เส้นทางที่สั้นที่สุดไม่อนุญาตให้แต่ละขอบ

ฉันขอขอบคุณพอยน์เตอร์หรือคำศัพท์ใด ๆ ที่ทำให้ฉันเริ่มต้นในทิศทางที่ถูก

เรามีกราฟกำกับ $G=(V,E)$ และความยาว $l_{ij}$ สำหรับแต่ละขอบ $ij$ที่สามารถถือว่าเป็นบวก มีโหนดเริ่มต้นพิเศษ$s$ และโหนดสิ้นสุด $t$.

สำหรับแต่ละขอบ $ij$เราต้องการคำนวณความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก $s$ ถึง $t$ ที่ไม่ได้ใช้ขอบ $ij$.

อัลกอริทึมแรงเดรัจฉานอย่างง่าย ๆ คือเรียกใช้อัลกอริธึมพา ธ ที่สั้นที่สุดสำหรับแต่ละขอบแต่ละครั้งจะทำการลบขอบที่แตกต่างจากกราฟดั้งเดิม มีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากกว่าที่ใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่ามีการคำนวณซ้ำหลายครั้งเกิดขึ้นในอัลกอริทึมกำลังดุร้ายนี้หรือไม่?

ขอบคุณล่วงหน้า.

ปัญหาที่คุณพูดถึงเรียกว่า "เส้นทางการเปลี่ยน" นี่คือการอ้างอิงไม่กี่:

1. Gotthilf และ Lewenstein อัลกอริทึมที่ได้รับการปรับปรุงสำหรับเส้นทางที่สั้นที่สุด k อย่างง่ายและปัญหาเส้นทางทดแทน Inf พร ตัวอักษร, 109 (7): 352–355, 2009.บทความนี้ให้อัลกอริทึมที่แน่นอนที่สุดที่เร็วที่สุดสำหรับปัญหาพา ธ การแทนที่ที่รันในเวลา$O(mn+n^2\log\log n)$ เวลาในกราฟด้วย $n$ โหนดและ $m$ ขอบ
2. A. Bernstein อัลกอริธึมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการประมาณเส้นทางทดแทนและเส้นทางที่สั้นที่สุดที่สั้นที่สุดในกราฟทั่วไป ในพรอ. SODA, หน้า 742–755, 2010เอกสารนี้ให้รูปแบบการประมาณเวลา quasilinear อย่างน่าอัศจรรย์สำหรับปัญหา
3. J. Hershberger, S. Suri, และ A. Bhosle ในความยากลำบากของปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุด ในพรอ. STACS หน้า 343–354, 2003เอกสารนี้แสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมการเปรียบเทียบพา ธใด ๆ ที่แก้ปัญหาพา ธการแทนที่ต้องใช้เวลาอย่างน้อยที่สุด$\Omega(m\sqrt{n})$ เวลา.
4. V.Vassilevska W. , R. Williams Subcubic Equivalences ระหว่างปัญหา Path, Matrix และ Triangle ในพรอ. FOCS, หน้า 645-654, 2010เราแสดงให้เห็นว่าหากคุณได้รับ$O(n^{3-\varepsilon})$ อัลกอริทึมที่แน่นอนเวลาสำหรับเส้นทางทดแทนสำหรับค่าคงที่ใด ๆ $\varepsilon>0$จากนั้นสิ่งนี้สามารถแปลงเป็น $O(n^{3-\varepsilon'})$ อัลกอริธึมเวลาสำหรับทุกเส้นทางที่สั้นที่สุดสำหรับคู่คงที่ $\varepsilon'>0$. อัลกอริทึม subcubic อย่างแท้จริงสำหรับทุกเส้นทางที่สั้นที่สุดของคู่เป็นปัญหาเปิดที่ยาวนาน
5. O. Weimann, R. Yuster เส้นทางการเปลี่ยนผ่านการคูณเมทริกซ์รวดเร็ว ในพรอ. FOCS, หน้า 655-662, 2010และV. Vassilevska W. เส้นทางการเปลี่ยนที่เร็วขึ้น ในพรอ. SODA, หน้า 1337-1346, 2011เอกสารเหล่านี้แสดงวิธีใช้การคูณเมทริกซ์อย่างรวดเร็วเพื่อค้นหาเส้นทางการแทนที่ในกราฟที่มีน้ำหนักขอบจำนวนเต็มในช่วงเวลา$\{-M,\ldots, M\}$. กระดาษหลังให้รันไทม์ที่รู้จักกันดีที่สุดจนถึง$\tilde{O}(Mn^\omega)$.

หากคุณต้องการเชื่อมโยงกับแต่ละขอบความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่าง $s$ และ $t$คุณสามารถเริ่มต้นด้วยการคำนวณเส้นทางที่สั้นที่สุดในกราฟทั้งหมดและเชื่อมโยงกับแต่ละขอบไม่ได้อยู่ในเส้นทางที่สั้นที่สุดที่คุณเพิ่งคำนวณความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดในปัจจุบัน หลังจากนั้นคุณมีเวลามากที่สุด$n-1$ ขอบซ้ายซึ่งคุณไม่ทราบคำตอบ