การคูณพหุนาม n ในระดับ 1


35

ปัญหาคือการคำนวณพหุนาม ) สมมติว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดพอดีกับคำของเครื่องกล่าวคือสามารถจัดการในหน่วยเวลา(a1x+b1)××(anx+bn)

คุณสามารถทำเวลาโดยใช้ FFT ในแบบต้นไม้ คุณสามารถทำO ( n log n ) ได้ไหม?O(nlog2n)O(nlogn)


คำถามที่ดีดูเหมือนว่าฉันได้เห็นบางสิ่งที่คล้ายกันในบล็อกของใครบางคน แต่ฉันจำไม่ได้ว่ามันอยู่ตรงไหน
Grigory Yaroslavtsev

3
การสังเกตเล็กน้อย: เรารู้ (ทำงานกับ Q, พูด) n root , ดังนั้นปัญหาจึงเท่ากับ: ให้α 1 , , α n , คำนวณพหุนาม( x - α 1 ) ... ( x - α n ) (ฉันเดา)αi=bi/aiα1,,αn(xα1)(xαn)
ShreevatsaR

1
คุณสามารถอ้างอิงถึงผลลัพธ์หรือไม่? O(nlog2n)
Mohammad Al-Turkistany

2
ดังที่ @Suresh พูดถึงมันเป็นวิธีการแบ่งและพิชิตอย่างง่าย มันสามารถทั่วไปเพื่อให้ n polys อาจจะมีองศาที่แตกต่างซึ่งในกรณีนี้คุณสามารถแบ่งในแฟชั่นต้นไม้ Huffman ดู Strassen: ความซับซ้อนในการคำนวณของเศษส่วนต่อเนื่อง di
Zeyu

1
เราสามารถคำนวณการบิดของเวกเตอร์ของมิติคงที่ 2 ในเวลาO ( n log n ) ได้หรือไม่? nO(nlogn)
Kaveh

คำตอบ:


7

คำเตือน: นี่ยังไม่เป็นคำตอบที่สมบูรณ์ หากข้อโต้แย้งความน่าเชื่อถือทำให้คุณอึดอัดให้หยุดอ่าน

ฉันจะพิจารณาตัวแปรที่เราต้องการคูณ (x - a_1) ... (x - a_n) เหนือจำนวนเชิงซ้อน

ปัญหาคือสองการประเมินพหุนามที่ n จุด เรารู้ว่าสิ่งนี้สามารถทำได้อย่างชาญฉลาดในเวลา O (n log n) เมื่อจุดเกิดขึ้นเป็นรากเหง้าแห่งความสามัคคี สิ่งนี้ใช้ประโยชน์ที่สำคัญของการสมมาตรของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่รองรับการแปลงฟูริเยร์อย่างรวดเร็ว การแปลงนั้นมาในสองรูปแบบโดยทั่วไปเรียกว่าการทำลายล้างในเวลาและการทำลายล้างในความถี่ ในเรเดียนสองพวกเขาอาศัยคู่สมมาตรของรูปหลายเหลี่ยมคู่แบบสม่ำเสมอ: สมมาตรที่เชื่อมต่อกัน (รูปหกเหลี่ยมปกติประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมสองด้านที่ประสานกันสองรูปแบบ) และรูปทรงของพัดลมที่แฉลบ (ตัดรูปหกเหลี่ยมปกติครึ่งหนึ่ง เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า)

จากมุมมองนี้ดูเหมือนว่าไม่น่าจะเป็นไปได้สูงที่อัลกอริทึม O (n log n) จะมีอยู่สำหรับเซต n จุดโดยพลการโดยไม่ต้องมีสมมาตรพิเศษ มันจะบอกเป็นนัยว่าไม่มีอะไรพิเศษที่เป็นอัลกอริธึมเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมปกติเมื่อเปรียบเทียบกับจุดสุ่มในระนาบเชิงซ้อน


3
Ω(nlog2n)

ความจริง! ฉันหวังว่าฉันจะได้คำตอบที่ชัดเจนยิ่งขึ้น มันน่าสนใจสุด ๆ.
ต่อ Vognsen

รับรางวัลโปรดปราน!
Jeff

@PerVognsen: คุณสามารถให้การอ้างอิงสำหรับมุมมองนี้อีกครั้ง: สมมาตรของรูปหลายเหลี่ยม / สมมาตรประสาน หรือถ้านี่เป็นการสังเกตของคุณเองคุณสามารถขยายออกไปอีกหน่อยได้ไหม?
Joshua Grochow
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.