ขอบเขตขนาดสูตรต่ำกว่าสำหรับฟังก์ชัน AC0

คำถาม:

ขนาดของสูตรที่รู้จักกันดีที่สุดคือขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับฟังก์ชันที่ชัดเจนใน AC ⁰คืออะไร มีฟังก์ชั่นที่ชัดเจนที่มีขอบเขตล่าง$\Omega(n^2)$หรือไม่?

พื้นหลัง:

เช่นเดียวกับขอบเขตที่ต่ำที่สุดขนาดขอบเขตสูตรที่ต่ำกว่านั้นหาได้ยาก ฉันสนใจที่จะลดขนาดของสูตรให้ต่ำกว่าชุดประตูสากลมาตรฐาน {AND, OR, NOT}

ขนาดขอบสูตรที่รู้จักกันดีที่สุดคือขอบเขตล่างสำหรับฟังก์ชันที่ชัดเจนเหนือชุดเกตนี้คือ$\Omega(n^{3-o(1)})$สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดโดย Andreev นี้ถูกผูกไว้ถูกนำมาแสดงโดยHåstadปรับปรุง Andreev ของผูกพันล่างของ$\Omega(n^{2.5-o(1)})$ ) ลดลงอย่างชัดเจนอีกประการหนึ่งที่ถูกผูกไว้เป็น Khrapchenko ของ$\Omega(n^2)$ขอบเขตล่างสำหรับการทำงานของความเท่าเทียมกัน

แต่ทั้งสองฟังก์ชั่นไม่ได้อยู่ใน AC 0 ฉันสงสัยว่าถ้าเรารู้ฟังก์ชันที่ชัดเจนใน AC ^{0 ที่}มีขอบเขตล่างเป็นกำลังสอง (หรือดีกว่า) ขอบเขตที่ดีที่สุดที่ฉันทราบคือขอบเขตล่างของ$\Omega(n^2/\log n)$สำหรับฟังก์ชันความแตกต่างขององค์ประกอบดังที่แสดงโดย Nechiporuk โปรดทราบว่าการทำงานขององค์ประกอบที่แตกต่างอยู่ใน AC ⁰ดังนั้นฉันกำลังมองหาที่ต่ำมุ่งชัดเจน AC ⁰ฟังก์ชั่นที่ดีกว่า$\Omega(n^2/\log n)$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง$\Omega(n^2)$ )

อ่านเพิ่มเติม:

ทรัพยากรที่ยอดเยี่ยมในหัวข้อคือ "Boolean Function Complexity: Advance and Frontiers" โดย Stasys Jukna ร่างของหนังสือเล่มนี้สามารถใช้ได้ฟรีบนเว็บไซต์ของเขา

เป็นคำถามที่ดี! Khrapchenko ไม่สามารถให้ขอบเขตล่างที่เป็นกำลังสองสำหรับฟังก์ชันได้อย่างแน่นอน ขอบเขตล่างของเขาคือความจริงอย่างน้อยกำลังสองเฉลี่ย และฟังก์ชั่นทั้งหมดในA C 0มีความไวเฉลี่ยโพลีลอการิทึม Subbotovskaya-Andreev สามารถเห็นได้ชัดว่ายังไม่ให้เช่นฟังก์ชั่นเพราะอาร์กิวเมนต์ที่พวกเขาใช้ (ผลข้อ จำกัด แบบสุ่มในสูตรมีขนาดเล็กมาก) เป็นว่าเหตุผลที่บังคับให้มีขนาดใหญ่C 0ขนาดวงจร; Hastad's Switching Lemma (ไม่แน่ใจนักแค่ใช้สัญชาตญาณ) ความหวังเดียวคือ Nechiporuk แต่ข้อโต้แย้งของเขาไม่สามารถให้มากกว่าn 2 /บันทึก$AC^0$$AC^0$$AC^0$$n^2/\log n$ด้วยเหตุผลเชิงทฤษฎีสารสนเทศ เป็นไปได้ไหมว่าทุกอย่างในมีสูตรขนาดกำลังสอง (หรือเล็กกว่า)? ฉันไม่เชื่อในมัน แต่ไม่สามารถหาตัวอย่างได้อย่างรวดเร็ว $AC^0$

ที่จริงแล้วปรากฏการณ์ Allender-Koucky นั้นเกิดขึ้นในบริบทอื่นเช่นกันด้วยความซับซ้อนของกราฟ สมมติว่าวงจรของตัวแปรแสดงถึงกราฟสองฝ่ายn × nกราฟGบนจุดยอดV = { 1 , … , 2 n }ถ้าสำหรับเวกเตอร์อินพุตaทุกตัวที่มีสอง 1s คือตำแหน่งตำแหน่งiและj ( i ≤ n , J > n ) วงจรยอมรับจุด IFF ฉันและ$2n$$n\times n$$G$$V=\{1,\ldots,2n\}$$a$$i$$j$$i\leq n$$j>n$$a$$i$$j$อยู่ติดกันในGปัญหา: แสดงกราฟที่ชัดเจนG ซึ่งต้องการอย่างน้อยn ϵประตูที่จะแสดงด้วยเสียงโมโนΣ 3 -circuit ดูเหมือนว่าเป็นคำถามที่ไร้เดียงสา (ตั้งแต่กราฟส่วนใหญ่ต้องการเกี่ยวกับn 1 / 2ประตู. แต่ใด ๆ กราฟดังกล่าวจะทำให้เรามีฟังก์ชั่นบูลของ2 เมตร= 2 บันทึกnตัวแปรที่กำหนดไม่ใช่เสียงเดียววงจรบันทึกเชิงลึกของขนาด superlinear (โดยผลของการ องอาจ). ดังนั้นแม้พิสูจน์n εลดขอบเขตสำหรับความลึก 3 วงจรอาจเป็นสิ่งที่ท้าทาย $G$$G$$n^{\epsilon}$ $\Sigma_3$$n^{1/2}$$2m=2\log n$$n^{\epsilon}$

ขอบคุณ Kaveh ที่ต้องการดูบทที่มีความซับซ้อนในการพิสูจน์!

