ปัญหาคือการคำนวณพหุนาม ) สมมติว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดพอดีกับคำของเครื่องกล่าวคือสามารถจัดการในหน่วยเวลา
คุณสามารถทำเวลาโดยใช้ FFT ในแบบต้นไม้ คุณสามารถทำO ( n log n ) ได้ไหม?
ปัญหาคือการคำนวณพหุนาม ) สมมติว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดพอดีกับคำของเครื่องกล่าวคือสามารถจัดการในหน่วยเวลา
คุณสามารถทำเวลาโดยใช้ FFT ในแบบต้นไม้ คุณสามารถทำO ( n log n ) ได้ไหม?
คำตอบ:
คำเตือน: นี่ยังไม่เป็นคำตอบที่สมบูรณ์ หากข้อโต้แย้งความน่าเชื่อถือทำให้คุณอึดอัดให้หยุดอ่าน
ฉันจะพิจารณาตัวแปรที่เราต้องการคูณ (x - a_1) ... (x - a_n) เหนือจำนวนเชิงซ้อน
ปัญหาคือสองการประเมินพหุนามที่ n จุด เรารู้ว่าสิ่งนี้สามารถทำได้อย่างชาญฉลาดในเวลา O (n log n) เมื่อจุดเกิดขึ้นเป็นรากเหง้าแห่งความสามัคคี สิ่งนี้ใช้ประโยชน์ที่สำคัญของการสมมาตรของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่รองรับการแปลงฟูริเยร์อย่างรวดเร็ว การแปลงนั้นมาในสองรูปแบบโดยทั่วไปเรียกว่าการทำลายล้างในเวลาและการทำลายล้างในความถี่ ในเรเดียนสองพวกเขาอาศัยคู่สมมาตรของรูปหลายเหลี่ยมคู่แบบสม่ำเสมอ: สมมาตรที่เชื่อมต่อกัน (รูปหกเหลี่ยมปกติประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมสองด้านที่ประสานกันสองรูปแบบ) และรูปทรงของพัดลมที่แฉลบ (ตัดรูปหกเหลี่ยมปกติครึ่งหนึ่ง เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า)
จากมุมมองนี้ดูเหมือนว่าไม่น่าจะเป็นไปได้สูงที่อัลกอริทึม O (n log n) จะมีอยู่สำหรับเซต n จุดโดยพลการโดยไม่ต้องมีสมมาตรพิเศษ มันจะบอกเป็นนัยว่าไม่มีอะไรพิเศษที่เป็นอัลกอริธึมเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมปกติเมื่อเปรียบเทียบกับจุดสุ่มในระนาบเชิงซ้อน