สิ่งที่เป็นที่รู้จักกันเกี่ยวกับการพิสูจน์การโต้ตอบหลายข้อความที่มีข้อความสั้น ๆ ?


14

Beigi, Shor และ Watrous มีบทความที่ดีมากเกี่ยวกับพลังของการพิสูจน์เชิงควอนตัมแบบควอนตัมพร้อมข้อความสั้น ๆ พวกเขาพิจารณาตัวแปรสามตัวของ 'ข้อความสั้น' และตัวแปรเฉพาะที่ฉันสนใจคือตัวแปรที่สองของพวกเขาที่สามารถส่งข้อความจำนวนเท่าใดก็ได้ แต่ความยาวข้อความทั้งหมดต้องเป็นลอการิทึม โดยเฉพาะอย่างยิ่งพวกเขาแสดงให้เห็นว่าระบบการพิสูจน์แบบโต้ตอบดังกล่าวมีพลังการแสดงออกของ BQP

สิ่งที่ฉันต้องการทราบคือว่ามีผลลัพธ์แบบอะนาล็อกสำหรับการตั้งค่าแบบมัลติพอยต์ไม่ว่าจะเป็นแบบคลาสสิกหรือแบบควอนตัม verifier มีความซับซ้อนใด ๆ ที่ไม่น่าสนใจสำหรับการพิสูจน์เชิงโต้ตอบแบบหลายผู้พิสูจน์ซึ่งความยาวทั้งหมดของข้อความทั้งหมดถูก จำกัด ให้เป็นลอการิทึมในขนาดของปัญหาหรือไม่?


5
หากผู้พิสูจน์ได้รับอนุญาตให้แบ่งปันพัวพันก่อนขนาดโดยพลการแล้วชั้นไม่ทราบว่าอยู่ในชั้นเรียน R ของปัญหาที่เกิดขึ้น decidable (แม้เมื่อผู้ตรวจสอบเป็นคลาสสิก) การแสดงชั้นเรียนของคุณมีอยู่ใน R เทียบเท่ากับการแสดง MIP * เป็น R สำหรับขอบเขตที่ต่ำกว่าฉันไม่คิดว่าจะมีอะไรดีไปกว่าคู่ที่มีความรู้ดีคนเดียว
Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: แม้สำหรับข้อความคลาสสิกสั้น ๆ ?
Joe Fitzsimons

1
“ Decidable” ไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดดังนั้นคุณสามารถใช้อาร์กิวเมนต์ padding เพื่อแสดงความเท่าเทียมกัน
Tsuyoshi Ito

1
อ่าใช่ฉันเห็นแล้ว นั่นเป็นการสังเกตที่ดีและตอบคำถามของฉันเท่าที่ควอนตัมดำเนินการ อย่างไรก็ตามสำหรับกรณีคลาสสิกมันจำเป็นต้องมีใน NEXP ความคิดใด ๆ หากมีผลลัพธ์ใด ๆ ที่นั่น?
Joe Fitzsimons

เสียงเหมือนบางสิ่งบางอย่างจำเป็นต้องแปลงเป็นคำตอบ
Suresh Venkat

คำตอบ:


11

กรณีคลาสสิกอย่างสมบูรณ์ (MIP)

หากตรวจสอบเป็นคลาสสิกและไม่มีสิ่งกีดขวางก่อนในหมู่ provers ชั้นของคุณมีBPP∪NPและมีอยู่ในแมสซาชูเซต

เป็นเรื่องเล็กน้อยที่ BPP มีขอบเขตที่ต่ำกว่า เพื่อแสดงให้เห็นว่าคลาสนี้มี NP ให้พิจารณาระบบการพิสูจน์แบบรอบทิศทางแบบสองรอบหนึ่งสุภาษิตสำหรับความสามารถ 3 สีพร้อมข้อผิดพลาดที่สมบูรณ์แบบและสมบูรณ์แบบของเสียง 1−1 / โพลี หากคุณต้องการลดข้อผิดพลาดของเสียงให้คงที่ให้รวมกับทฤษฎีบท PCP

สำหรับขอบเขตบนข้อความสั่งที่รัดกุมดังต่อไปนี้จะเก็บไว้: MIP ที่มีข้อ จำกัด ว่าความยาวข้อความทั้งหมดจากตัวตรวจสอบถึงตัวตรวจสอบแต่ละตัวคือ O (log n ) เท่ากับ MA นี่เป็นเพราะกลยุทธ์ของผู้พูดแต่ละคนสามารถอธิบายได้ด้วยสตริงของความยาวพหุนาม

