กริด -coloring ที่ไม่มีสี่เหลี่ยมสีเดียว

ปรับปรุง : ชุดการอุดตัน (เช่น NxM "อุปสรรค" ระหว่าง colorable และ uncolorable ขนาดตาราง) สำหรับทุกสีเดียวสี่เหลี่ยมผืนผ้าฟรี 4 สีอยู่ในขณะนี้เป็นที่รู้จักกัน

ทุกคนรู้สึกถึงการลอง 5 สีหรือไม่ ;)

คำถามต่อไปนี้เกิดขึ้นจากทฤษฎีแรมซีย์

พิจารณา -coloring ของกราฟกริด -by-A จะเกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่มีสี่เซลล์ที่มีสีเดียวกันจัดเป็นมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ตัวอย่างเช่น,และเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีเดียวถ้าพวกมันมีสีเดียวกัน ในทำนองเดียวกันและรูปแบบ monochromatic สี่เหลี่ยมถ้าสีที่มีสีเดียวกัน$k$$n$$m$monochromatic rectangle$(0,0), (0,1), (1,1),$$(1,0)$$(2,2), (2,6), (3,6),$$(3,2)$

คำถาม : Does มีอยู่ -coloring ของ -by-กราฟตารางที่ไม่ได้มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีเดียว? ถ้าเป็นเช่นนั้นให้ระบุสีที่ชัดเจน$4$$17$$17$

ข้อเท็จจริงบางอย่างที่รู้จัก:

• $16$ -by-เป็น -colorable โดยไม่ต้องสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีเดียว แต่ที่รู้จักกันในรูปแบบสีไม่ปรากฏที่จะขยายไปยัง -by-กรณี (ฉันไม่สนใจสี -by-เป็นที่รู้จักเพราะมันน่าจะเป็นปลาเฮอริ่งแดงสำหรับการตัดสินใจ -by- ) $17$ $4$$17$$17$$16$$17$$17$$17$
• $18$ -by-เป็นไม่ -colorable โดยไม่ต้องสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีเดียว $19$ $4$
• $17$ -by-และ -by-ก็เป็นกรณีที่ไม่ทราบเช่นกัน คำตอบสำหรับสิ่งเหล่านี้ก็น่าสนใจเช่นกัน $18$$18$$18$

ข้อจำกัดความรับผิดชอบ: Bill Gasarchมีค่าตอบแทน $ 289 (USD) สำหรับคำตอบที่ดีสำหรับคำถามนี้ คุณสามารถเข้าถึงเขาผ่านบล็อกของเขา หมายเหตุเกี่ยวกับมารยาท: ฉันจะทำให้แน่ใจว่าเขารู้แหล่งที่มาของคำตอบที่ถูกต้อง (ควรเกิดขึ้น)

เขานำมันขึ้นมาอีกครั้งในช่วงพักที่ Barriers II และฉันคิดว่ามันน่าสนใจดังนั้นฉันจึงส่งต่อคำถามที่นี่ (ไม่มีความรู้ของเขา; แม้ว่าฉันสงสัยว่าเขาจะรังเกียจ)

บางท่านอาจจะตระหนักถึงเรื่องนี้ แต่ปัญหาการระบายสี 17 x 17 ได้รับการแก้ไขโดย Bernd Steinbach และ Christian Posthoff ดูโพสต์บล็อก Gasarch ของที่นี่

นี้ไม่ได้จริงๆคำตอบสำหรับคำถาม แต่ฉันได้เข้ารหัส 17x17 ปัญหา 4 สีเป็น 4 CNF (ในรูปแบบ DIMACS มาตรฐาน SAT-แก้) และอัปโหลดที่นี่ หากใครมีสิทธิ์เข้าถึงตัวแก้ SAT ที่ดี (และซูเปอร์คอมพิวเตอร์!) บางทีเราก็สามารถก้าวหน้าได้บ้าง

หมายเหตุ: ในการเข้ารหัสของฉันถ้า gridpointได้รับการกำหนดสีแล้วตัวแปรรับค่าและมิฉะนั้น.c ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } ( 17 i + j + 289 c + 1 ) 1 $(i,j)$$c \in \{0,1,2,3\}$$(17i+j+289c+1)$$1$$0$

