โซลูชันการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในหนึ่งผ่านด้วยตัวแปรสั่ง

ฉันมีครอบครัวที่มีปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น: เพิ่ม $c' x$ ภายใต้ $A x\le b$, $x\ge0$. องค์ประกอบของ$A$, $b$และ $c$ เป็นจำนวนเต็มไม่ใช่ค่าลบ $c$บวกอย่างเคร่งครัด ($x$ ควรเป็นส่วนประกอบ แต่ฉันจะกังวลในภายหลัง)

มันมักจะเกิดขึ้นในใบสมัครของฉันว่าค่าสัมประสิทธิ์ $A$ และ $c$ เป็นวิธีที่อัลกอริธึมแบบ one-pass ที่เรียบง่ายทำให้เป็นทางออกที่ดีที่สุดสำหรับทุกทางเลือก $b$: อัลกอริทึม One-Pass กำหนดองค์ประกอบ $x_1,\dots,x_n$ ในลำดับเลือกแต่ละ $x_j$ เป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ซึ่งสอดคล้องกับค่าที่กำหนดไว้แล้ว $x_1,\dots,x_{j-1}$. ในภาษา simplex ลำดับของการป้อนตัวแปรเป็นเพียง$x_1$ ถึง $x_n$และจะยุติลงหลังจาก $n$ขั้นตอน ซึ่งช่วยประหยัดเวลาได้มากเมื่อเทียบกับ full-on simplex

อัลกอริทึมนี้ใช้งานได้เมื่อคอลัมน์ของ $A$ และองค์ประกอบของ $c$ถูกจัดเรียงจาก "ถูก" เป็น "แพง" ตัวแปร "ถูก" คือคอลัมน์ของ$A$ โดยทั่วไปจะมีค่าน้อยซึ่งองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของ $c$ มีขนาดใหญ่: สำหรับองค์ประกอบของ $x$ คุณได้รับผลผลิตจำนวนมากโดยมีความต้องการไม่มากนัก $b$. ดังนั้นอัลกอริทึมก็บอกว่า "ทำสิ่งที่ง่ายก่อน"

คำถามของฉันคือทรัพย์สินของ $A$ และ $c$ จะช่วยให้เรามั่นใจว่าอัลกอริทึมที่ง่ายนี้เหมาะสำหรับทุกคน $b$? การคาดเดาครั้งแรกของฉันคือองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์$A$ ควรเพิ่มในแต่ละแถว แต่ไม่ถูกต้อง

นี่คือตัวอย่างบางส่วนทั้งหมดด้วย $c=(1,1,1)$: $A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 0\end{pmatrix}$, $A_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}$, $A_3=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A_4=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. สำหรับสิ่งเหล่านี้อัลกอริธึมแบบซีเควนเชียลให้ทางออกที่ดีที่สุดสำหรับค่าทั้งหมดของ$b$ (โดยการทดลองเชิงตัวเลข) $A_3$ เป็นเพียงหนึ่งเดียวที่พีชคณิตของคอลัมน์ทั้งหมดทำงานเช่นกัน $A_1$ และ $A_3$ โดยเฉพาะอย่างยิ่งทำให้งงงันตั้งแต่ $(1,1,3)$ ดูแพงกว่า $(1,3,0)$ และ $(1,1,1)$ แพงกว่า $(1,0,0)$.

ฉันจะขอบคุณอย่างยิ่งสำหรับพอยน์เตอร์ใด ๆ ต่อวรรณกรรมสำหรับปัญหาใด ๆ เช่นนี้หรือข้อเสนอแนะใด ๆ เลย จะต้องมีกรณีอื่น ๆ ที่ตัวแปรบางตัวสามารถกำหนดให้เป็น "ราคาถูก" กว่าตัวแปรอื่น ๆ และสามารถทำได้อย่างปลอดภัยก่อน จากงานทั้งหมดที่ทำกับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในช่วงหลายปีที่ผ่านมาดูเหมือนว่าสิ่งที่คล้ายกันจะต้องเกิดขึ้น แต่ฉันไม่สามารถหามันได้

อาจเป็นตัวอย่างที่โด่งดังที่สุดที่อัลกอริทึมโลภเป็นที่รู้จักในการแก้ LP สำหรับกรณีพิเศษของปัญหาการขนส่ง ฮอฟแมน ( "ในโปรแกรมเชิงเส้นอย่างง่าย" ในนูนฉบับ. 7 จากการดำเนินการของ Symposia ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ , หน้า 317-327, 1963) ได้รับการพิสูจน์ว่าถ้าเมทริกซ์ค่าใช้จ่ายสำหรับ (สูงสุด) ปัญหาการขนส่งพึงพอใจMonge คุณสมบัติ ($c_{ij} + c_{kl} \geq c_{il} + c_{kj}$ เมื่อไหร่ $1 \leq i < k \leq n$, $1 \leq j < l \leq n$) จากนั้นคำตอบที่ดีที่สุดสามารถพบได้ในลักษณะโลภเช่นเดียวกับที่คุณอธิบาย

