สูตรที่สั้นที่สุดสำหรับ CNF แบบระยะเดียว

สูตร CNF แบบ monotone พร้อมเงื่อนไข m ในตัวแปร n ( ) เป็นสูตรของรูปแบบซึ่งแต่ละเป็น OR ของชุดย่อยบางส่วนของตัวแปรและมีตั้งแต่ไปม. f ( x 1 , … , x n ) = ⋀ C i C ฉันx 1 , … , x n i 1 $x_1,\ldots,x_n$$f(x_1,\ldots,x_n) = \bigwedge C_i$$C_i$$x_1,\ldots,x_n$$i$$1$$m$

ตัวอย่างเช่นเป็นสูตร CNF แบบโมโนโทนที่มี 2 คำศัพท์ในตัวแปร 4 ตัว$(x_1 \vee x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_4)$

ฉันกำลังมองหาสูตรที่สั้นที่สุด (ไม่จำเป็นต้องเป็นเสียงเดียวไม่จำเป็นต้อง CNF สูตรใด ๆ จะทำ!) ในชุดของตัวแปรเดียวกันที่แสดงถึงฟังก์ชั่นเดียวกันกับสูตร CNF แบบ monotone ที่กำหนดบนตัวแปร n ที่มีคำศัพท์ n (โปรดทราบว่าจำนวนคำและตัวแปรเหมือนกัน)

วิธีการหนึ่งที่เห็นได้ชัดในการสร้างสูตรคือการขยายออกคำนิยาม CNF รับซึ่งจะทำให้เรามีสูตรที่มีขนาด2) (ลองกำหนดขนาดของสูตรให้เป็นความยาวของสูตรเมื่อมันถูกเขียนเป็นสตริง) ฉันต้องการที่จะรู้ว่านี่เป็นการสร้างทั่วไปที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดหรือสำหรับทุกระยะ n-term CNF มีสูตรอยู่ ขนาด2)o ( n 2$O(n^2)$$o(n^2)$

ฉันแค่อยากรู้ว่ามันเป็นไปได้หรือเปล่าฉันไม่ได้สนใจอัลกอริธึมจริงๆ ถ้าเป็นไปไม่ได้ฟังก์ชั่นที่ทำหน้าที่เป็นตัวอย่างจะดีมาก ตัวชี้ไปยังที่ที่ฉันสามารถหาคำตอบในวรรณกรรมได้เช่นกัน

แก้ไข: ฉันเพิ่มตัวอย่างเพื่อให้เรทชัดเจนขึ้น

บอกว่าสูตรใส่เป็นx_n) นี่คือสูตร CNF เดียว สูตรสั้นซึ่งหมายถึงฟังก์ชั่นเดียวกันคือต่อไปนี้:x_n)$f = (x_1 \vee x_2) \wedge (x_1 \vee x_3) \wedge \ldots \wedge (x_1 \vee x_n)$$x_1 \vee (x_2 \wedge x_3 \wedge \ldots \wedge x_n)$

คุณสามารถรับขอบเขตล่างโดยใช้อาร์กิวเมนต์การนับ: มี -term CNFs ในตัวแปร (นี่เป็นเรื่องง่าย แต่ต้องการการดูแลเพียงเล็กน้อย ตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีมากกว่านับ) แต่มีสูตร (หรือแม้กระทั่งวงจร) ขนาดที่มากที่สุดs $\Omega(n^2/\log n)$$exp(n^2)$ $n$$n$$exp(s \log s)$$s$

ดูเหมือนว่าการชนะปัจจัยสุดท้ายจะยากเนื่องจากต้องมีการพิสูจน์ขีด จำกัด ล่างของกำลังสองในขนาดสูตรและฉันเดาว่าเทคนิคที่มีอยู่ไม่กี่ตัวสำหรับการทำเช่นนี้ไม่เพียงพอ แม้อาจจะเป็นคำตอบที่เหมาะสม - อย่างน้อยขนาดวงจร - ใช้บางส่วนสี่รัสเซียเหมือนเทคนิค$\log n$$O(n^2/\log n)$

พิจารณาว่าสำหรับ CNF ใด ๆ คุณสามารถคำนวณชุดของ implicates ที่สำคัญ (ซึ่งขั้นต่ำใด ๆ จะต้องเป็นชุดย่อย) โดยการปิดภายใต้ความละเอียดและใช้การกำจัด subsumption

อย่างไรก็ตามในกรณีของ CNFมีโทนสีเดียวการปิดความละเอียดของคือ (เนื่องจากไม่มีตัวอักษรเชิงลบจึงไม่สามารถทำการแก้ปัญหาได้) ดังนั้น CNF ขั้นต่ำคือชุดของส่วนที่สำคัญซึ่งเป็นสูตรที่คุณมีอยู่แล้ว$F$$F$$F$

แน่นอนฉันสมมติว่าคุณไม่ต้องการแนะนำตัวแปรใหม่

หากคุณต้องการให้แน่ใจว่าคุณมีสูตรบางอย่างที่มีคำตามที่คุณแนะนำวิธีเดียวที่จะได้รับคือการขยายส่วนคำสั่งบางส่วนโดยการเพิ่มตัวแปรที่ขาดหายไป ใด ๆ CNF ดังกล่าวควรมีจำนวนเท่ากันของตัวอักษร (วัดขนาดที่คุณแนะนำผมเชื่อว่า) สำหรับการแก้ไขและn$n$$f$$n$