ความหนาแน่นของภาษา P-Complete


10

สมมติว่าเป็นภาษาบูลีนของสตริง จำกัด กว่า{ 0 , 1 } Let L nเป็นหมายเลขของสตริงในLที่มีความยาวn สำหรับฟังก์ชั่นd ( n )จากจำนวนเต็มบวกกับตัวเลขจริงบวกLมีความหนาแน่นบนd ( n )ถ้าL n2 n d ( n )สำหรับทุกขนาดใหญ่พอnL{0,1}LnLnd(n)L d(n)Ln2nd(n)n

ภาษาบูลีนแบบ P-Complete มีความหนาแน่นสูงหรือไม่O(1/n)

แรงจูงใจ

  1. PARITY มีความหนาแน่นบน 2 YES (ภาษาของทุกสายอักขระไบนารี จำกัด ) มีความหนาแน่นสูงสุด 1 ภาษาใด ๆ จำกัด มีความหนาแน่นสูงสุด 01/2

  2. ภาษาเบาบางมีทรัพย์สินที่มีความเป็นพหุนามP ( n )เช่นว่าL n - L n - 1P ( n )สำหรับทุกn ถ้าLเป็นภาษาที่กระจัดกระจายดังนั้นL np 1 ( n )สำหรับพหุนามp 1ของระดับหนึ่งที่มากกว่าระดับของpดังนั้นความหนาแน่นสูงสุดของLจึงเป็นศูนย์Lp(n)LnLn1p(n)nLLnp1(n)p1pL

  3. Jin-Yi Cai และ D. Sivakumarแสดงให้เห็นว่าภาษา P-complete ไม่สามารถกระจัดกระจายได้ยกเว้น P = L (= LOGSPACE) เนื่องจาก P = co-P ภาษาใด ๆ ที่ส่วนเติมเต็มไม่สามารถเป็น P-complete ได้เช่นกันยกเว้น P = L

  4. โดยความไม่เท่าเทียมกันง่าย ๆ (ดูเช่นควันหลงที่ 2 ของร็อสและ Schoenfeld 1962 ) ช่วงเวลาที่มีความหนาแน่นบน n คำถามมีปัญหาเกี่ยวกับไพรเมอร์ปัจจัยที่ทำให้เกิด P-hard หรือไม่? อธิบายว่า PRIMES เป็น P-hard หรือไม่ (ดูเหมือนว่าจะเปิดในขณะนี้)(log2e)/n

  5. ในบางกรณีภาษาที่สมบูรณ์ (หรือสากล) สำหรับคลาสที่ซับซ้อนประกอบด้วยโครงสร้างทั้งหมดของคลาส ดังนั้นสมมุติฐานเบื้องต้นของฉันที่อิงจากการคาดคะเนผลลัพธ์ของ Cai และ Sivakumar จะเป็นไปได้ว่าภาษาดังกล่าวจะไม่เบาบางเกินไป พหุนามตามปกติการนิยามภาษากระจัดกระจายดูเหมือน จำกัด เกินไปดังนั้นฉันถามเกี่ยวกับขอบเขตที่ จำกัด น้อยกว่าเล็กน้อย

การทำงานในการเป็็นน้อยโดย Fortnow, Hemaspaandra และอื่น ๆ นอกจากนี้ยังอาจจะเกี่ยวข้องกับ

สามารถถามคำถามของชั้นเรียนอื่นที่ไม่ใช่ P แต่ฉันไม่สามารถจำผลลัพธ์ที่จะทำให้เกิดความหนาแน่นของการพูด -SAT ตัวชี้ไปยังวรรณกรรมที่เกี่ยวข้องจะได้รับการต้อนรับมากที่สุดk

กิตติกรรมประกาศ

ดูคำถามที่ยังเกี่ยวข้องกับความหนาแน่นของเงื่อนไขที่เฉพาะ ขอบคุณ @Tsuyoshi Ito และ @Kaveh สำหรับความคิดเห็นที่เป็นประโยชน์สำหรับคำถามนี้ในเวอร์ชันก่อนหน้านี้


ฉันคิดว่า (หรือเศษส่วนพหุนามอื่น) มีจำนวนมากเกินไปคำถามที่ดีกว่าคือถามเกี่ยวกับส่วนบนและล่าง2n/n
Kaveh

คำตอบ:


6

ฉันไม่ทราบว่าความหนาแน่นของปัญหา P-Complete ทั่วไปคืออะไร แต่นี่คืออาร์กิวเมนต์การเติมที่แสดงวิธีลดความหนาแน่นต่ำกว่า :1/n

ใช้ P-สมบูรณ์ที่คุณชื่นชอบภาษา n ภาษานี้มีบางความหนาแน่นd ( n ) โอห์ม( 1 / n ) ตอนนี้กำหนดL n + m = { x 0 m | x L n } โดยทั่วไปmจะเป็นฟังก์ชันของnดังนั้นนี่อาจไม่นิยามL Ln{0,1}nd(n)ω(1/n)Ln+m={x0m|xLn}mnLสำหรับทุกขนาดเนื่องจากเรามีความกังวลเกี่ยวกับความหนาแน่นส่วนบนเพียงแค่ทำถ้าkLk=kn+mเมตรความหนาแน่นสูงสุดของคืออะไร? เรามีL

d(n+m)=|Ln+m|2n+m=|Ln|2n+md(n)2m

ตอนนี้ช่วยให้การใช้งานเข้าสู่ระบบลดการสร้างเครื่องสำหรับLใช้เครื่องเอ็ม'สำหรับL ' ถ้าคุณได้รับอินพุตxจากนั้นก็คัดลอกทีละบิตไปยังเทปแบบสอบถาม (เช่นใช้ตัวนับเพื่อนับว่าnคืออะไร) จากนั้นใช้ตัวนับที่สองเพื่อนับไม่เกินm ( n )เพิ่มทุก ๆ เวลาที่คุณเพิ่มศูนย์ลงในเทปแบบสอบถาม (เพื่อให้มีพื้นที่บันทึกเราต้องการm ( n ) p o l y ( n )และคำนวณได้ง่าย) จากนั้นสอบถามและส่งคืนผลลัพธ์เป็นคำตอบของคุณMLMLxnm(n)m(n)poly(n)

หากเราต้องการให้แน่ใจว่าเรามีขนาดเล็กกว่าเลือกm ( n ) = nจากนั้นเราจะมีd ( 2 n ) d ( n ) / 2 nO ( 1 /1/nm(n)=n )d(2n)d(n)/2nO(1/n)


ขอบคุณที่ตอบคำถามนี้ อาร์กิวเมนต์นี้ดูเหมือนว่าจะขึ้นอยู่กับที่เกี่ยวข้องกับพหุนามกับn - ความหนาแน่นสูงสุด1 / log nสามารถทำได้หรือไม่? mn1/logn
András Salamon

1
ฉันคิดว่าอย่างนั้นคุณจะต้อง m = log log n โดยทั่วไปสำหรับ m = f (n) คุณสามารถเลือก f ใด ๆ ที่อยู่ใน LOG-space (โดยที่ n เป็น unary) (หรือ NC หากคุณต้องการลดราคาเหล่านั้น)
Artem Kaznatcheev
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.