การเพิ่มจำนวนเต็มแสดงโดยแยกตัวประกอบของพวกเขาเป็นเรื่องยากเหมือนแฟคตอริ่ง? คำขออ้างอิง

ฉันกำลังมองหาการอ้างอิงสำหรับผลลัพธ์ต่อไปนี้:

การเพิ่มจำนวนเต็มสองจำนวนในการแทนแบบแฟคตอริ่งนั้นยากพอ ๆ กับการแยกจำนวนเต็มสองตัวในการแทนฐานสองแบบปกติ

(ฉันค่อนข้างแน่ใจว่ามันอยู่ที่นั่นเพราะนี่คือสิ่งที่ฉันสงสัยในบางจุดและจากนั้นก็ตื่นเต้นเมื่อฉันเห็นมันในที่สุดในการพิมพ์)

"การเพิ่มจำนวนเต็มสองจำนวนในการเป็นตัวแทนเอาเรื่อง" เป็นปัญหา: รับ factorizations สำคัญของตัวเลขสองและy ที่เอาท์พุทตัวประกอบที่สำคัญของx + y ที่ โปรดทราบว่าอัลกอริทึมไร้เดียงสาสำหรับปัญหานี้ใช้การแยกตัวประกอบในการแทนค่าไบนารี่มาตรฐานเป็นรูทีนย่อย$x$$y$$x+y$

อัปเดต : ขอบคุณ Kaveh และ Sadeq สำหรับบทพิสูจน์ เห็นได้ชัดว่าหลักฐานเพิ่มเติม merrier แต่ฉันยังต้องการที่จะสนับสนุนความช่วยเหลือเพิ่มเติมในการหาการอ้างอิงซึ่งฉันบอกว่าฉันค่อนข้างแน่ใจอยู่ ฉันจำได้ว่าอ่านมันในกระดาษที่มีความคิดที่น่าสนใจและไม่ได้พูดถึงบ่อยๆ แต่ฉันจำไม่ได้ว่าความคิดอื่น ๆ นั้นเป็นอย่างไรหรือบทความทั่วไปเกี่ยวกับอะไร

สมมติว่าเราสามารถแก้ปัญหาได้ (เรียกว่า FactSum) ในคลาสและC ที่ซับซ้อนภายใต้log -iteration (หรือเรียกอีกอย่างว่าlog -bounded recursion) (เช่นถ้าเราสามารถคำนวณx ∗ yโดยที่∗เป็นฟังก์ชันเลขฐานสองเราสามารถ คำนวณx 1 ∗ … ∗ x log n ) และมีP (เงื่อนไขนี้สามารถทำให้อ่อนแอลงได้) เราแสดงแฟที่อยู่ในยังอยู่ในC$C$$C$$\log$$\log$$x*y$$*$$x_1*\ldots*x_{\log{n}}$$\mathsf{P}$$C$

โปรดทราบว่าแต่ละหมายเลขสามารถเขียนเป็นผลรวมของอำนาจของ2 แต่ละคนง่ายต่อการแยกแยะ$\log n$$2$

ตอนนี้ได้รับตัวเลขเขียนเป็นผลรวมของพลังของมันแล้วเขียนแต่ละสรุปในการเป็นตัวแทนแฟแล้วใช้อัลกอริทึมเพื่อรวมพวกเขาในการเป็นตัวแทนแฟ ผลลัพธ์จะเป็นแฟคตอริ่งของหมายเลขอินพุต

นี้แสดงให้เห็นว่าเป็นแฟออกซิเจน -iteration ของ FactSum ปัญหาของคุณ ดังนั้นแฟคตอริ่งอยู่ในP FactSum (และฉันคิดว่าPสามารถถูกแทนที่ด้วย N C 1ที่นี่)$\log$$\mathsf{P}^{\text{FactSum}}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NC^1}$

ฉันไม่รู้การอ้างอิง แต่ฉันคิดว่าฉันมีหลักฐาน:

