โปรแกรมทางคณิตศาสตร์ประเภทใดที่สามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนหรือโดยประมาณในเวลาพหุนาม

ฉันค่อนข้างสับสนกับวรรณกรรมการหาค่าเหมาะที่สุดอย่างต่อเนื่องและวรรณกรรม TCS เกี่ยวกับประเภทของโปรแกรมคณิตศาสตร์ (ต่อเนื่อง) (MPs) ที่สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพและไม่สามารถทำได้ ชุมชนการปรับให้เหมาะสมอย่างต่อเนื่องดูเหมือนจะอ้างว่าโปรแกรมนูนทุกตัวสามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพ แต่ฉันเชื่อว่าคำจำกัดความของพวกเขาของ "ประสิทธิภาพ" ไม่ตรงกับข้อกำหนด TCS

คำถามนี้รบกวนฉันมากในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาและฉันไม่สามารถหาคำตอบที่ชัดเจนได้ ฉันหวังว่าคุณจะสามารถช่วยฉันจัดการสิ่งนี้ครั้งเดียวและสำหรับทุกคน: สมาชิกสภาผู้แทนราษฎรประเภทใดที่สามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนในเวลาพหุนามและโดยวิธีการใด และสิ่งที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับการประมาณทางออกที่ดีที่สุดของสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรที่เราไม่สามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนในเวลาพหุนาม

ด้านล่างนี้ฉันให้คำตอบที่ไม่สมบูรณ์สำหรับคำถามนี้ซึ่งอาจไม่ถูกต้องในบางสถานที่ดังนั้นฉันหวังว่าคุณจะสามารถตรวจสอบและแก้ไขฉันในจุดที่ฉันผิด มันยังระบุคำถามบางอย่างที่ฉันไม่สามารถตอบได้

เราทุกคนรู้ว่าการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นสามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนในเวลาพหุนามโดยใช้วิธีการทรงรีหรือวิธีการจุดภายในและจากนั้นใช้ขั้นตอนการปัดเศษบางอย่าง การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นยังสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามในจำนวนตัวแปรเมื่อเผชิญกับครอบครัวของ LPs ที่มีข้อ จำกัด เชิงเส้นจำนวนมากเป็นพิเศษตราบใดที่เราสามารถให้ "oracle แยก" สำหรับมัน: algoritm ที่ให้จุด ทั้งกำหนดว่าจุดนั้นเป็นไปได้หรือส่งออกไฮเปอร์เพลนที่แยกจุดจากรูปหลายเหลี่ยมของจุดที่เป็นไปได้ ในทำนองเดียวกันการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในเวลาพหุนามในจำนวนข้อ จำกัด เมื่อเผชิญกับครอบครัวของ LPs ที่มีตัวแปรจำนวนมากเป็นพิเศษหากมีวิธีการแยกอัลกอริทึมสำหรับคู่ของ LP เหล่านี้

วิธีรีนั้นยังสามารถแก้โปรแกรมสมการกำลังสองในเวลาพหุนามในกรณีที่เมทริกซ์ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์มีค่าเป็นบวก (กึ่ง?) แน่นอน ฉันสงสัยว่าด้วยการใช้กลอุบายการแยกในบางกรณีเราสามารถทำเช่นนี้ได้หากเรากำลังเผชิญกับข้อ จำกัด จำนวนมากอย่างไม่น่าเชื่อ มันเป็นเรื่องจริงเหรอ?

เมื่อเร็ว ๆ นี้การเขียนโปรแกรม semidefinite (SDP) ได้รับความนิยมอย่างมากในชุมชน TCS หนึ่งสามารถแก้ปัญหาพวกเขาได้ถึงความแม่นยำโดยพลการโดยใช้วิธีการจุดภายในหรือวิธีรูปไข่ ฉันคิดว่า SDP ไม่สามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนเนื่องจากปัญหาที่รากที่สองไม่สามารถคำนวณได้อย่างแน่นอน (?) มันจะถูกต้องไหมถ้าฉันบอกว่ามี FPTAS สำหรับ SDP? ฉันไม่ได้เห็นที่ระบุไว้ที่ใดก็ได้ดังนั้นจึงอาจไม่ถูกต้อง แต่ทำไม

เราสามารถแก้ไข LPs ได้อย่างแม่นยำและ SDP ได้อย่างแม่นยำ แล้วโปรแกรมรูปกรวยอื่น ๆ ในชั้นเรียนล่ะ? เราสามารถแก้ไขโปรแกรมกรวยลำดับที่สองได้อย่างแม่นยำโดยใช้วิธี ellipsoid หรือไม่ ฉันไม่รู้

MPs ประเภทใดที่เราสามารถใช้วิธี ellipsoid MP ชนิดใดที่คุณสมบัติดังกล่าวต้องการเพื่อตอบสนองว่าคำตอบสามารถให้ได้โดยมีความแม่นยำตามอำเภอใจและเราต้องการคุณสมบัติเพิ่มเติมใดเพื่อที่จะได้คำตอบที่ถูกต้องในเวลาพหุนาม คำถามเดียวกันสำหรับวิธีการจุดภายใน

โอ้และสุดท้ายสิ่งที่ทำให้เครื่องมือเพิ่มประสิทธิภาพอย่างต่อเนื่องบอกว่าโปรแกรมนูนสามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพคืออะไร? เป็นความจริงหรือเปล่าที่คำตอบที่มีความแม่นยำโดยพลการสำหรับโปรแกรมนูนสามารถพบได้ในเวลาพหุนาม ฉันไม่เชื่อดังนั้นคำจำกัดความของ "ความมีประสิทธิภาพ" ในด้านใดบ้างที่ต่างจากของเรา

ผลงานใด ๆ ที่ชื่นชม! ขอบคุณล่วงหน้า.

ฉันสามารถตอบส่วนนี้:

มันจะถูกต้องหรือไม่ถ้าฉันบอกว่ามี FPTAS สำหรับ SDP ฉันไม่ได้เห็นที่ระบุไว้ที่ใดก็ได้ดังนั้นจึงอาจไม่ถูกต้อง แต่ทำไม

ข้อความนั้นถูกต้อง แต่เรามักไม่เห็นเพราะข้อความที่แข็งแกร่งจัดขึ้นและมีความสำคัญมากกว่าคำสั่งที่อ่อนแอกว่านี้

FPTAS เป็นอัลกอริธึมเวลาพหุนามซึ่งได้รับปัญหาและพารามิเตอร์ความแม่นยำ 1 ^k , ส่งออกโซลูชั่น (ประมาณ1 + 1 / k ) -approximate

แต่สำหรับ SDP นั้นวิธี ellipsoid และวิธีการจุดภายในมีอัลกอริธึมแบบเวลาพหุนามซึ่งทำให้เกิดปัญหาและพารามิเตอร์ความแม่นยำ 1 ^kส่งออก a (1 + 2 ^{- k} ) -approximate solution โปรดทราบว่าปัจจัยการประมาณจะดีกว่าสิ่งที่จำเป็นสำหรับ FPTAS

ฉันไม่ทราบว่าปัญหานูนทั้งหมดอยู่ใน P หรือไม่ แต่ฉันสามารถตอบคำถามที่เกี่ยวข้องได้: การเพิ่มประสิทธิภาพ nonconvex นั้นเป็นปัญหาที่ยาก ดู"การเขียนโปรแกรมกำลังสองกับหนึ่ง eigenvalue ลบคือ NP-ยาก"