ที่น่าสนใจคือขอบเขตบนอีกอันหนึ่งเกิดขึ้นเมื่อระบบมีความสมบูรณ์แบบสมบูรณ์แบบ กล่าวคือระบบพิสูจน์แบบอินเตอร์แอคทีฟที่พิสูจน์แล้วได้หลายตัวพร้อมความสมบูรณ์แบบสมบูรณ์แบบด้วย O (log n ) - การสื่อสารทั้งหมดบิตรับรู้ได้ที่P NP [log] ส่วนใหญ่และสิ่งนี้ถือได้แม้ว่าเราจะอนุญาตให้มีข้อผิดพลาด เพื่อพิสูจน์ว่าในกรณีของสอง provers ให้x sจะกำหนดการคำตอบทั้งหมดได้รับจากสอบมาตรแรกเมื่อกำหนดการคำถามทั้งหมดไปสอบมาตรแรกคือsและกำหนดY เสื้อ analogously สำหรับสอบมาตรที่สอง หากต้องการได้รับการยอมรับจากผู้ตรวจสอบด้วยความมั่นใจตัวแปรเหล่านี้x sและy tต้องเป็นไปตามข้อ จำกัด บางอย่างและโปรดทราบว่านี่เป็น 2CSP มีตัวเลือกโพลี ( n ) ส่วนใหญ่สำหรับสิ่งอันดับ ( s , t , x s , y t ) และสำหรับแต่ละตัวเลือกเราสามารถใช้ oracle NP เพื่อทดสอบว่าตัวตรวจสอบปฏิเสธ tuple นั้นหรือไม่ ดังนั้นด้วย NP oracle เราสามารถแสดงรายการข้อ จำกัด ทั้งหมดในตัวแปรx sและy tในเวลาพหุนาม ในที่สุดเราใช้ NP oracle อีกครั้งเพื่อทดสอบว่ามีการกำหนดตัวแปรเหล่านี้ซึ่งสอดคล้องกับข้อ จำกัด ทั้งหมดหรือไม่ แม้ว่าอัลกอริธึมนี้จะใช้ NP oracle แบบโพลิโนมิกหลายครั้งการค้นหาทั้งหมดยกเว้นการค้นหาครั้งสุดท้ายสามารถทำแบบขนานและดังนั้นจึงสามารถแปลงเป็นอัลกอริทึมP NP [บันทึก] กรณีของผู้พิสูจน์มากกว่าสองคนนั้นคล้ายคลึงกัน

นี้ถูกผูกไว้บนหมายถึงว่าแม้ระบบ MA ทุกคนสามารถที่จะหันมาเป็นหนึ่งเดียวกับความครบถ้วนสมบูรณ์แบบเราไม่สามารถหวังว่าสำหรับระบบหลักฐานหลาย prover แบบโต้ตอบกับความครบถ้วนสมบูรณ์แบบด้วย O (บันทึกn ) การสื่อสารบิตเว้นแต่MA⊆P NP [บันทึก] ฉันไม่ทราบว่าการรวมMA⊆P NPไม่น่าเป็นไปได้เพียงใด แต่ฉันเพิ่งทราบว่าComplexity Zoologyระบุว่ามี oracle ที่เกี่ยวข้องกับBPP⊈ P NP ที่ (และชัดเจนMA⊈P NP [log] )

(ในกรณีของผู้ทดสอบเดี่ยวทฤษฎีบทที่ 2 ของ Goldreich และHåstad [GH98] แสดงว่า IP ที่มีความยาวข้อความทั้งหมด O (log n ) บิตเท่ากับ BPP)

เพิ่มแล้ว ลักษณะที่จำเป็นและเพียงพอมีดังนี้

เพื่ออธิบายลักษณะนี้เราจำเป็นต้องมีความแตกต่างของความคิดของ Karp reducibility (พหุนามเวลาหลาย reducibility หนึ่ง) สำหรับปัญหาการตัดสินใจสองข้อAและBสมมุติว่าAคือ FP BPP ที่ลดลงเป็นB (ฉันรู้ว่านี่เป็นชื่อที่แย่มาก) เมื่อมีเครื่องทัวริงพหุนามแบบกำหนดเวลาที่Mเข้าถึงการพยากรณ์ BPP ที่ใช่ อินสแตนซ์ให้กับอินสแตนซ์ใช่และอินสแตนซ์ที่ไม่มีอินสแตนซ์ซึ่งเราอนุญาตการเข้าถึง oracle แบบ "ไม่สมาร์ท" (หมายถึงMสามารถสร้างแบบสอบถามไปยัง BPP oracle เกี่ยวกับอินสแตนซ์ที่ไม่เป็นไปตามสัญญาของปัญหา BPP ซึ่งในกรณีนี้ oracle จะคืนค่าใช่หรือไม่ใช่โดยพลการ) จากนั้นจะสามารถพิสูจน์ได้ว่าเงื่อนไขต่อไปนี้ของปัญหาAเทียบเท่ากัน

