การให้เหตุผลเกี่ยวกับการวนลูปที่ไม่สิ้นสุด

นี่คือคำถาม "ติดตาม B" ถ้ามี สรุป: สิ่งแรกที่ฉันคิดว่าเมื่อฉันพยายามที่จะให้ความหมายกับโปรแกรมที่ไม่ได้กำหนดค่าผลลัพธ์ในความหมายที่ฉันไม่สามารถพิสูจน์สิ่งต่าง ๆ เกี่ยวกับลูปที่ยุติเฉพาะ non-deterministicaly แน่นอนว่ามีคนทำสิ่งที่ต้องทำในสถานการณ์นี้หรืออย่างน้อยก็ชี้ให้เห็นว่ามันเป็นเรื่องยาก แต่ฉันไม่รู้จะไปหามันได้อย่างไร (ดังนั้นจึงมีแท็ก "คำขออ้างอิง")

พื้นหลัง

ฉันต้องการที่จะสร้างแบบจำลองในขณะที่ภาษาที่มีไม่ใช่ระดับ ฉันคิดว่านี่เป็นวิธีที่ชัดเจน (หรืออย่างน้อยก็ไร้เดียงสา) ในการสร้างแบบจำลองภาษาดังกล่าวกับโดเมน Power Smyth แต่แก้ไขให้ถูกต้องถ้าฉันผิด เราจะสร้างแบบจำลองความหมายของคำสั่งในภาษานี้เป็นฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นชุด$S$ของรัฐและที่มีรหัสเป็นชุด${\cal P}(S)_\bot = \{ \bot \} \cup {\cal P}(S)$โดยที่$\bot$เป็นองค์ประกอบน้อยที่สุด คิดเป็นไม่ใช่การเลิกจ้างและ${\cal P}(S)$เป็นมหาอำนาจแห่งรัฐ

$\sigma$$\bot$$\{ \sigma_1, \sigma_2, \ldots \}$$P \circledast Q$

• $⟦\mathbf{skip}⟧\sigma = \{ \sigma \}$
• $⟦x := E⟧\sigma = \{ \sigma[(⟦E⟧\sigma)/x] \}$
• $⟦\mathbf{abort}⟧\sigma = \bot$
• $⟦\mathbf{if}~E~\mathbf{then}~P~\mathbf{else}~Q⟧\sigma = ⟦P⟧\sigma$ถ้า$⟦E⟧\sigma = \mathit{true}$มิฉะนั้น$⟦Q⟧\sigma$
• $⟦P \circledast Q⟧\sigma = \bot$ถ้า$⟦P⟧\sigma = \bot$หรือ$⟦Q⟧\sigma = \bot$มิฉะนั้น$⟦P⟧\sigma \cup ⟦Q⟧\sigma$
• ⟦ P ⟧ σ = ⊥ ⟦ Q ⟧ τ = ⊥ τ ∈ ⟦ P ⟧ σ ⋃ τ ∈ ⟦ P ⟧ σ ⟦ Q ⟧ $⟦P; Q⟧\sigma = \bot$ถ้าหรือสำหรับมิฉะนั้น$⟦P⟧\sigma = \bot$$⟦Q⟧\tau = \bot$$\tau \in ⟦P⟧\sigma$$\bigcup_{\tau \in ⟦P⟧\sigma} ⟦Q⟧\tau$

มีคำสั่งบางส่วนที่สมบูรณ์โดยที่สำหรับและถ้าทั้งและเป็นเซตที่เหมาะสมและและเราสามารถขยายสิ่งนี้ไปยังฟังก์ชั่นจากถึงจุด:ถ้าสำหรับทุก ๆและเป็นฟังก์ชั่นที่แมทุกรัฐจะ\⊥ ⊑ S ' S ' ∈ P ( S ) ⊥ S 1 ⊑ S 2 S 1 S 2 S 1 ⊇ S 2ฉS P ( S ) ⊥ ฉ1 ⊑ ฉ2 ฉ1 ( σ ) ⊑ ฉ2 ( σ ) σ ฉ⊥$\sqsubseteq$$\bot \sqsubseteq S'$$S' \in {\cal P}(S)_\bot$$S_1 \sqsubseteq S_2$$S_1$$S_2$$S_1 \supseteq S_2$$f$$S$${\cal P}(S)_\bot$$f_1 \sqsubseteq f_2$$f_1(\sigma) \sqsubseteq f_2(\sigma)$$\sigma$$f_\bot$$\bot$

