กับทุก ๆ โหนดในพื้นที่พวกเขาจะต้องเชื่อมต่อกับ 1 หรือ 2 โหนดอื่น ๆ ในภูมิภาค (ทำเส้นทาง) ดังนั้นแต่ละโหนดมีได้ถึง 4 ขอบเท่านั้น จากนั้นอัลกอริทึมของ Dijkstra (มีคิวนาทีลำดับความสำคัญ) อาจใช้การอนุญาตให้

เวลา

O (n l g n)

$O(n lg n)$

y_{+}

$y_+$

y_{-}

$y_-$

O (n l g n)

$O(n lg n)$

— bbejot

@bbejot: แต่ถ้าเป็นเช่นนั้นแล้วคิวลำดับความสำคัญที่สมบูรณ์โดย Thorup จะไม่ปรับปรุงเวลาในการทำงานเป็น

หรือแม้แต่

ด้วยเทคนิคการจัดเก็บข้อมูลเพิ่มเติมภายใต้สถานการณ์ที่ไม่ได้กำหนดเส้นทางหรือไม่?

O (n \log \log n)

$O(n \log\log n)$

O (n)

$O(n)$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

ฉันรู้สึกว่าอาจเป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่คุณจะได้รับ $O(n^2)$

ดูเหมือนเป็นเรื่องธรรมดาที่จะแปลงสิ่งนี้ให้เป็นปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดด้วยโหนดเริ่มต้นพิเศษ (x) และโหนดสิ้นสุด (0) จะมีอีกหนึ่งโหนดสำหรับแต่ละหมายเลข ทั้ง x และ 0 มีขอบของน้ำหนัก 0 ถึงโหนดจำนวนทั้งหมดซึ่งสามารถเข้าถึงได้ในเขาวงกต โหนดตัวเลขทั้งหมดเชื่อมต่อกับน้ำหนัก 0 (หากตัวเลขสามารถเข้าถึงเขาวงกตได้) หรือกับความแตกต่างระหว่างตัวเลข (หากไม่สามารถเข้าถึงเขาวงกตได้)

เส้นทางที่สั้นที่สุดในกราฟนี้ไม่สามารถแก้ไขได้ในน้อยกว่าเนื่องจากกราฟมีขอบประมาณและในกรณีที่เลวร้ายที่สุดจะต้องดูทุกกรณีทันที ดังนั้นอัลกอริทึม Dijkstra'a สำหรับเส้นทางที่สั้นที่สุดใช้เวลาและเป็นกรณีที่แย่ที่สุด $O(n^2)$ $n^2$ $O(n^2)$

— bbejot
แหล่งที่มา

นี่คือคำตอบที่ฉันมีอยู่ในใจ แน่นอนคุณต้องใช้โครงสร้างข้อมูลที่เหมาะสมด้วยวิธี Dijkstra ที่จะได้รับ

เวลาในการทำงาน การใช้กองไบนารีโดยทั่วไปจะให้ผลผลิต

)

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (n^{2} \lg n)

$O(n^2 \lg n)$

— Fixee

r

$r$

O (r^{2})

$O(r^2)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

O (r^{2} + n \log n)

$O(r^2 + n\log n)$

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$