จิ๊กซอว์ตัดไม้

ปัญหา: เราได้รับชุดแท่งทั้งหมดที่มีความยาวจำนวนเต็ม ผลรวมทั้งหมดของความยาวคือ n (n + 1) / 2

เราแยกพวกมันออกเพื่อรับแท่งขนาดในเวลาพหุนามได้ไหม? ${1,2,\ldots,n}$

น่าแปลกที่การอ้างอิงเดียวที่ฉันพบสำหรับปัญหานี้คือการสนทนาโบราณนี้:

http://www.iwriteiam.nl/cutsticks.html

มีอะไรอีกที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับปัญหานี้? เราสามารถพิสูจน์ปัญหาที่จะ `อยู่ในบริเวณขอบรก 'ได้หรือไม่?

ปรับปรุง: ปัญหาของแท่งมีดมีข้อ จำกัด ว่าไม้แต่ละอันมีความยาวอย่างน้อยหน่วย (ดูความคิดเห็นและคำตอบของ Tsuyoshi สำหรับคดีที่ไม่มีข้อ จำกัด )$n$

ข้อควรระวัง: ตามที่ Jukka Suomela ให้ความเห็นเกี่ยวกับคำถามหน้าเว็บที่เชื่อมโยงจากคำถามนั้นเกี่ยวกับปัญหาที่แตกต่างจากปัญหาที่ระบุไว้ในคำถามเนื่องจากปัญหาในหน้านั้นมีข้อ จำกัด ว่าความยาวแท่งที่ให้นั้นมีมากกว่าหรือเท่ากับ n คำตอบนี้เกี่ยวกับปัญหาโดยไม่มีข้อ จำกัด นี้ เนื่องจากความคิดเห็นของ Emil ในคำถามหมายถึงปัญหาเกี่ยวกับข้อ จำกัด จึงไม่มีข้อขัดแย้งระหว่างความคิดเห็นของเขาและคำตอบต่อไปนี้

ปัญหาคือปัญหา NP-complete แม้ว่าตัวเลขจะได้รับใน unary

ปัญหา 3- พาร์ติชันเป็นปัญหาต่อไปนี้:
อินสแตนซ์ : จำนวนเต็มบวก a ₁ , …, a _nในยูนารีโดยที่ n = 3 m และผลรวมของจำนวนเต็ม n เท่ากับ mB เช่นกันที่_ฉันตอบสนอง B / 4 < a _i <B / 2
คำถาม : Can เลขที่₁ , ... เป็น_nแบ่งออกเป็นมัลติเมตรเพื่อให้ผลรวมของแต่ละ MultiSet เท่ากับ B หรือไม่?

ปัญหา 3 พาร์ทิชัน NP-สมบูรณ์แม้ว่า₁ ... เป็น_nทุกคนที่แตกต่างกัน [HWW08] (ขอบคุณ Serge Gaspers สำหรับบอกฉันเกี่ยวกับเรื่องนี้ ) เป็นไปได้ที่จะลดปัญหาการแบ่งพาร์ติชันรุ่นที่ จำกัด นี้ให้เป็นปัญหาดังต่อไปนี้

สมมติว่าเราจะได้รับตัวอย่างของปัญหา 3 พาร์ทิชันประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกชัดเจนหนึ่ง₁ ... เป็นn ให้ m = n / 3 และ B = (เป็น₁ + ... + A _n ) / m และให้ n สูงสุดในหมู่ที่ฉัน พิจารณาตัวอย่างปัญหาติด: ตัวอย่างประกอบด้วยความยาวแท่งหนึ่ง k สำหรับแต่ละk∈ {1, …, N} ∖ {a ₁ , …, a _n } และ m แท่งยาว b โดยใช้ข้อเท็จจริง แต่ละอันที่_ฉันตอบสนอง_ฉัน > B / 4 ≥ N / 2 มันเป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าปัญหาติดนี้มีทางออกถ้าหากอินสแตนซ์ของปัญหา 3 พาร์ติชันมีวิธีแก้ไข

อ้างอิง

[HWW08] Heather Hulett, Todd G. Will, Gerhard J. Woeginger การหาปริพันธ์หลายระดับเพื่อให้ได้ปริญญา: การทำให้เป็นเรื่องง่ายที่สุดการย่อขนาดนั้นทำได้ยาก จดหมายงานวิจัยปฏิบัติการ , 36 (5): 594–596, ก.ย. 2008 http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004