ฮอฟฟ์แมนยังมีกระดาษสำรวจ (" บนอัลกอริทึมโลภที่ประสบความสำเร็จ ") จากปี 1985 ซึ่งเขากล่าวถึงกรณีที่รู้จักกันซึ่งอัลกอริทึมโลภให้ทางออกที่ดีที่สุดสำหรับ LP นอกจากงานของเขาเองที่อ้างถึงข้างต้น (ซึ่งเขาบอกว่า "ปัญหาเชิงเส้นส่วนใหญ่ที่รู้จักกันดี [โดย 1963] จะอ่อนไหวต่ออัลกอริทึมโลภเป็นกรณีพิเศษของแนวคิด Monge") เขากล่าวถึงการตีความการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นของ Edmonds ลักษณะทั่วไปของ matroids และการอภิปรายของกรณีเมื่อ$A$ ไม่ติดลบเหนือสิ่งอื่นใด

ฉันคิดว่าจะมีผลลัพธ์ล่าสุดมากกว่านี้ แต่หวังว่าอย่างน้อยก็ตอบคำถามของคุณได้บางส่วนและให้แนวคิดบางอย่างเกี่ยวกับตำแหน่งที่จะมองหา

ขอบคุณคำแนะนำของ Prof Spivey ในที่สุดฉันก็พบว่าสิ่งที่ฉันคิดว่าเป็นสถานะของศิลปะ: Ulrich Faigle, Alan J. Hoffman และ Walter Kern "การศึกษาลักษณะของ Matris โลภ Nonnegative Box - Greedy" SIAM J. Disc คณิตศาสตร์. 9 (1996) หน้า 1-6 เมทริกซ์คือ "โลภ" หากอัลกอริทึมที่ฉันอธิบายไว้ข้างต้นให้ทางออกที่ดีที่สุดสำหรับทุกคน$b$. เมทริกซ์คือ "กล่องโลภ" หากอัลกอริทึมโลภให้ทางออกที่ดีที่สุดโดยมีเงื่อนไขเพิ่มเติม$x\le d$ เพื่อทุกสิ่ง $b$ และทั้งหมด $d\ge0$. เห็นได้ชัดว่ากล่องโลภเป็นเงื่อนไขที่แข็งแกร่งกว่าโลภ

คิดเสมอว่า $c_1\ge\dots\ge c_n>0$. Faigle, Hoffman และ Kern พิสูจน์ว่า$A$ กล่องโลภถ้าหากไม่มี $k\times(k+1)$ (สำหรับใด ๆ $k$) submatrix ของแบบฟอร์ม $\begin{pmatrix} r_1 & s_1 & & & \\ r_2 & & s_2 & & \\ \vdots & & & \ddots \\ r_k & & & & s_k \end{pmatrix}$ กับแต่ละ $r_j>0$ และ $\sum_{i:s_i>0} \frac{r_i}{s_i} > 1$. ในการแยกเมทริกซ์ย่อยอนุญาตให้มีการเปลี่ยนแถวโดยพลการ แต่ไม่อนุญาตให้มีคอลัมน์และอนุญาตให้มีการแบ่งแถวและคอลัมน์โดยอำเภอใจได้ ดังนั้นโดยเฉพาะกับ$k=1$องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ในแต่ละแถวของ $A$ จะต้องไม่ลดลง

มันกลับกลายเป็นว่าโชคไม่ดีที่ในปัญหาของฉันเมทริกซ์นั้นไม่มีความโลภ แต่ฉันก็ยังเชื่อว่ามันเป็นโลภ ตัวอย่างเช่นในของฉัน$A_1$เหนือเงื่อนไขที่มีการละเมิดและเมทริกซ์นี้ไม่ได้เป็นกล่องโลภแม้ว่ามันจะเป็นโลภ เท่าที่ฉันรู้ไม่มีผลลัพธ์ในการระบุเมทริกซ์โลภ

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดสำหรับบางสิ่งเช่นนี้อาจเป็นปัญหาเครื่องหลังแบบเศษส่วนที่สินค้าได้รับอนุญาตให้แยกส่วน ปัญหานี้ (และ lp คู่) สามารถแก้ไขได้โดยการเรียงลำดับรายการเพื่อหากำไรต่อน้ำหนักเลือกลำดับที่ยาวที่สุดในลำดับนี้ซึ่งเป็นไปได้และแยกส่วนรายการสุดท้าย