ความหนาแน่นของภาษา P-Complete

สมมติว่าเป็นภาษาบูลีนของสตริง จำกัด กว่า }Let เป็นหมายเลขของสตริงในที่มีความยาวnสำหรับฟังก์ชั่นจากจำนวนเต็มบวกกับตัวเลขจริงบวกมีความหนาแน่นบนถ้าสำหรับทุกขนาดใหญ่พอn $L$ $\{0,1\}$ $L_n$ $L$ $n$ $d(n)$ $L$ $d(n)$ $L_n \le 2^n d(n)$ $n$

ภาษาบูลีนแบบ P-Complete มีความหนาแน่นสูงหรือไม่ $O(1/n)$

แรงจูงใจ

PARITY มีความหนาแน่นบน 2YES (ภาษาของทุกสายอักขระไบนารี จำกัด ) มีความหนาแน่นสูงสุด 1 ภาษาใด ๆ จำกัด มีความหนาแน่นสูงสุด 0 $1/2$
ภาษาเบาบางมีทรัพย์สินที่มีความเป็นพหุนามเช่นว่าสำหรับทุกnถ้าเป็นภาษาที่กระจัดกระจายดังนั้นสำหรับพหุนามของระดับหนึ่งที่มากกว่าระดับของดังนั้นความหนาแน่นสูงสุดของจึงเป็นศูนย์ $L$ $p(n)$ $L_n - L_{n-1} \le p(n)$ $n$ $L$ $L_n \le p_1(n)$ $p_1$ $p$ $L$
Jin-Yi Cai และ D. Sivakumarแสดงให้เห็นว่าภาษา P-complete ไม่สามารถกระจัดกระจายได้ยกเว้น P = L (= LOGSPACE) เนื่องจาก P = co-P ภาษาใด ๆ ที่ส่วนเติมเต็มไม่สามารถเป็น P-complete ได้เช่นกันยกเว้น P = L
โดยความไม่เท่าเทียมกันง่าย ๆ (ดูเช่นควันหลงที่ 2 ของร็อสและ Schoenfeld 1962 ) ช่วงเวลาที่มีความหนาแน่นบน nคำถามมีปัญหาเกี่ยวกับไพรเมอร์ปัจจัยที่ทำให้เกิด P-hard หรือไม่? อธิบายว่า PRIMES เป็น P-hard หรือไม่ (ดูเหมือนว่าจะเปิดในขณะนี้) $(\log_2 e)/n$
ในบางกรณีภาษาที่สมบูรณ์ (หรือสากล) สำหรับคลาสที่ซับซ้อนประกอบด้วยโครงสร้างทั้งหมดของคลาส ดังนั้นสมมุติฐานเบื้องต้นของฉันที่อิงจากการคาดคะเนผลลัพธ์ของ Cai และ Sivakumar จะเป็นไปได้ว่าภาษาดังกล่าวจะไม่เบาบางเกินไป พหุนามตามปกติการนิยามภาษากระจัดกระจายดูเหมือน จำกัด เกินไปดังนั้นฉันถามเกี่ยวกับขอบเขตที่ จำกัด น้อยกว่าเล็กน้อย

การทำงานในการเป็็นน้อยโดย Fortnow, Hemaspaandra และอื่น ๆ นอกจากนี้ยังอาจจะเกี่ยวข้องกับ

สามารถถามคำถามของชั้นเรียนอื่นที่ไม่ใช่ P แต่ฉันไม่สามารถจำผลลัพธ์ที่จะทำให้เกิดความหนาแน่นของการพูด -SAT ตัวชี้ไปยังวรรณกรรมที่เกี่ยวข้องจะได้รับการต้อนรับมากที่สุด $k$

