ถาวรของ

ปล่อย $A$ เป็น $3 \times 3$ หรือ $4 \times 4$ เมทริกซ์ที่มีรายการ $a_{ij}$ . ใครช่วยจัดหาเมทริกซ์ให้ฉันได้บ้าง $B$ ดังนั้น $\operatorname{per}(A) = \det(B)$ ? อะไรคือชัดเจนที่สุดที่เล็กที่สุดที่รู้จักกันว่า ? การอ้างอิงใด ๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้พร้อมตัวอย่างชัดเจน? $B$ $\operatorname{per}(A) = \det(B)$

ข้อ จำกัด บางประการอาจเป็นกรณีต่อไปนี้:

กรณี functionals เชิงเส้นเท่านั้นจะได้รับอนุญาตเป็นรายการของB $(1)$ $B$

กรณีอนุญาตให้ฟังก์ชันที่ไม่ใช่เชิงเส้นแต่ละเทอมมีระดับ (ระดับคือผลรวมของระดับของตัวแปร) โดยที่คือขนาดของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง ในกรณีของเรา, ระดับไม่เกิน2 $(2)$ $O(log(n))$ $n$ $2$

cc.complexity-theory algebraic-complexity permanent

— VS
แหล่งที่มา

@vs ข้อ จำกัด ของคืออะไร หากไม่มีเลยคือเมทริกซ์ที่มีแต่ ฉันเดาว่านั่นไม่ใช่สิ่งที่คุณมีในใจ โดยปกติหนึ่งช่วยให้รายการของจะเป็นฟังก์ชั่นเลียนแบบเชิงเส้นของตัวแปรใน

B

$B$

B = (\begin{matrix} ต่อ (A) \end{matrix})

$B = \begin{pmatrix} \operatorname{per}(A)\end{pmatrix}$

1 \times 1

$1 \times 1$

det (B) = per (A)

$\det(B) = \operatorname{per}(A)$

B

$B$

A

$A$

— Tyson Williams

[แก้ไข]

เพื่อความมั่นคง, ผมเปลี่ยนข้อความจากเพื่อ(n) $c(n)$ $dc(n)$
มันถูกถามโดยvsในความคิดเห็นว่าคำตอบของฉันทำให้เป็นขนาดที่สูงขึ้นหรือไม่ มันทำและให้ขอบเขตบนของฟิลด์ใด ๆ : ดูร่างของฉันบนนี้: ผูกพันบนสำหรับถาวรเมื่อเทียบกับปัจจัยปัญหา $d c (n) \leq 2^{n} - 1.$ $dc(n)\le 2^n-1.$

[/ แก้ไข]

[ความคิดเห็นด้านข้าง: ฉันคิดว่าคุณสามารถแก้ไขคำถามก่อนหน้าของคุณแทนที่จะสร้างคำถามใหม่]

ฉันมีคำตอบต่อไปนี้สำหรับคุณ:

per (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}) = det (\begin{matrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\operatorname{per}\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

โปรดทราบว่าการค้นหาการอ้างอิงดังกล่าวเกี่ยวกับตัวอย่างที่ชัดเจนฉันไม่สามารถหาได้ดังนั้นตัวอย่างที่ฉันให้คุณคือตัวอย่างที่ฉันสร้างขึ้น

คำถามที่คุณถามนี้มักเรียกว่า "ปัญหาเทียบกับปัญหาถาวร" สมมติว่าเราจะได้รับเมทริกซ์และเราต้องการเมทริกซ์ที่เล็กที่สุดดังกล่าวว่าB ให้เราแทนด้วยขนาดของเล็กที่สุดเช่นนั้น นี่คือผลลัพธ์ทางประวัติศาสตร์: $(n\times n)$ $A$ $B$ $\operatorname{per} A=\det B$ $dc(n)$ $B$

[Szegö 1913] $dc(n)\ge n+1$
[von zur Gathen 1986] $dc(n)\ge n\sqrt 2-6\sqrt n$
[Cai 1990] $dc(n)\ge n\sqrt 2$
[Mignon & Ressayre 2004] 2/2 ในคุณลักษณะ $dc(n)\ge n^2/2$ $0$
[Cai เฉินและหลี่ 2008]ในลักษณะ2 $dc(n)\ge n^2/2$ $\neq 2$

นี่แสดงให้เห็นว่า (ขอบบนคือเมทริกซ์ที่ระบุด้านบน) $5\le dc(3)\le 7$

ในขณะที่ฉันขี้เกียจฉันแค่ให้การอ้างอิงหนึ่งเดียวแก่คุณซึ่งคุณสามารถหาคนอื่นได้ มันเป็นกระดาษที่ผ่านมามากที่สุดที่ผมอ้างถึงโดย Cai เฉินและหลี่: กำลังสองขอบเขตล่างสำหรับปัญหาถาวรและปัจจัยมากกว่าลักษณะใด ๆ $\neq 2$ 2

ถ้าคุณอ่านฝรั่งเศส, คุณยังสามารถได้ดูภาพนิ่งของฉันในเรื่องนี้อย่างถาวรเมื่อเทียบกับปัจจัย

— บรูโน่
แหล่งที่มา

ขอบคุณมาก. ฉันลืมที่จะพูดถึงว่าฉันคุ้นเคยกับขอบเขตล่างและสมการกำลังสอง ตัวอย่างของคุณเป็นเรื่องใหม่สำหรับฉันและแน่นอนฉันจะดูสไลด์ภาษาฝรั่งเศสของคุณ :)

— เทียบกับ

ในการแปลงสูตรเป็นดีเทอร์แนนต์มันเป็นผลลัพธ์ (คลาสสิค?) โดย Valiant ในปี 1979 เราอธิบายผลลัพธ์นี้ในบทความของเราในหัวข้อ 2.1 (cf [ arxiv.org/abs/1007.3804] )

— Bruno

สำหรับ

n = 3

$n=3$ โปรดทราบว่ามีค่าคงที่ใน O (n2 ^ n) เพื่อให้ 24 ไม่ใช่ค่าที่ถูกต้อง แต่ฉันคิดว่าตัวอย่างของฉันดีกว่าการใช้สูตรของ Ryser + Valiant นี่เป็นเรื่องปกติที่คน ๆ หนึ่งสามารถจินตนาการได้ว่าการเปลี่ยนจากสูตรถาวรไปเป็นสูตรแล้วกลับไปที่ดีเทอร์มิแนนต์ไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุดที่จะทำ ฉันจะไม่พูดตัวอย่างของฉันคือ "ดีกว่า Ryser's" เนื่องจากเป้าหมายไม่เหมือนกัน โปรดทราบว่าสูตรของ Glynn หรือ Ryser นั้นไม่ดีเท่าสูตรเล็กน้อยสำหรับ

n = 3

$n=3$ พวกเขาเอาชนะมันโดยไม่แสดงอาการเท่านั้น

— Bruno

ฉันได้ดูกระดาษของ JY Cai โฉมใหม่ ทฤษฎีบท 3 ให้ขอบเขตที่ดีกว่า:

c (n) \leq O (2^{n})

$c(n)\le O(2^n)$ .

— Bruno

@Bruno: คำตอบที่ยอดเยี่ยม!

— Dai Le