สมมติว่าคุณมี oracle ซึ่งป้อนตัวเลขสองตัวที่แยกตัวประกอบ$\mathcal{O}$

$x = \prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}$

และ

$y = \prod_{i=1}^m q_i^{\beta_i} \enspace$,

เอาท์พุทตัวประกอบของ y ที่$x+y$

เมื่อมีการเข้าถึงเราสามารถแยกจำนวนNใด ๆในเวลาพหุนามโดยใช้กระบวนการเรียกซ้ำต่อไปนี้$\mathcal{O}$$N$

ปัจจัยขั้นตอน ( )$N$

1. ค้นหานายกดังกล่าวว่าN / 2 ≤ x ≤ N - 1และให้Y = N - x$x$$N/2 \le x \le N-1$$y = N - x$
2. หากไม่ได้เป็นนายกได้รับตัวประกอบของปีโดยปัจจัยที่โทร recursive ( Y ) และผลผลิตO ( x , ฉคT o R ( Y ) )$y$$y$$y$$\mathcal{O}(x, factor(y))$
3. อื่นเอาท์พุท )$\mathcal{O}(x,y)$

วิเคราะห์:

โดยทฤษฎีบทจำนวนที่สำคัญสำหรับขนาดใหญ่พอที่มีความอุดมสมบูรณ์ของช่วงเวลาในระหว่างN / 2และN - 1 หากNมีขนาดเล็กจนไม่มีนายกรัฐมนตรีตกในช่วงเวลานี้คุณสามารถแยกปัจจัยNได้อย่างง่ายดาย ดังนั้นขั้นตอนที่ 1 ผ่าน$N$$N/2$$N-1$$N$$N$

ในขั้นตอนที่ 2 คุณสามารถใช้AKSหรือการทดสอบพหุนามแบบเวลาอื่น ๆ

จำนวนการเรียกซ้ำเป็นเพียงเนื่องจากในแต่ละขั้นตอนNถูกตัดครึ่ง (อย่างน้อย)$O(\lg(N)) = O(|N|)$$N$

PS-1:สมมติว่าการคาดคะเนของ Goldbachอาจช่วยในการเร่งกระบวนการสำหรับจำนวนเต็ม (และอาจจะแปลก)

PS-2:การลดที่ใช้คือการลดค่า Cook อาจมีใครสนใจที่จะทำการพิสูจน์โดยใช้การลดคาร์ป

การตอบสนองนี้เป็นอิสระจากคำตอบของฉันก่อนหน้า เป้าหมายของมันคือการตอบข้อกังวลของ @ Kaveh ในความคิดเห็น

$\log n$$\log \log n$

ฉันมีความกังวลคล้ายกัน:

การลดใช้คือการลดคุก อาจมีใครสนใจที่จะทำการพิสูจน์โดยใช้การลดคาร์ป

(การลด Karp สำหรับปัญหาการตัดสินใจที่นี่โดยการลด Karp ฉันหมายถึงการลดคำสั่งคุกเดียวขออภัยสำหรับคำศัพท์ที่ไม่ได้มาตรฐาน!)

คำตอบดังต่อไปนี้จะขึ้นอยู่กับการอภิปรายที่นี่: /math/54580/factoring-some-integer-in-the-given-interval

ในคำตอบนี้ผมจะให้กำหนด polynimial เวลาลดคาร์พจากแฟไปแฟผลรวมของจำนวนเต็มสองจำนวนที่แสดงโดย factorizations มีหนึ่งที่จับได้: ในหลักสูตรของการพิสูจน์ฉันจะใช้สมมติฐานจำนวนทฤษฎีต่อไปนี้:

$p_n$$p_{n+1}$$p_{n+1} - p_n = O(\log^2p_n)$

$N$$n=|N|=O(\log N)$$N$$[N - \log^3N, N]$$\log^3N = O(n^3)$

$x$$[N - \log^3N, N]$$y=N-x$

$0 \le y \le \log^3N$$|y| = O(\log \log N) = O(\log n)$$y$

$(x,y)$$N = x+y$