นี่ไม่ใช่คำตอบที่แท้จริงเช่นกัน แน่นอนปัญหาที่นี่คือการปรากฏตัวของจำนวนสมมาตรทางดาราศาสตร์ซึ่งหลอกแม้กระทั่งนักแก้ปัญหา SAT ที่ดีที่สุดในซูเปอร์คอมพิวเตอร์ที่ดีที่สุด การทำแผนที่สมมาตรเช่นนี้เพื่อแก้ปัญหาและไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา: ในกรณีนี้อาจจะมีวิธีแก้ปัญหาเกือบจำนวนมหาศาล (เช่นงานที่ได้รับความพึงพอใจทั้งหมด แต่มีจำนวนน้อย) ซึ่งแต่ละข้อสามารถหาได้จาก ใช้สมมาตรที่เหมาะสม ดังนั้นผู้แก้ปัญหาจึงเสียเวลาเป็นจำนวนมากในการลองวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ในขณะที่ในแง่หนึ่งพวกเขาก็เหมือนกันทั้งหมด

การใช้ประโยชน์จากสมมาตร (ดูเอกสารนี้ ) ควรเป็นหนทางในการสำรวจเพื่อจู่โจมอินสแตนซ์ขนาด 17x17 ที่ยากนี้และทำการคืบหน้าต่อไป ฉันสงสัยว่ามีใครพยายามทำเช่นนั้นหรือไม่

อีกครั้งไม่ใช่คำตอบที่แท้จริง แต่ต่อไปนี้เป็นความคิดบางประการเกี่ยวกับการใช้อัลกอริทึมการระบายสีกราฟสำหรับปัญหานี้

ให้เราบอกว่าตำแหน่งของชุดกริดที่เป็นชุดอิสระถ้าชุดที่ไม่ได้มีทั้งสี่มุมของสี่เหลี่ยมบางส่วน กำหนดชุดอิสระสูงสุดในวิธีที่ชัดเจน ตอนนี้ต่อไปนี้คือการเรียกร้องที่เทียบเท่า:$I$$I$

1. m $n$ -by- grid สามารถระบายสีด้วยสี$m$$k$
2. m $n$ -by-กริดสามารถถูกปกคลุมด้วยชุดอิสระ$m$$k$
3. m $n$ -by-กริดสามารถถูกปกคลุมด้วยชุดอิสระสูงสุด$m$$k$

ตอนนี้สิ่งที่น่าสนใจคือการครอบคลุมชุดอิสระสามารถทำได้ในเวลาโดยใช้อัลกอริธึมครอบคลุมผลิตภัณฑ์อย่างรวดเร็ว ( Björklundและคณะ 2007 ) นี่คือการปรับปรุงขั้นตอนวิธีเล็กน้อยแม้ว่าดูเหมือนจะยังไม่สามารถเอาชนะได้ k m n 2 $\log k\ \text{poly}(nm)2^{nm}$$k^{mn}$$2^{289}$

หากชุดอิสระทั้งหมด (สูงสุด) มีโครงสร้างที่ดีเพียงพอก็อาจเป็นไปได้ที่จะปรับแต่งอัลกอริธึมผลิตภัณฑ์ที่ครอบคลุม

กริด 21x12 มี 4 สีโดยไม่มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบบโมโนโครมเช่นกัน !!!

ดูโพสต์ล่าสุดของ Bernd Steinbach ในบล็อกของ Gasarch !

นี่คือ Bill Bouris สวัสดีแดน ฉันกำลังทำงานกับโปรแกรมที่ค้นหาเมทริกซ์ 17x17 ที่เหมาะสมซึ่งจัดแสดงสี 4 สีตามทฤษฎีของแรมซีย์ ฉันใช้เมทริกซ์ตำแหน่งที่แสดงการเชื่อมต่อทั้งหมดระหว่างจุดและแก้ไขเส้นทแยงมุมหลักและอนุญาตให้แถวบนสุดของเมทริกซ์ทำงานผ่านชุดค่า 16choose8 ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ฉันจับเฉพาะเมทริกซ์ที่ผ่านเกี่ยวกับเกณฑ์ต่อไปนี้ ... no-XRRR, no-RXRR, no-RRXR, no-RRRX, no-XBBB, no-XBBB, no-BXBB เป็นต้นจากนั้นฉันก็กวาดเมทริกซ์ด้วยตัวถัดไป เกณฑ์ที่อ่อนแอที่สุด ... no-XBRR, noBXRR, no-BBXR, no-BBRX, no-XRBB, no-RXBB และอื่น ๆ รวมทั้งสิ้น 32 เรตติ้งจนกว่าคอมพิวเตอร์จะเติมสีโดยอัตโนมัติ ฉันสังเกตเห็นว่ามีผู้สมัครที่เป็นไปได้ต่อการฝึกอบรม 400 ครั้งจากทั้งหมด 12780 และใช้เวลา. 95 ชั่วโมงเพื่อค้นหาผู้สมัครหรือ 1 ต่อทุก 8 644 วินาที กำลังจะมา แต่ฉันไม่มีเวลามากที่จะเขียนโปรแกรม ... เนื่องจากฉันทำงานเต็มเวลา เราควรทำงานร่วมกัน ... ฉันสามารถใช้ $ 289.00!