แลกเปลี่ยนระหว่างเวลาและความซับซ้อนของแบบสอบถาม

18

การทำงานโดยตรงกับความซับซ้อนของเวลาหรือขอบเขตล่างของวงจรนั้นน่ากลัว ดังนั้นเราจึงพัฒนาเครื่องมือเช่นความซับซ้อนของแบบสอบถาม (หรือความซับซ้อนของโครงสร้างการตัดสินใจ) เพื่อรับการจัดการในขอบเขตที่ต่ำกว่า เนื่องจากแต่ละคิวรีใช้เวลาอย่างน้อยหนึ่งขั้นตอนในหน่วยและการคำนวณระหว่างคิวรีจะนับเป็นฟรีความซับซ้อนของเวลาจึงสูงกว่าความซับซ้อนของคิวรีอย่างน้อยที่สุด อย่างไรก็ตามเราสามารถพูดอะไรเกี่ยวกับการแยกได้ไหม

ฉันอยากรู้เกี่ยวกับงานในวรรณกรรมคลาสสิกหรือควอนตัม แต่ให้ตัวอย่างจาก QC เนื่องจากฉันคุ้นเคยมากขึ้น

อัลกอริธึมที่มีชื่อเสียงบางอย่างเช่นการค้นหาของโกรเวอร์และการค้นหาช่วงเวลาของชอร์ความซับซ้อนของเวลาอยู่ภายในปัจจัยโพลีลอการิทึมของความซับซ้อนของแบบสอบถาม สำหรับคนอื่น ๆ เช่นปัญหากลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่เรามีความซับซ้อนของแบบสอบถามพหุนาม แต่ยังไม่รู้จักอัลกอริทึมเวลาพหุนาม

เนื่องจากอาจมีช่องว่างระหว่างเวลาและความซับซ้อนของแบบสอบถามจึงไม่ชัดเจนว่าอัลกอริทึมความซับซ้อนของเวลาที่เหมาะสมจะต้องมีความซับซ้อนของแบบสอบถามเช่นเดียวกับอัลกอริทึมความซับซ้อนของแบบสอบถามที่ดีที่สุด

มีตัวอย่างของการแลกเปลี่ยนระหว่างเวลาและความซับซ้อนของแบบสอบถามหรือไม่

มีปัญหาที่อัลกอริทึมความซับซ้อนของเวลาที่รู้จักกันดีที่สุดมีความซับซ้อนของคิวรีแตกต่างจากอัลกอริทึมความซับซ้อนของแบบสอบถามที่รู้จักกันดีหรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่งเราสามารถทำการสืบค้นเพิ่มเติมเพื่อให้การดำเนินการระหว่างการสืบค้นง่ายขึ้นได้หรือไม่

หรือมีข้อโต้แย้งที่แสดงว่ามีอัลกอริธึมการสืบค้นที่ดีที่สุดแบบ asymptotically รุ่นที่มีการใช้งานกับความซับซ้อนของเวลาที่ดีที่สุดแบบ asymptotically หรือไม่?

— Artem Kaznatcheev
แหล่งที่มา

คุณต้องการปัญหาธรรมชาติหรือปัญหาเทียมก็ใช้ได้หรือไม่?

— Robin Kothari

2

ปัญหาธรรมชาติเป็นที่ต้องการ แต่ปัญหาเทียมดีกว่าไม่มีคำตอบ

— Artem Kaznatcheev

9

นี่คือความพยายามในการสร้างฟังก์ชั่นประดิษฐ์ด้วยคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ปัญหาที่เกิดขึ้นสามารถแก้ไขได้ด้วยคำสั่ง แต่ต้องมีเวลา $O(\log n)$ $\exp(n)$
ปัญหาสามารถแก้ไขได้ด้วยเวลาแต่ต้องมีการสอบถาม $O(n)$ $O(n)$

ให้ขนาดการป้อนข้อมูลที่เป็น nปล่อยให้คนแรกที่บิต (ขอเรียกสายนี้ x) เข้ารหัสการป้อนข้อมูลเพื่อที่สมบูรณ์ปัญหาสำหรับ EEXP ถัดไปบิต (ขอเรียกสายนี้ y) มีคุณสมบัติว่าพวกเขาทั้งหมดเป็นศูนย์ถ้าหากว่า x เป็นเช่น NO ของปัญหา EEXP-สมบูรณ์ $n + \log n$ $\log n$ $n$

ในคำแรกบิตเข้ารหัสปัญหาอย่างหนักและต่อไปบิตให้เบาะแสเกี่ยวกับทางออกของปัญหาที่ แต่จะคิดออกวิธีการแก้ปัญหาโดยดูที่สตริงบิตที่คุณทำคำสั่ง $\log n$ $n$ $n$ $\Omega(n)$

ดังนั้นปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการอ่านอย่างใดอย่างหนึ่งเพียงครั้งแรกที่บิตและการใช้จ่าย exp (n) เวลาหรือโดยการอ่านบิตและใช้เพียงเส้นเวลา $\log n$ $n$

