ต้นไม้ที่มีความสามารถในการกังวลสูงสามารถบวกกับขอบได้ครึ่งหนึ่งหรือไม่?

14

ให้ G เป็นต้นไม้บนจุดสูงสุด 2n treewidth ของ G, tw (G) = 1 ทีนี้สมมติว่าเราเพิ่ม n edge เข้ากับ G เพื่อให้ได้กราฟ H ขอบเขตบนที่ง่ายของ tw (H) คือ n + 1 นี่คือสิ่งที่ดีที่สุดหรือไม่?

ดูเหมือนว่า tw (H) ควรเป็น O (sqrt (n)) แต่นี่เป็นเพียงลางสังหรณ์ที่คลุมเครือ เรารู้หรือไม่ว่าขอบเขตบนดีกว่า O (n) สำหรับ treewidth ของกราฟที่ได้รับโดยการเพิ่มขอบ n ให้กับต้นไม้บนจุดยอด 2n?

upper-bounds treewidth

— gphilip
แหล่งที่มา

18

แบบจำลองของคุณไม่ธรรมดาน้อยไปกว่าการถามเกี่ยวกับกราฟ 3 ตัวแบบปกติและกราฟตัวขยาย 3 ตัวแบบปกติจะมีความกังวลเชิงเส้น ดังนั้นฉันไม่รู้เกี่ยวกับปัจจัยคงที่ แต่Θ (n) เป็นไปได้ที่ดีที่สุดใช่

— David Eppstein
แหล่งที่มา

3

ขอบคุณที่ตอบคำถามของฉัน หากต้องการอธิบายคำตอบของเดวิดเล็กน้อยให้ H เป็นกราฟ 3 เส้นที่เชื่อมต่อกันบนจุดยอด 2n H จากนั้นมีขอบ 3n ให้ G เป็นต้นไม้บนจุดยอด 2n ที่ได้โดยการเอาขอบ n + 1 ออกจาก H การเพิ่ม n ของขอบเหล่านี้กลับไปที่ G จะให้ H '= (H ลบหนึ่งขอบ) การปล่อยให้ H เป็นกราฟตัวขยายที่มีความน่าเชื่อถือ \ theta (n) เราจะเห็นว่า H 'มี treewidth \ theta (n) เช่นกัน

— gphilip

8

ตามที่เดวิดชี้ให้เห็นคุณต้องขอขอบเขตจากความกังวลของกราฟที่เชื่อมต่อโดยมีค่าเฉลี่ย 3 สำหรับกรณีพิเศษของกราฟ 3 ตัวที่มากกว่าปกติคุณสามารถรับขอบเขตที่ต่ำกว่าและสูงกว่าได้ดังต่อไปนี้ แสดงว่าด้วย pw (G) ความกว้างของกราฟของกราฟ G เป็นที่ชัดเจนว่า

(1) tw (G) <= pw (G) สำหรับกราฟ G ใด ๆ (เนื่องจากการสลายตัวของเส้นทางคือการสลายตัวของต้นไม้)

มันได้รับการพิสูจน์ใน [1] ว่า

(2) สำหรับทุก \ epsilon> 0 มีจำนวนเต็ม n_0 เช่นนั้นสำหรับกราฟ 3 ปกติ G บน n> = n_0 จุดยอด, pw (G) <= n / 6 + \ epsilon * n

สิ่งนี้จะช่วยให้คุณมีขอบเขตบนของประมาณ n / 6 บนความยาวของกราฟ 3 แบบปกติ

สำหรับขอบเขตล่างเกือบแน่ใจฉันอ้างอิงจาก [2]:

"เมื่อกราฟลูกบาศก์แบบสุ่มเกือบจะแน่นอนมีความกว้างของการแบ่งอย่างน้อย 0.101 n (Kostochka, Melnikov, 1992) พวกเขาแทบไม่มีตัวคั่นที่มีขนาดเล็กกว่า n / 20" และแทบจะไม่มีการย่อยสลายต้นไม้ที่มีความกว้างน้อยกว่า n / 20 .

สำหรับขอบเขตที่ "แน่นอน" ที่ด้านล่างของความกว้างของการแบ่งครึ่ง [3] แสดงกราฟจำนวน 3 ตัวที่ไม่มีที่สิ้นสุดเช่นกราฟแต่ละกราฟ G = (V, E) ในตระกูลนี้มีความกว้างของการแบ่งอย่างน้อย 0.082 * | V |

[1] Fedor V. Fomin, Kjartan Høie: ความกว้างของกราฟลูกบาศก์และอัลกอริธึมที่แน่นอน Inf กระบวนการ. เลทท์ 97 (5): 191-196 (2549)

[2] Jaroslav Nesetril, Patrice Ossona de Mendez: ผู้สำเร็จการศึกษาและชั้นเรียนที่มีขอบเขตการขยาย II ด้านอัลกอริทึม Eur J. หวี 29 (3): 777-791 (2008)

[3] Sergei L. Bezrukov, Robert Elsässer, Burkhard Monien, Robert Preis, Jean-Pierre Tillich: ขอบเขตสเปกตรัมล่างแบบใหม่บนความกว้างของการแบ่งครึ่งของกราฟ theor คอมพิวเต วิทย์ 320 (2-3): 155-174 (2004)

— เสิร์จ Gaspers
แหล่งที่มา

ขอบคุณ Serge ฉันสามารถเข้าถึงขอบเขตของความกว้างของเส้นทางผ่านแบนด์วิดธ์ได้มากกว่าเส้นทางผ่านกราฟขยาย แต่ฉันยังไม่ได้อ่านข้อพิสูจน์ใด ๆ

— gphilip