กรณีคลาสสิกอย่างสมบูรณ์ (MIP)
หากตรวจสอบเป็นคลาสสิกและไม่มีสิ่งกีดขวางก่อนในหมู่ provers ชั้นของคุณมีBPP∪NPและมีอยู่ในแมสซาชูเซต
เป็นเรื่องเล็กน้อยที่ BPP มีขอบเขตที่ต่ำกว่า เพื่อแสดงให้เห็นว่าคลาสนี้มี NP ให้พิจารณาระบบการพิสูจน์แบบรอบทิศทางแบบสองรอบหนึ่งสุภาษิตสำหรับความสามารถ 3 สีพร้อมข้อผิดพลาดที่สมบูรณ์แบบและสมบูรณ์แบบของเสียง 1−1 / โพลี หากคุณต้องการลดข้อผิดพลาดของเสียงให้คงที่ให้รวมกับทฤษฎีบท PCP
สำหรับขอบเขตบนข้อความสั่งที่รัดกุมดังต่อไปนี้จะเก็บไว้: MIP ที่มีข้อ จำกัด ว่าความยาวข้อความทั้งหมดจากตัวตรวจสอบถึงตัวตรวจสอบแต่ละตัวคือ O (log n ) เท่ากับ MA นี่เป็นเพราะกลยุทธ์ของผู้พูดแต่ละคนสามารถอธิบายได้ด้วยสตริงของความยาวพหุนาม
ที่น่าสนใจคือขอบเขตบนอีกอันหนึ่งเกิดขึ้นเมื่อระบบมีความสมบูรณ์แบบสมบูรณ์แบบ กล่าวคือระบบพิสูจน์แบบอินเตอร์แอคทีฟที่พิสูจน์แล้วได้หลายตัวพร้อมความสมบูรณ์แบบสมบูรณ์แบบด้วย O (log n ) - การสื่อสารทั้งหมดบิตรับรู้ได้ที่P NP [log] ส่วนใหญ่และสิ่งนี้ถือได้แม้ว่าเราจะอนุญาตให้มีข้อผิดพลาด เพื่อพิสูจน์ว่าในกรณีของสอง provers ให้x sจะกำหนดการคำตอบทั้งหมดได้รับจากสอบมาตรแรกเมื่อกำหนดการคำถามทั้งหมดไปสอบมาตรแรกคือsและกำหนดY เสื้อ analogously สำหรับสอบมาตรที่สอง หากต้องการได้รับการยอมรับจากผู้ตรวจสอบด้วยความมั่นใจตัวแปรเหล่านี้x sและy tต้องเป็นไปตามข้อ จำกัด บางอย่างและโปรดทราบว่านี่เป็น 2CSP มีตัวเลือกโพลี ( n ) ส่วนใหญ่สำหรับสิ่งอันดับ ( s , t , x s , y t ) และสำหรับแต่ละตัวเลือกเราสามารถใช้ oracle NP เพื่อทดสอบว่าตัวตรวจสอบปฏิเสธ tuple นั้นหรือไม่ ดังนั้นด้วย NP oracle เราสามารถแสดงรายการข้อ จำกัด ทั้งหมดในตัวแปรx sและy tในเวลาพหุนาม ในที่สุดเราใช้ NP oracle อีกครั้งเพื่อทดสอบว่ามีการกำหนดตัวแปรเหล่านี้ซึ่งสอดคล้องกับข้อ จำกัด ทั้งหมดหรือไม่ แม้ว่าอัลกอริธึมนี้จะใช้ NP oracle แบบโพลิโนมิกหลายครั้งการค้นหาทั้งหมดยกเว้นการค้นหาครั้งสุดท้ายสามารถทำแบบขนานและดังนั้นจึงสามารถแปลงเป็นอัลกอริทึมP NP [บันทึก] กรณีของผู้พิสูจน์มากกว่าสองคนนั้นคล้ายคลึงกัน
นี้ถูกผูกไว้บนหมายถึงว่าแม้ระบบ MA ทุกคนสามารถที่จะหันมาเป็นหนึ่งเดียวกับความครบถ้วนสมบูรณ์แบบเราไม่สามารถหวังว่าสำหรับระบบหลักฐานหลาย prover แบบโต้ตอบกับความครบถ้วนสมบูรณ์แบบด้วย O (บันทึกn ) การสื่อสารบิตเว้นแต่MA⊆P NP [บันทึก] ฉันไม่ทราบว่าการรวมMA⊆P NPไม่น่าเป็นไปได้เพียงใด แต่ฉันเพิ่งทราบว่าComplexity Zoologyระบุว่ามี oracle ที่เกี่ยวข้องกับBPP⊈ P NP ที่ (และชัดเจนMA⊈P NP [log] )
(ในกรณีของผู้ทดสอบเดี่ยวทฤษฎีบทที่ 2 ของ Goldreich และHåstad [GH98] แสดงว่า IP ที่มีความยาวข้อความทั้งหมด O (log n ) บิตเท่ากับ BPP)
เพิ่มแล้ว ลักษณะที่จำเป็นและเพียงพอมีดังนี้
