ความซับซ้อนในการพิจารณาว่ากราฟคงที่เป็นกราฟย่อยหรือไม่

ผลลัพธ์โดยRobertson และ Seymourแสดงให้เห็นถึงอัลกอริทึมสำหรับการทดสอบว่ากราฟคงที่นั้นมีค่าน้อยกว่าหรือไม่ ฉันมีคำถามสองและครึ่งในหัวข้อนี้:G $O(n^3)$$G$$H$

1) ปรากฏว่ามีการปรับปรุงอัลกอริทึมนี้ตั้งแต่ ปัจจุบันอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่สุดคืออะไร?

2a) ผู้คนคาดเดาว่าอะไรจะเป็นขอบเขตที่ดีที่สุด?

อัลกอริทึมของ Mohar สำหรับการฝังบนพื้นผิวที่คงที่และอัลกอริทึมของ Kawarabayashi สำหรับการจดจำกราฟ -apex$k$ตัดสินการเป็นสมาชิกของกราฟที่สามารถกำหนดลักษณะได้โดยผู้เยาว์ต้องห้ามในเวลาเชิงเส้นกระตุ้นคำถามสุดท้าย:

2b) มีเหตุผลใดที่สงสัยว่าเราสามารถทำได้ในเวลาเชิงเส้นหรือไม่?

แน่นอนถ้ามีคนคิดอัลกอริธึมเชิงเส้นอยู่แล้วสองคำถามสุดท้ายนั้นโง่ :)

มีการตีพิมพ์โดย Ken-ichi Kawarabayashi, Yusuke Kobayashi และ Bruce Reed ที่อ้างว่าเป็นอัลกอริธึมกำลังสอง: " ปัญหาการแยกทางในเวลากำลังสอง " มันถูกจัดรูปแบบเป็นการส่งการประชุมมากกว่ากระดาษวารสารดังนั้นฉันไม่แน่ใจว่าเป็นไปได้ที่จะตรวจสอบรายละเอียดแม้ว่า (ฉันไม่ได้ลองด้วยตัวเองจริงๆ)

การสำรวจล่าสุดโดย Kawarabayashi อ้างถึงสิ่งนี้ว่าเป็นผลลัพธ์ที่เป็นที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับปัญหาเส้นทางที่สัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด: Ken-ichi Kawarabayashi (2011), "ปัญหาเส้นทาง Disjoint: อัลกอริทึมและโครงสร้าง", WALCOM: อัลกอริทึมและการคำนวณ, LNCS 6552, pp . 2-7, ดอย: 10.1007 / 978-3-642-19094-0_2

ฉันไม่รู้ว่านี่หมายความว่าการอ้างสิทธิ์ในความคิดเห็นของ Kothari เป็นไอหรือไม่หรือหมายความว่ายังอยู่ในขั้นตอนก่อนหน้าของการเขียน$O(n\log n)$

กระดาษที่ผ่านมาโดย Isolde Adler1 เฟรเดริกดอร์น, ชาเลียโวลต์ Fomin, Ignasi Sau และดิมิทเอ็ม Thilikos เรียกว่าการทดสอบไมเนอร์ด่วนในระนาบกราฟแสดงให้เห็นว่าเมื่อมองหาผู้เยาว์ในจุดในระนาบกราฟนี้สามารถทำได้ ในเวลา ในขณะที่การพึ่งพาคือไม่ดีเท่าที่หนึ่งที่กล่าวถึงในคำตอบโดยดาวิดพึ่งพาของงานนี้อยู่ไกลกว่าเอชจี2 O ( H ) n + O ( n 2บันทึกn ) n $H$$h$ $G$$2^{O(h)} n + O(n^2 \log n)$$n$$h$