ถาวรของ


9

ปล่อย A เป็น 3×3 หรือ 4×4 เมทริกซ์ที่มีรายการ aij. ใครช่วยจัดหาเมทริกซ์ให้ฉันได้บ้างB ดังนั้น per(A)=det(B)? อะไรคือชัดเจนที่สุดที่เล็กที่สุดที่รู้จักกันว่า ? การอ้างอิงใด ๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้พร้อมตัวอย่างชัดเจน?Bper(A)=det(B)

ข้อ จำกัด บางประการอาจเป็นกรณีต่อไปนี้:

กรณี functionals เชิงเส้นเท่านั้นจะได้รับอนุญาตเป็นรายการของB(1)B

กรณีอนุญาตให้ฟังก์ชันที่ไม่ใช่เชิงเส้นแต่ละเทอมมีระดับ (ระดับคือผลรวมของระดับของตัวแปร) โดยที่คือขนาดของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง ในกรณีของเรา, ระดับไม่เกิน2(2)O(log(n))n2


2
@vs ข้อ จำกัด ของคืออะไร หากไม่มีเลยคือเมทริกซ์ที่มีแต่ ฉันเดาว่านั่นไม่ใช่สิ่งที่คุณมีในใจ โดยปกติหนึ่งช่วยให้รายการของจะเป็นฟังก์ชั่นเลียนแบบเชิงเส้นของตัวแปรใน B
B=(ต่อ(A))
1×1det(B)=per(A)BA
Tyson Williams

คำตอบ:


18

[แก้ไข]

  1. เพื่อความมั่นคง, ผมเปลี่ยนข้อความจากเพื่อ(n)c(n)dc(n)
  2. มันถูกถามโดยvsในความคิดเห็นว่าคำตอบของฉันทำให้เป็นขนาดที่สูงขึ้นหรือไม่ มันทำและให้ขอบเขตบนของฟิลด์ใด ๆ : ดูร่างของฉันบนนี้: ผูกพันบนสำหรับถาวรเมื่อเทียบกับปัจจัยปัญหา
    dc(n)2n1.

[/ แก้ไข]

[ความคิดเห็นด้านข้าง: ฉันคิดว่าคุณสามารถแก้ไขคำถามก่อนหน้าของคุณแทนที่จะสร้างคำถามใหม่]

ฉันมีคำตอบต่อไปนี้สำหรับคุณ:

per(abcdefghi)=det(0adg0000100if000100ci0001c0fe000100h000010b000001)

โปรดทราบว่าการค้นหาการอ้างอิงดังกล่าวเกี่ยวกับตัวอย่างที่ชัดเจนฉันไม่สามารถหาได้ดังนั้นตัวอย่างที่ฉันให้คุณคือตัวอย่างที่ฉันสร้างขึ้น

คำถามที่คุณถามนี้มักเรียกว่า "ปัญหาเทียบกับปัญหาถาวร" สมมติว่าเราจะได้รับเมทริกซ์และเราต้องการเมทริกซ์ที่เล็กที่สุดดังกล่าวว่าB ให้เราแทนด้วยขนาดของเล็กที่สุดเช่นนั้น นี่คือผลลัพธ์ทางประวัติศาสตร์:(n×n)ABต่อA=เดชอุดมBd(n)B

  • [Szegö 1913]d(n)n+1
  • [von zur Gathen 1986]d(n)n2-6n
  • [Cai 1990]d(n)n2
  • [Mignon & Ressayre 2004] 2/2 ในคุณลักษณะd(n)n2/20
  • [Cai เฉินและหลี่ 2008]ในลักษณะ2d(n)n2/22

นี่แสดงให้เห็นว่า (ขอบบนคือเมทริกซ์ที่ระบุด้านบน)5d(3)7

ในขณะที่ฉันขี้เกียจฉันแค่ให้การอ้างอิงหนึ่งเดียวแก่คุณซึ่งคุณสามารถหาคนอื่นได้ มันเป็นกระดาษที่ผ่านมามากที่สุดที่ผมอ้างถึงโดย Cai เฉินและหลี่: กำลังสองขอบเขตล่างสำหรับปัญหาถาวรและปัจจัยมากกว่าลักษณะใด ๆ22

ถ้าคุณอ่านฝรั่งเศส, คุณยังสามารถได้ดูภาพนิ่งของฉันในเรื่องนี้อย่างถาวรเมื่อเทียบกับปัจจัย


ขอบคุณมาก. ฉันลืมที่จะพูดถึงว่าฉันคุ้นเคยกับขอบเขตล่างและสมการกำลังสอง ตัวอย่างของคุณเป็นเรื่องใหม่สำหรับฉันและแน่นอนฉันจะดูสไลด์ภาษาฝรั่งเศสของคุณ :)
เทียบกับ

1
ในการแปลงสูตรเป็นดีเทอร์แนนต์มันเป็นผลลัพธ์ (คลาสสิค?) โดย Valiant ในปี 1979 เราอธิบายผลลัพธ์นี้ในบทความของเราในหัวข้อ 2.1 (cf [ arxiv.org/abs/1007.3804] )
Bruno

2
สำหรับ n=3โปรดทราบว่ามีค่าคงที่ใน O (n2 ^ n) เพื่อให้ 24 ไม่ใช่ค่าที่ถูกต้อง แต่ฉันคิดว่าตัวอย่างของฉันดีกว่าการใช้สูตรของ Ryser + Valiant นี่เป็นเรื่องปกติที่คน ๆ หนึ่งสามารถจินตนาการได้ว่าการเปลี่ยนจากสูตรถาวรไปเป็นสูตรแล้วกลับไปที่ดีเทอร์มิแนนต์ไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุดที่จะทำ ฉันจะไม่พูดตัวอย่างของฉันคือ "ดีกว่า Ryser's" เนื่องจากเป้าหมายไม่เหมือนกัน โปรดทราบว่าสูตรของ Glynn หรือ Ryser นั้นไม่ดีเท่าสูตรเล็กน้อยสำหรับn=3พวกเขาเอาชนะมันโดยไม่แสดงอาการเท่านั้น
Bruno

2
ฉันได้ดูกระดาษของ JY Cai โฉมใหม่ ทฤษฎีบท 3 ให้ขอบเขตที่ดีกว่า:c(n)O(2n).
Bruno

2
@Bruno: คำตอบที่ยอดเยี่ยม!
Dai Le
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.