กิตติกรรมประกาศ

ดูคำถามที่ยังเกี่ยวข้องกับความหนาแน่นของเงื่อนไขที่เฉพาะ ขอบคุณ @Tsuyoshi Ito และ @Kaveh สำหรับความคิดเห็นที่เป็นประโยชน์สำหรับคำถามนี้ในเวอร์ชันก่อนหน้านี้

cc.complexity-theory reference-request p-hardness

— András Salamon
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่า

(หรือเศษส่วนพหุนามอื่น) มีจำนวนมากเกินไปคำถามที่ดีกว่าคือถามเกี่ยวกับส่วนบนและล่าง

2^{n} / n

$2^n/n$

— Kaveh

ฉันไม่ทราบว่าความหนาแน่นของปัญหา P-Complete ทั่วไปคืออะไร แต่นี่คืออาร์กิวเมนต์การเติมที่แสดงวิธีลดความหนาแน่นต่ำกว่า : $1/n$

ใช้ P-สมบูรณ์ที่คุณชื่นชอบภาษา nภาษานี้มีบางความหนาแน่น )ตอนนี้กำหนด }โดยทั่วไปจะเป็นฟังก์ชันของดังนั้นนี่อาจไม่นิยาม $L_n \subseteq \{0,1\}^n$ $d(n) \in \omega(1/n)$ $L'_{n + m} = \{x0^m | x \in L_n\}$ $m$ $n$ $L'$ สำหรับทุกขนาดเนื่องจากเรามีความกังวลเกี่ยวกับความหนาแน่นส่วนบนเพียงแค่ทำถ้า $L'_k = \emptyset$ $k \neq n + m$ เมตรความหนาแน่นสูงสุดของคืออะไร? เรามี $L'$

d^{'} (n + m) = \frac{| L_{n + m}^{'} |}{2^{n + m}} = \frac{| L_{n} |}{2^{n + m}} \leq \frac{d (n)}{2^{m}}

$d'(n + m) = \frac{|L'_{n + m}|}{2^{n + m}} = \frac{|L_n|}{2^{n + m}} \leq \frac{d(n)}{2^m}$

ตอนนี้ช่วยให้การใช้งานเข้าสู่ระบบลดการสร้างเครื่องสำหรับใช้เครื่องสำหรับ 'ถ้าคุณได้รับอินพุตจากนั้นก็คัดลอกทีละบิตไปยังเทปแบบสอบถาม (เช่นใช้ตัวนับเพื่อนับว่าคืออะไร) จากนั้นใช้ตัวนับที่สองเพื่อนับไม่เกินเพิ่มทุก ๆ เวลาที่คุณเพิ่มศูนย์ลงในเทปแบบสอบถาม (เพื่อให้มีพื้นที่บันทึกเราต้องการและคำนวณได้ง่าย) จากนั้นสอบถามและส่งคืนผลลัพธ์เป็นคำตอบของคุณ $M$ $L$ $M'$ $L'$ $x$ $n$ $m(n)$ $m(n) \in poly(n)$

หากเราต้องการให้แน่ใจว่าเรามีขนาดเล็กกว่าเลือกจากนั้นเราจะมี $1/n$ $m(n) = n$ ) $d'(2n) \leq d(n)/2^n \in O(1/n)$

— Artem Kaznatcheev
แหล่งที่มา

ขอบคุณที่ตอบคำถามนี้ อาร์กิวเมนต์นี้ดูเหมือนว่าจะขึ้นอยู่กับ

ที่เกี่ยวข้องกับพหุนามกับ

- ความหนาแน่นสูงสุด

สามารถทำได้หรือไม่?

m

$m$

n

$n$

1 / \log n

$1/\log n$

— András Salamon

ฉันคิดว่าอย่างนั้นคุณจะต้อง m = log log n โดยทั่วไปสำหรับ m = f (n) คุณสามารถเลือก f ใด ๆ ที่อยู่ใน LOG-space (โดยที่ n เป็น unary) (หรือ NC หากคุณต้องการลดราคาเหล่านั้น)

— Artem Kaznatcheev