การคูณพหุนาม n ในระดับ 1

ปัญหาคือการคำนวณพหุนาม )สมมติว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดพอดีกับคำของเครื่องกล่าวคือสามารถจัดการในหน่วยเวลา $(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n)$

คุณสามารถทำเวลาโดยใช้ FFT ในแบบต้นไม้ คุณสามารถทำไหม? $O(n \log^2 n)$ $O(n \log n)$

— หมดเวลา
แหล่งที่มา

คำถามที่ดีดูเหมือนว่าฉันได้เห็นบางสิ่งที่คล้ายกันในบล็อกของใครบางคน แต่ฉันจำไม่ได้ว่ามันอยู่ตรงไหน

— Grigory Yaroslavtsev

การสังเกตเล็กน้อย: เรารู้ (ทำงานกับ Q, พูด) n root

, ดังนั้นปัญหาจึงเท่ากับ: ให้

, คำนวณพหุนาม

)

(ฉันเดา)

α_{i} = - b_{i} / a_{i}

$\alpha_i = -b_i/a_i$

α_{1}, \dots, α_{n}

$\alpha_1, \dots , \alpha_n$

(x - α_{1}) \dots (x - α_{n})

$(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_n)$

— ShreevatsaR

คุณสามารถอ้างอิงถึงผลลัพธ์

หรือไม่?

O (n \log^{2} n)

$O(n\log^2 n)$

— Mohammad Al-Turkistany

ดังที่ @Suresh พูดถึงมันเป็นวิธีการแบ่งและพิชิตอย่างง่าย มันสามารถทั่วไปเพื่อให้ n polys อาจจะมีองศาที่แตกต่าง

ซึ่งในกรณีนี้คุณสามารถแบ่งในแฟชั่นต้นไม้ Huffman ดู Strassen: ความซับซ้อนในการคำนวณของเศษส่วนต่อเนื่อง

d_{i}

$d_i$

— Zeyu

เราสามารถคำนวณการบิดของเวกเตอร์

ของมิติคงที่ 2 ในเวลา

หรือไม่?

n

$n$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Kaveh

คำเตือน: นี่ยังไม่เป็นคำตอบที่สมบูรณ์ หากข้อโต้แย้งความน่าเชื่อถือทำให้คุณอึดอัดให้หยุดอ่าน

ฉันจะพิจารณาตัวแปรที่เราต้องการคูณ (x - a_1) ... (x - a_n) เหนือจำนวนเชิงซ้อน

ปัญหาคือสองการประเมินพหุนามที่ n จุด เรารู้ว่าสิ่งนี้สามารถทำได้อย่างชาญฉลาดในเวลา O (n log n) เมื่อจุดเกิดขึ้นเป็นรากเหง้าแห่งความสามัคคี สิ่งนี้ใช้ประโยชน์ที่สำคัญของการสมมาตรของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่รองรับการแปลงฟูริเยร์อย่างรวดเร็ว การแปลงนั้นมาในสองรูปแบบโดยทั่วไปเรียกว่าการทำลายล้างในเวลาและการทำลายล้างในความถี่ ในเรเดียนสองพวกเขาอาศัยคู่สมมาตรของรูปหลายเหลี่ยมคู่แบบสม่ำเสมอ: สมมาตรที่เชื่อมต่อกัน (รูปหกเหลี่ยมปกติประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมสองด้านที่ประสานกันสองรูปแบบ) และรูปทรงของพัดลมที่แฉลบ (ตัดรูปหกเหลี่ยมปกติครึ่งหนึ่ง เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า)

จากมุมมองนี้ดูเหมือนว่าไม่น่าจะเป็นไปได้สูงที่อัลกอริทึม O (n log n) จะมีอยู่สำหรับเซต n จุดโดยพลการโดยไม่ต้องมีสมมาตรพิเศษ มันจะบอกเป็นนัยว่าไม่มีอะไรพิเศษที่เป็นอัลกอริธึมเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมปกติเมื่อเปรียบเทียบกับจุดสุ่มในระนาบเชิงซ้อน

— ต่อ Vognsen
แหล่งที่มา

Ω (n \log^{2} n)

$\Omega(n\log^2 n)$

ความจริง! ฉันหวังว่าฉันจะได้คำตอบที่ชัดเจนยิ่งขึ้น มันน่าสนใจสุด ๆ.

— ต่อ Vognsen

รับรางวัลโปรดปราน!

— Jeff

@PerVognsen: คุณสามารถให้การอ้างอิงสำหรับมุมมองนี้อีกครั้ง: สมมาตรของรูปหลายเหลี่ยม / สมมาตรประสาน หรือถ้านี่เป็นการสังเกตของคุณเองคุณสามารถขยายออกไปอีกหน่อยได้ไหม?

— Joshua Grochow