ฟังก์ชั่นเดียวกันนี้ผ่านไปเพื่อความซับซ้อนในการสืบค้นควอนตัม .. ใส่เครื่องหมายรากที่สองตามความจำเป็น

— Robin Kothari
แหล่งที่มา

7

อีกตัวอย่างสุดโต่งของโรบิน:

ให้ขนาดการป้อนข้อมูลที่เป็นกับครั้งแรกบิต (โทรสายนี้ ) เข้ารหัสเครื่องทัวริง xแก้ไขบางฟังก์ชั่น )ปล่อยให้บิตสุดท้ายของสตริงเป็น iff เครื่องทัวริงหยุดในขั้นตอนน้อยกว่าปัญหาคือการตรวจสอบว่าหยุดในขั้นตอนน้อยกว่าและความเท่าเทียมกันของคือเท่ากัน $n$ $n-1$ $x$ $T_x$ $f(n)$ $1$ $T_x$ $f(n)$ $T_x$ $f(n)$ $x$

$n-1$ $O(f(n))$ $n$ $O(n)$

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา

คุณอาจหมายถึงว่าบิตสุดท้ายเป็นเช่นนั้นความเท่าเทียมกันของ x คือแม้ว่าเครื่องทัวริงจะหยุดทำงานในเวลา (มิฉะนั้นคำถามต้องใช้เพียงหนึ่งแบบสอบถาม;) นี่เป็นสิ่งที่ดีและสามารถปรับเปลี่ยนเพื่อให้การแยกประเภทใด ๆ ที่เราต้องการระหว่างเวลาและแบบสอบถาม พิจารณาฟังก์ชั่น

และ

จากนั้นให้

บิตแรกของ

เป็นคำอธิบายของเครื่องกลึง ให้อีก

ของ

g (n) = ω (1)

$g(n) = \omega(1)$

g (n) < n

$g(n) < n$

g (n)

$g(n)$

x

$x$

n - g (n)

$n - g(n)$

x

$x$ บิตเป็นเช่นนั้นความเท่าเทียมกันของ

คือแม้ iff

หยุดในขั้นตอนน้อยกว่า

จากนั้นเรามี

กับ

แบบสอบถามในราคา

กับ

ในเวลา

x

$x$

T_{x}

$T_x$

f (n) > n

$f(n) > n$

g (n)

$g(n)$

n

$n$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

n

$n$

— Artem Kaznatcheev

ไม่สนใจประโยคแรกของความคิดเห็นก่อนหน้าของฉัน

— Artem Kaznatcheev

7

ฉันชอบคำตอบของ Robin Kothari และการดัดแปลงของ Joe Fitzsimons ในส่วนขยายที่ชัดเจนของคำตอบพวกเขาสามารถบรรลุอัตราส่วนการแยกใด ๆ (ยกเว้นค่าคงที่เทียบกับไม่คงที่) ระหว่างความซับซ้อนของแบบสอบถามที่เล็กลงและใหญ่ขึ้นและซับซ้อนมากขึ้นและน้อยลง อย่างไรก็ตามไม่มีวิธีที่ชัดเจนในการทำให้ฟังก์ชั่นของพวกเขาไม่ใช่แบบบางส่วน ฉันต้องการชี้ปัญหาธรรมชาติที่เรามีการแยกและแสดงให้เห็นว่าการแยกขนาดใหญ่ยากสำหรับฟังก์ชั่นทั้งหมด

ปัญหาธรรมชาติ

$n$ $\Theta(\sqrt{n})$ $O(\sqrt{n})$ $O(\sqrt{n}\log{n})$

ฟังก์ชั่นทั้งหมดแยกยากกว่ากัน?

สำหรับฉันดูเหมือนว่ามันยากที่จะหาฟังก์ชั่นทั้งหมดด้วยการแบ่งที่พิสูจน์ได้ เพื่อแสดงให้เห็นว่ากรณีของฟังก์ชั่นทั้งหมดและบางส่วนนั้นแตกต่างกันฉันจะให้ข้อโต้แย้งเกี่ยวกับการแยกที่ใหญ่ที่สุดระหว่างความซับซ้อนของแบบสอบถามของอัลกอริธึมการค้นหาที่ดีที่สุดและเวลาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับฟังก์ชั่นทั้งหมด

$m$ $\Omega{(\log m)}$ $m$ $n$ $n - m$ $m$ $0$

$(\text{query complexity}\; , \; \text{time complexity})$ $(q_1(n),t_1(n))$ $(q_2(n),t_2(n))$ $q_2(n) \leq f(q_1(n))$ $f(n) = O(2^n)$

[1] HU Simon, "Z (loglogn) ที่รัดกุมในเวลาสำหรับ RAM แบบขนานเพื่อคำนวณฟังก์ชันบูลีนที่ไม่เสื่อม" ใน: Symp บนพื้นฐานของทฤษฎีการคำนวณ, บันทึกการบรรยายในวิทยาการคอมพิวเตอร์, ฉบับที่ 158, สปริงเกอร์, เบอร์ลิน, 1983, หน้า 439–444

— Artem Kaznatcheev
แหล่งที่มา