ความหมายของลูปคือเป็นขอบเขตบนสุดของโซ่ , ที่ถ้า ,ถ้าหรือบางมิฉะนั้นtau) (คำจำกัดความนี้อนุมานว่าฉันเพิ่งนิยามไว้คือ Scott ต่อเนื่อง แต่ฉันคิดว่ามันปลอดภัยที่จะละทิ้งสิ่งนั้นไว้)ฉ⊥ ⊑ ฉ( ฉ⊥ ) ⊑ F ( F ( ฉ⊥ ) ) ⊑ ... ฉ( กรัม) ( σ ) = { σ } ⟦ E ⟧ ( σ ) = F ลิตรs อี ⊥ ⟦ P ⟧ σ = $⟦\mathbf{while}~E~\mathbf{do}~P⟧\sigma$$f_\bot \sqsubseteq f(f_\bot) \sqsubseteq f(f(f_\bot)) \sqsubseteq \ldots$$f(g)(\sigma) = \{\sigma\}$$⟦E⟧(\sigma) = \mathit{false}$$\bot$$⟦P⟧\sigma = \bot$τ ∈ ⟦ P ⟧ σ ⋃ τ ∈ ⟦ P ⟧ σกรัม( τ ) $g(\tau) = \bot$$\tau \in ⟦P⟧\sigma$$\bigcup_{\tau \in ⟦P⟧\sigma}g(\tau)$$f$

คำถาม

พิจารณาโปรแกรมนี้:

b : = t r u e ; w h i l e b d $x := 0;$
$b := \mathsf{true};$
$\mathbf{while}~b~\mathbf{do}$
$\qquad x := x + 2;$
$\qquad b := \mathsf{false} \circledast b := \mathsf{true}$

สังหรณ์ใจนี้เป็นวงที่สามารถกลับจำนวนแม้แต่บวกใด ๆ หรือไม่ยุติและสอดคล้องกับสิ่งที่เราสามารถพิสูจน์เกี่ยวกับวงนี้โดยใช้เงื่อนไขเสรีนิยมที่อ่อนแอที่สุดว่า (มันเป็นไปได้ที่จะแสดงให้เห็นว่าเป็นห่วง คงที่) แต่เนื่องจากห่วงมีความสามารถที่จะไม่ยุติ (เราสามารถปรับแต่งเป็นทางเลือกที่ไม่ได้กำหนดโดยโปรแกรมที่มักจะใช้สาขาขวามือ) ความหมายของโปรแกรมนี้ใดก็ตามสถานะเริ่มต้นคือ\(ไม่เป็นทางการน้อยกว่า: ฟังก์ชันที่แมปสถานะใด ๆ ที่เป็นเท็จกับตัวเองและสถานะใด ๆ ที่เป็นจริงกับเป็นจุดคงที่ของใช้เพื่อกำหนดลูป)⊥ b b ⊥ $\exists n. x = 2n$$\bot$$b$$b$$\bot$$f$

ซึ่งหมายความว่าความหมายที่ไร้เดียงสาที่ฉันเสนอไม่สอดคล้องกับวิธีที่ฉันคาดว่าจะสามารถให้เหตุผลเกี่ยวกับโปรแกรม ฉันตำหนิความหมายของฉัน แต่ไม่สามารถแก้ไขได้

ใน [dB80] ฮิตช์ค็อกและปาร์ควิเคราะห์คุณสมบัติการสิ้นสุดของการเรียกซ้ำจะพิสูจน์ให้สอดคล้องกับการวิเคราะห์ความหมายขึ้นอยู่กับการตีความ Egli-มิลเนอร์ที่เรียกว่าความสัมพันธ์ [Egl75, Plo76] ซึ่งเป็นการแสดงออกถึงความเอาแน่เอานอนไม่นิยม ความคิดนี้จับได้ว่าการรวมกันแบบสัมพันธ์แบบไม่สัมพันธ์กันนั้นถูกต้องถ้ามันสร้างการคำนวณอย่างน้อยหนึ่งครั้งที่นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการ (แม้จะมีการคำนวณแบบไม่สิ้นสุด) สิ่งนี้ดูเหมือนจะสอดคล้องกับสิ่งที่คุณพยายามทำ

ต่อไปจะอธิบายลักษณะความหมายของคำสั่งในฐานะที่เป็นฟังก์ชั่น การทำแผนที่แต่ละสถานะเริ่มต้นไปยังชุดของรัฐที่อาจมีเช่นนั้นนั้นเข้มงวดในแง่ที่ว่า . ทางเลือก nondeterministic ระหว่างงบและอธิบายโดยฟังก์ชั่นการทำแผนที่แต่ละรัฐเริ่มต้นสหภาพผลแต่ละซิก) ดังนั้นเมื่อใดก็ตามที่หรือฉS σ ⊥ ฉS ฉS ( ⊥ ) = { ⊥ } S 1 S 2 σ ฉS 1 ( σ ) ∪ ฉS 2 ( σ ) S 1 S $S$$f_S$$\sigma$$\bot$$f_S$$f_S(\bot) = \{\bot\}$$S_1$$S_2$$\sigma$$f_{S_1} (\sigma) \cup f_{S_2} (\sigma)$$S_1$$S_2$มีความเป็นไปได้แบบ nondeterministic ในการสร้างผลลัพธ์ที่ไม่พึงประสงค์จากนั้นจึงเลือก nondeterministic ในฐานะที่เป็นชุดสุดท้ายของรัฐสุดท้ายหนึ่งได้รับในการวิเคราะห์นี้เรียกว่ามหาเศรษฐี Egli - Milner powerset ของรัฐ:

