มันยากแค่ไหนที่จะนับจำนวนปัจจัยของจำนวนเต็ม?

ด้วยจำนวนเต็มของความยาวบิตมันยากแค่ไหนที่จะส่งออกจำนวนปัจจัยหลัก (หรือจำนวนปัจจัยอื่น ๆ ) ของ ? $N$ $n$ $N$

ถ้าเรารู้การแยกตัวประกอบเฉพาะของแล้วนี่จะง่าย อย่างไรก็ตามหากเราทราบจำนวนของปัจจัยสำคัญหรือจำนวนของปัจจัยทั่วไปมันไม่ชัดเจนว่าเราจะพบการแยกตัวประกอบที่แท้จริงได้อย่างไร $N$

มีการศึกษาปัญหานี้หรือไม่? มีอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่แก้ปัญหานี้โดยไม่ต้องแยกตัวประกอบเฉพาะ?

คำถามนี้เป็นแรงบันดาลใจด้วยความอยากรู้และมีบางส่วนโดยคำถาม math.SE

— Artem Kaznatcheev
แหล่งที่มา

หากจำนวนของปัจจัยสำคัญมีขนาดใหญ่นั่นก็หมายความว่า N มีปัจจัยขนาดเล็กที่สามารถพบได้ง่าย ในทางกลับกันถ้าจำนวนของปัจจัยสำคัญของ N มีขนาดเล็กพูด 2 แล้วมันก็คล้ายกับปัญหาของการแยกตัวประกอบของผลิตภัณฑ์สองช่วงและรู้ว่าจำนวนของปัจจัยคือ 2 ดูเหมือนจะไม่ช่วย ดูคำถามนี้โดย Omidเกี่ยวกับค่าความแข็งเฉลี่ย

— Kaveh

อีกสิ่งหนึ่งเนื่องจากการแบ่งอยู่ในเครื่องแบบปัญหาในการนับปัจจัยทั้งหมด (ไม่ใช่แค่เพียงปัจจัยที่สำคัญ) อยู่ในและดังนั้นจึงยังอยู่ใน (และอาจเสร็จสมบูรณ์สำหรับภายใต้การลดลง)

$\mathsf{TC^0}$

$\mathsf{\#TC^0}$

$\mathsf{P}$

$\mathsf{\#TC^0}$

$\mathsf{AC^0}$

— Kaveh

Kaveh ถ้าคุณสามารถขยายความคิดเห็นข้างต้นของคุณให้เป็นคำตอบได้ ผมไม่ได้ว่าดูว่าในส่วนทำให้คุณได้รับปัจจัยนับโดยไม่ได้หมายความแฟที่อยู่ใน 0 ความเข้าใจผิดนี้น่าจะเกิดจากความล้มเหลวของตัวเอง แต่คำตอบที่ละเอียดกว่านี้จะช่วยได้

$\text{TC}^0$

$\#\text{TC}^0$

$\text{TC}^0$

— ปั้นจั่นขนาดใหญ่

เป็นที่รู้จัก AFAIK! และมันง่ายเกินไป แต่ฉันไม่เห็นว่าการโต้เถียงเกิดขึ้นที่ใด ps: ฉันเดาว่าฉันรู้แล้วว่าคำจำกัดความของฉันไม่ดี (มันเหมือนกับ ) และนั่นเป็นปัญหา

$\mathsf{\#TC^0}$

$\mathsf{\#P}$

— Kaveh

@Artem,ถูกกำหนดเป็นจำนวนการยอมรับพา ธ ของเครื่องและเครื่องสามารถใช้พื้นที่จำนวนลอการิทึมเท่านั้น (ใน ) . เราคาดเดาบิตมากเกินไปถ้าเราใช้คำจำกัดความที่ฉันเขียนการคำนวณมีพหุนามคาดเดาจำนวนมากจะจับเช่นเดียวกันนับจำนวนของขนาดพหุนามที่เครื่องยอมรับพวกเขาจะให้ (เดาการคำนวณด้วยและตรวจสอบว่าเป็นการคำนวณที่ยอมรับจริงๆ)

$\mathsf{\#L}$

$\mathsf{NL}$

$|y|$

$x$

$\mathsf{AC^0}$

$\mathsf{NP}$

$x$

$\mathsf{AC^0}$

$\mathsf{\#P}$

— Kaveh

คำตอบ:

นี่ไม่ใช่คำตอบของฉัน แต่ Terrence Tao ให้คำตอบที่ดีสำหรับคำถามนี้ใน MathOverflow

นี่คือคำตอบแรก ๆ ของเขา หากต้องการอ่านคำตอบที่สมบูรณ์ให้ไปที่ลิงค์

มีการสังเกตแบบชาวบ้านว่าหากใครสามารถนับจำนวนปัจจัยสำคัญของจำนวนเต็ม n ได้อย่างรวดเร็วก็จะมีคนหนึ่งที่สามารถแยกตัวประกอบ n ได้อย่างรวดเร็ว ดังนั้นปัญหาการนับปัจจัยสำคัญที่เชื่อว่ามีความยากเทียบเคียงได้กับการแยกตัวประกอบ

(ฉันไม่แน่ใจว่าควรจะเป็นคำตอบหรือความคิดเห็น แต่เป็นคำตอบจริง ๆ แม้ว่ามันจะไม่ได้เขียนโดยฉันฉันได้ทำคำตอบ Community Wiki เพื่อให้สามารถอัปโหลดหรือยอมรับโดยไม่จำเป็น ให้ชื่อเสียงแก่ฉัน)

— Robin Kothari
แหล่งที่มา

ในความคิดของฉันตัวชี้ไปยังคำตอบเช่นนี้สมควรได้รับคะแนนชื่อเสียง (ดังนั้นจึงไม่ควรเป็น wiki ชุมชน) แต่ฉันเข้าใจว่าคนต่างมีมุมมองที่แตกต่างกัน

— Tsuyoshi Ito

แต่นี้ไม่ได้ลดลงอย่างเป็นทางการ ....

— Arnab

@arnab: ไม่มันไม่ใช่ นั่นคือเหตุผลที่เขาเขียนว่า“ ถ้าอย่างนั้นมีแนวโน้มที่จะสามารถแยกปัจจัย n ทั้งหมดออกมาได้อย่างรวดเร็ว”

— Tsuyoshi Ito

ตามที่คนอื่น ๆ ได้กล่าวไว้การนับปัจจัยน่าจะต้องมีแฟ อย่างไรก็ตามการแบ่งการทดลองสามารถ จำกัด จำนวนของปัจจัยได้ ตัวอย่างเช่นคุณรู้ว่ามีปัจจัยมากที่สุดเนื่องจากไม่มีปัจจัยใดสามารถน้อยกว่า 2 ได้โดยการทดสอบว่าหารด้วย 2 คุณก็รู้ว่ามีปัจจัยมากที่สุดฯลฯ ข้อเสียคือการลดขนาดแต่ละครั้งจะยากขึ้นเรื่อย ๆ - คุณต้องทดสอบสูงสุดเพื่อออกกฎที่มีปัจจัยมากกว่า $N$ $n$ $N$ $N$ $\log_3(N)$ $N^{1/p}$ $N$ $p$

— ฟู Barrigno
แหล่งที่มา