เพื่ออธิบายลักษณะนี้เราจำเป็นต้องมีความแตกต่างของความคิดของ Karp reducibility (พหุนามเวลาหลาย reducibility หนึ่ง) สำหรับปัญหาการตัดสินใจสองข้อAและBสมมุติว่าAคือ FP BPP ที่ลดลงเป็นB (ฉันรู้ว่านี่เป็นชื่อที่แย่มาก) เมื่อมีเครื่องทัวริงพหุนามแบบกำหนดเวลาที่Mเข้าถึงการพยากรณ์ BPP ที่ใช่ อินสแตนซ์ให้กับอินสแตนซ์ใช่และอินสแตนซ์ที่ไม่มีอินสแตนซ์ซึ่งเราอนุญาตการเข้าถึง oracle แบบ "ไม่สมาร์ท" (หมายถึงMสามารถสร้างแบบสอบถามไปยัง BPP oracle เกี่ยวกับอินสแตนซ์ที่ไม่เป็นไปตามสัญญาของปัญหา BPP ซึ่งในกรณีนี้ oracle จะคืนค่าใช่หรือไม่ใช่โดยพลการ) จากนั้นจะสามารถพิสูจน์ได้ว่าเงื่อนไขต่อไปนี้ของปัญหาAเทียบเท่ากัน
(i) Aมีระบบพิสูจน์การโต้ตอบหลายตัวที่มีการสื่อสาร O (log n ) -bit และข้อผิดพลาดเกี่ยวกับขอบเขตสองด้าน
(ii) Aมีระบบพิสูจน์การโต้ตอบรอบเดียวแบบสองรอบที่มีการสื่อสาร O (log n ) - บิตข้อผิดพลาดความสมบูรณ์แบบเล็กชี้แจงและข้อผิดพลาดด้านเสียงคงที่
(iii) Aคือ FP BPP -สามารถลดปัญหาได้ใน NP
(ความคิดที่พิสูจน์ได้: ความหมาย (ii) ⇒ (i) เป็นเรื่องเล็กน้อยนัย (i) ⇒ (iii) สามารถรับได้ในลักษณะที่คล้ายกับข้อพิสูจน์ข้างต้นในกรณีที่มีข้อผิดพลาดด้านเดียว Implication (iii) ⇒ (ii) ) ดังต่อไปนี้จากทฤษฎีบท PCP เนื่องจากคลาสของสภาพปัญหาที่น่าพอใจ (ii) ถูกปิดภายใต้การลดความน่าจะเป็น FP BPP )
เครื่องมือตรวจสอบแบบคลาสสิกพร้อมกับอุปกรณ์เชื่อม (MIP *)
ถัดไปพิจารณากรณีที่มีการตรวจสอบคลาสสิกและ provers พันกันยุ่ง ในกรณีนี้คลาสที่มีข้อผิดพลาดที่ล้อมรอบอีกครั้งจะมีBPP∪NP
Kempe, Kobayashi, Matsumoto, Toner และ Vidick [KKMTV11] แสดงให้เห็นว่าทุกปัญหาใน NP มีระบบพิสูจน์แบบโต้ตอบรอบเดียวสามรอบที่มีความสมบูรณ์สมบูรณ์และข้อผิดพลาดด้านเสียง 1−1 / โพลีที่ความยาวทั้งหมดของข้อความคือ O ( log n ) bits และความสมบูรณ์ของเสียงนั้นมีต่อผู้ทดสอบที่ยุ่งเหยิง ดังนั้น MIP * ที่มีความยาวข้อความทั้งหมดบิตO (บันทึกn ) และข้อผิดพลาดที่ล้อมรอบมี NP ผลลัพธ์ในภายหลังโดย Ito, Kobayashi และ Matsumoto [IKM09] (ปลั๊กไร้ยางอาย) จะลดจำนวนของผู้พิสูจน์จากสามเป็นสอง กรณีของความมั่นคงคงที่เปิดที่ด้านบนของความรู้ของฉัน
ไม่ทราบว่า MIP * ที่มีความยาวข้อความรวมบิตO (log n ) อยู่ในคลาส R ของปัญหาที่สามารถตัดสินใจได้หรือไม่และคำถามนี้เทียบเท่ากับ MIP * ⊆R (ปัญหาเปิดอื่น) โดยอาร์กิวเมนต์ padding
อ้างอิง
[GH98] Oded Goldreich และ Johan Håstad เกี่ยวกับความซับซ้อนของการพิสูจน์แบบโต้ตอบกับการสื่อสารที่มีขอบเขต จดหมายประมวลผลข้อมูล , 67 (4): 205–214, สิงหาคม 1998. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-0190%2898%2900116-1
[IKM09] Tsuyoshi Ito, Hirotada Kobayashi และ Keiji Matsumoto การพิสูจน์เชิงออร์โธโลไนเซชันและการพิสูจน์สองรอบแบบพิสูจน์หนึ่งรอบกับกลยุทธ์ที่ไม่ใช่ท้องถิ่น ดำเนินการตามกฎหมาย: การประชุม IEEE ที่ยี่สิบสี่ประจำปีเกี่ยวกับความซับซ้อนในการคำนวณ (CCC 2009) , 217–228, กรกฎาคม 2009 http://dx.doi.org/10.1109/CCC.2009.22
[KKMTV11] Julia Kempe, Hirotada Kobayashi, Keiji Matsumoto, Ben Toner และ Thomas Vidick เกมพันกันเป็นเรื่องยากที่จะประมาณ วารสารคอมพิวเตอร์สยาม 40 (3): 848–877, 2011 http://dx.doi.org/10.1137/090751293