จำนวนคลาสที่เทียบเท่าในภาษาปกติเป็นฟังก์ชันของขนาด DFA

คำถามนี้เป็นคำถามที่เกี่ยวข้องกับคำถามที่ผ่านมา โดยJanoma

พื้นหลัง

ในการเขียนโปรแกรม จำกัด เป็นปกติจำกัด ทั่วโลกกว่าโดเมนคือคู่กับ tuple ของตัวแปร (ขอบเขต) และ DFA กว่าโดเมนDงานเพื่อ ตอบสนองถ้ายอมรับสตริง (s_n)$c$$D$$(s, M)$$s$$M$$D$$\theta$$s$$c$$M$$\theta(s_1)\theta(s_2)\ldots\theta(s_n)$

ด้านล่างสมมติว่าโดเมนได้รับการแก้ไขแล้ว กำหนดความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมที่ชุดของสตริงเช่นนั้นหาก DFAทุกตัวเช่นหรือ(M) โดยสังเขปสตริงสองตัวนั้นเทียบเท่ากันหากไม่มี DFA สามารถแยกแยะได้ หากเป็นเช่นนั้นพวกเขาก็จะได้รับข้อ จำกัดตามปกติเหมือนกัน $D$$\sim$$T = D^{|s|}$$a \sim b$$M$$a, b \in L(M)$$a, b \not\in L(M)$

ถ้าเราไม่ จำกัด DFAs ไม่ว่าด้วยวิธีใดชุดของคลาสสมมูล$T/{\sim}$คือ$T$เท่านั้น ฉันสนใจในจำนวนชั้นเรียนเทียบเท่า $\sim$เป็นฟังก์ชันของจำนวนสถานะ$n$ ที่เราอนุญาตสำหรับ DFA เห็นได้ชัดว่าถ้า$n = |D|^{|s|}$(ละเว้นค่าคงที่) จากนั้น. (แน่นอนว่าที่นี่จะเป็นฟังก์ชันของ )$|T/{\sim}| = |T|$$n$$|s|$

คำถาม

1. เป็นที่เล็กที่สุดสิ่งที่ที่?$n$$|T/{\sim}| = |T|$
2. เกิดอะไรขึ้นด้านล่างนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,
   • มีเช่นนั้น ?$n$$|T/{\sim}| = O(|s|^{|D|})$
   • มีเช่นนั้น ?$n$$|T/{\sim}| = O(|s| \times |D|)$

แรงจูงใจของฉันสำหรับคำถามนี้คือการมีจำนวนพหุนาม ( $|s|^{|D|}$ ) จำนวนคลาสเทียบเท่านี้ทำให้ฉันมีปัญหาข้อ จำกัด กับ cardinality ข้อ จำกัด ตอนนี้ฉันกำลังพยายามดูว่ามีบางสิ่งในสายเหล่านี้สามารถทำได้สำหรับข้อ จำกัด ปกติหรือไม่

แก้ไข : โปรดทราบคำตอบนี้โดยHermann Gruberกับคำถามที่อ้างอิงที่ด้านบน ขอบเขตในกระดาษที่ลิงก์คำตอบควรให้$k$ซึ่งคำตอบสำหรับคำถาม 1 ต้องเป็น$\geq k$แต่ไม่ชัดเจนสำหรับฉัน

ตอบคำถาม 1

เป็นที่เล็กที่สุดสิ่งที่$n$ที่$|T/{\sim}|=|T|$?

เรามี

$$n=\max_{|w|=|x|=s,\\ w\ne x}\mathrm{sep}(w,x)$$ โดยที่$\mathrm{sep}(w,x)$เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดของรัฐใน DFA ใด ๆ ที่ยอมรับหนึ่งใน$w$และ$x$แต่ไม่ใช่อีกรัฐหนึ่ง ขอบเขตบนที่รู้จักกันเป็นอย่างดีใน$n$คือ (ดูสไลด์ของ Jeffrey Shallit)

$n=O(s^{2/5}(\log s)^{3/5})$ )

ซึ่งได้รับมา

Robson, JM , การแยกสตริงด้วยออโตมาตาขนาดเล็ก , Inf กระบวนการ. เลทท์ 30, ฉบับที่ 4, 209-214 (1989) ZBL0666.68051