⊥${\cal P}_{\text{E--M}}(S) = \{ ~s\subseteq S_\bot ~|~ s$มี จำกัด และไม่มีข้อ จำกัด หรือมี$\bot\}$

ทำไมเซตย่อยที่ไม่สิ้นสุดของไม่ถือว่าเป็นเซตสุดท้ายของสถานะในโมเดลนี้ ภายใต้สมมติฐานที่ว่าหน่วยการสร้างพื้นฐานทั้งหมดของข้อตกลงเชิงสัมพันธ์จะสร้างชุดสุดท้ายที่เป็นไปได้ที่ไม่มีขอบเขตและไม่ จำกัด สำหรับรัฐสุดท้ายเท่านั้น สามารถมองเห็นได้ดังนี้ จัดโครงสร้างชุดการคำนวณที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เริ่มต้นใน stateเป็นที่มี root และสถานะเป็นโหนด ชุดใบไม้เป็นชุดสุดท้ายของสถานะสุดท้ายที่สามารถเข้าถึงได้จากยกเว้นσ 0 σ 0 σ 0$S$$\sigma_0$$\sigma_0$$\sigma_0$$\bot$ซึ่งอาจหายไปในหมู่ใบไม้ แต่เป็นตัวแทนในชุดสุดท้ายของสหรัฐฯโดยความจริงที่ว่ามีเส้นทางที่ไม่มีที่สิ้นสุดในต้นไม้ จากการสันนิษฐานข้างต้นและเนื่องจากมีเพียงตัวเลือกที่ จำกัด เท่านั้นที่มีให้เลือกต้นไม้นี้จึงแตกแขนงอย่างประณีต ดังนั้นจึงมีเพียงจำนวน จำกัด ของใบที่ระดับความลึกใด ๆ ที่กำหนด ดังนั้นจำนวนอนันต์สุดท้ายที่เป็นไปได้สามารถสร้างได้ต่อหน้าการคำนวณที่ไม่มีที่สิ้นสุด (การประยุกต์ใช้บทแทรกของKönig [Kön32])

⊑ E - M s , t ∈ P E - M ( S $({\cal P}_{\text{E--M}}(S),\sqsubseteq_{\text{E--M}})$เป็นตำแหน่งสำหรับ กำหนดโดย: สำหรับ ,$\sqsubseteq_{\text{E--M}}$$s,t\in{\cal P}_{\text{E--M}}(S)$

$s\sqsubseteq_{\text{E--M}} t\quad = \quad (\bot\in s \land s\setminus\{\bot\}\subseteq t) \lor (\bot\notin s \land s=t)~.$

นี่สามารถมองเห็นเป็นตัวยึดผ่านที่ ชุด -greater สามารถสร้างขึ้นโดยการใส่รัฐมากขึ้นแทนการ\ดังนั้นเป็นองค์ประกอบน้อยM}}) นอกจากนี้ posetครอบครอง lub สำหรับ -chains ในทำนองเดียวกันฟังก์ชั่นที่เข้มงวดจาก ถึงได้รับคำสั่งบางส่วนโดยการขยายจุดของ--M}} ยิ่งไปกว่านั้นฟังก์ชั่นที่น้อยที่สุดคือ⊑ E - M ⊥ { ⊥ } ( P E - M ( S ) , ⊑ E - M ) ( P E - M ( S ) , ⊑ E - M ) ω S ∪ { ⊥ } P E --M ( S ) ⊑ E - M λ σ { ⊥ } $\bot$$\sqsubseteq_{\text{E--M}}$$\bot$$\{\bot\}$$({\cal P}_{\text{E--M}}(S),\sqsubseteq_{\text{E--M}})$$({\cal P}_{\text{E--M}}(S),\sqsubseteq_{\text{E--M}})$$\omega$$S\cup\{\bot\}$${\cal P}_{\text{E--M}}(S)$$\sqsubseteq_{\text{E--M}}$$\lambda\sigma.\{\bot\}$และ lub ของ -chains ของฟังก์ชันดังกล่าวมีอยู่ด้วยเช่นกัน$\omega$

[dB80] JW de Bakker ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของโครงการความถูกต้อง ศิษย์โถง 2523

[Egl75] H Egli แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการคำนวณแบบ nondeterministic รายงานทางเทคนิค, ETH Zürich, 1975

[Kön32] D König Theorie der endlichen และ Unendlichen Graphen รายงานทางเทคนิคไลพ์ซิก 2475

[Plo76] GD Plotkin การสร้างพลังงานโดเมน วารสารสยามเกี่ยวกับการคำนวณ , 5 (3): 452-487, 1976

ข้อจำกัดความรับผิดชอบ: สิ่งนี้ถูกนำมาเกือบทุกคำจากหนังสือที่ฉันเคยเขียนร่วม:

WP de Roever และ K Engelhardt ข้อมูลการปรับแต่ง: Model-Oriented วิธีการพิสูจน์และการเปรียบเทียบของพวกเขา สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2541