เกี่ยวกับคำถามของโรบินแรกที่ทราบC 0มีฟังก์ชั่นที่กำหนดสูตร (และแม้กระทั่งวงจร) ขนาดn kสำหรับค่าคงที่ใด ๆk สิ่งนี้ตามมาพูดจากข้อเท็จจริงง่ายๆที่A C 0มี DNF ทั้งหมดที่มี monomials ที่ยาวอย่างต่อเนื่อง ดังนั้นC 0มีอย่างน้อยประสบการณ์( n k )ฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันสำหรับการใด ๆk ในทางกลับกันเรามีฟังก์ชั่นexp ( t log n ) ส่วนใหญ่ที่คำนวณโดยสูตรของขนาดt$AC^0$ $n^k$$k$$AC^0$$AC^0$$\exp(n^k)$$k$$\exp(t\log n)$$t$.

ในไม่ช้าฉันได้กล่าวถึงปัญหาของการลดขอบเขตที่ชัดเจนของหรือใหญ่กว่ากับ Igor Sergeev (จากมหาวิทยาลัยมอสโก) ความเป็นไปได้อย่างหนึ่งคือการใช้วิธีของ Andreev แต่นำไปใช้กับฟังก์ชันอื่นที่คำนวณได้ง่ายกว่าแทนที่จะใช้พาริตี้ นั่นคือพิจารณาการทำงานของตัวแปรnของรูปแบบF ( X ) = f ( g ( X 1 ) , … , g ( X b ) )โดยที่b = log nและgเป็นฟังก์ชันใน$n^2$$n$$F(X)=f(g(X_1),\ldots,g(X_b))$$b=\log n$$g$ของตัวแปร n / b ; fเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่สุดของตัวแปร b (การมีอยู่ของ fเพียงพอ) เราต้องการเพียงแค่ว่าฟังก์ชั่น gไม่สามารถ "ถูกฆ่า" ในกรณีต่อไปนี้: หากเราแก้ไขทั้งหมดยกเว้นตัวแปร kใน Xดังนั้นจะต้องสามารถแก้ไขได้ทั้งหมดยกเว้นหนึ่งในตัวแปรที่เหลืออยู่ของ gเพื่อให้ฟังก์ชันย่อยของ gเป็นตัวแปรเดียว แล้วใช้อาร์กิวเมนต์ Andreev และใช้ผล Hastad ที่คงที่หดตัวเป็นอย่างน้อย 2 (ไม่เพียง 3 /$AC^0$$n/b$$f$$b$$f$$g$$k$$X$$g$$g$$2$$3/2$ดังที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้โดย Sybbotovskaya) ซึ่งเป็นผลมาผูกไว้ที่ต่ำกว่าสำหรับจะอยู่ที่ประมาณn 3 / k 2 แน่นอนเรารู้ว่าฟังก์ชั่นในทุกC 0สามารถถูกฆ่าตายโดยการแก้ไขทั้งหมด แต่n 1 / dตัวแปรสำหรับบางคงd ≥ 2 แต่การที่จะได้รับn 2ขีด จำกัด ล่างมันจะพอที่จะหาฟังก์ชั่นที่ชัดเจนในC 0ซึ่งไม่สามารถจะถูกฆ่าตายโดยการแก้ไขทั้งหมด แต่พูด, n 1 /$F(X)$$n^3/k^2$$AC^0$ $n^{1/d}$$d\geq 2$$n^2$$AC^0$$n^{1/2}$ตัวแปร หนึ่งควรค้นหาฟังก์ชั่นดังกล่าวในเชิงลึกที่ใหญ่กว่าสอง

ที่จริงแล้วสำหรับฟังก์ชั่นดังกล่าวข้างต้นเราสามารถรับขอบเขตที่ต่ำกว่าเกี่ยวกับn 2 / log nผ่านอาร์กิวเมนต์โลภที่เรียบง่ายไม่มี Nechiporuk ไม่มี Subbotovskaya และไม่มีข้อ จำกัด แบบสุ่ม! สำหรับสิ่งนี้มันก็เพียงพอแล้วที่ "ฟังก์ชันภายใน" g (Y) นั้นไม่สำคัญ (ขึ้นอยู่กับตัวแปรn / bทั้งหมด) ยิ่งกว่านั้นขอบเขตยังคงไว้ซึ่งพื้นฐานของ fanin-gates คงที่ไม่เพียง แต่สำหรับสูตร De Morgan$F(X)$$n^2/\log n$$n/b$

$F(X)$$s$$X_i$$g(X_i)$$n/b$$s$$n/b=n/\log n$ times the formula size $2^b/\log b=n/\log\log n$ of $f$, that is, $s\geq n^{2-o(1)}$. Q.E.D.

To get $n^2$ or more, one has to incorporate Subbotovskaya-Hastad shrinking effect under random restrictions. A possible candidate could be some version of Sipser's function used by Hastad to show that depth-$(d+1)$ circuits are more powerful than those of depth $d$.