(i) Aมีระบบพิสูจน์การโต้ตอบหลายตัวที่มีการสื่อสาร O (log n ) -bit และข้อผิดพลาดเกี่ยวกับขอบเขตสองด้าน
(ii) Aมีระบบพิสูจน์การโต้ตอบรอบเดียวแบบสองรอบที่มีการสื่อสาร O (log n ) - บิตข้อผิดพลาดความสมบูรณ์แบบเล็กชี้แจงและข้อผิดพลาดด้านเสียงคงที่
(iii) Aคือ FP BPP -สามารถลดปัญหาได้ใน NP

(ความคิดที่พิสูจน์ได้: ความหมาย (ii) ⇒ (i) เป็นเรื่องเล็กน้อยนัย (i) ⇒ (iii) สามารถรับได้ในลักษณะที่คล้ายกับข้อพิสูจน์ข้างต้นในกรณีที่มีข้อผิดพลาดด้านเดียว Implication (iii) ⇒ (ii) ) ดังต่อไปนี้จากทฤษฎีบท PCP เนื่องจากคลาสของสภาพปัญหาที่น่าพอใจ (ii) ถูกปิดภายใต้การลดความน่าจะเป็น FP BPP )

เครื่องมือตรวจสอบแบบคลาสสิกพร้อมกับอุปกรณ์เชื่อม (MIP *)

ถัดไปพิจารณากรณีที่มีการตรวจสอบคลาสสิกและ provers พันกันยุ่ง ในกรณีนี้คลาสที่มีข้อผิดพลาดที่ล้อมรอบอีกครั้งจะมีBPP∪NP

Kempe, Kobayashi, Matsumoto, Toner และ Vidick [KKMTV11] แสดงให้เห็นว่าทุกปัญหาใน NP มีระบบพิสูจน์แบบโต้ตอบรอบเดียวสามรอบที่มีความสมบูรณ์สมบูรณ์และข้อผิดพลาดด้านเสียง 1−1 / โพลีที่ความยาวทั้งหมดของข้อความคือ O ( log n ) bits และความสมบูรณ์ของเสียงนั้นมีต่อผู้ทดสอบที่ยุ่งเหยิง ดังนั้น MIP * ที่มีความยาวข้อความทั้งหมดบิตO (บันทึกn ) และข้อผิดพลาดที่ล้อมรอบมี NP ผลลัพธ์ในภายหลังโดย Ito, Kobayashi และ Matsumoto [IKM09] (ปลั๊กไร้ยางอาย) จะลดจำนวนของผู้พิสูจน์จากสามเป็นสอง กรณีของความมั่นคงคงที่เปิดที่ด้านบนของความรู้ของฉัน

ไม่ทราบว่า MIP * ที่มีความยาวข้อความรวมบิตO (log n ) อยู่ในคลาส R ของปัญหาที่สามารถตัดสินใจได้หรือไม่และคำถามนี้เทียบเท่ากับ MIP * ⊆R (ปัญหาเปิดอื่น) โดยอาร์กิวเมนต์ padding

อ้างอิง

[GH98] Oded Goldreich และ Johan Håstad เกี่ยวกับความซับซ้อนของการพิสูจน์แบบโต้ตอบกับการสื่อสารที่มีขอบเขต จดหมายประมวลผลข้อมูล , 67 (4): 205–214, สิงหาคม 1998. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-0190%2898%2900116-1

[IKM09] Tsuyoshi Ito, Hirotada Kobayashi และ Keiji Matsumoto การพิสูจน์เชิงออร์โธโลไนเซชันและการพิสูจน์สองรอบแบบพิสูจน์หนึ่งรอบกับกลยุทธ์ที่ไม่ใช่ท้องถิ่น ดำเนินการตามกฎหมาย: การประชุม IEEE ที่ยี่สิบสี่ประจำปีเกี่ยวกับความซับซ้อนในการคำนวณ (CCC 2009) , 217–228, กรกฎาคม 2009 http://dx.doi.org/10.1109/CCC.2009.22

[KKMTV11] Julia Kempe, Hirotada Kobayashi, Keiji Matsumoto, Ben Toner และ Thomas Vidick เกมพันกันเป็นเรื่องยากที่จะประมาณ วารสารคอมพิวเตอร์สยาม 40 (3): 848–877, 2011 http://dx.doi.org/10.1137/090751293


เยี่ยมมากขอบคุณ Tsuyoshi นี่คือสิ่งที่ฉันกำลังมองหา
Joe Fitzsimons

4
ปัญหาคลาสสิกสุดท้ายที่เปิดอยู่คือการตัดสินใจว่าคลาสความซับซ้อนนี้เท่ากับ MA หรือไม่
Peter Shor

@Peter: ใช่ ฉันพิจารณาปัญหานี้มาระยะหนึ่งแล้ว แต่ยังไม่มีคำตอบ
Tsuyoshi Ito

2
ฉันพบบันทึกเก่าของฉันที่ระบุว่า O (1) - พิสูจน์ระบบ MIP หนึ่งรอบที่สมบูรณ์แบบด้วยการสื่อสาร O (log n) - บิตไม่น่าจะมี MA ฉันเพิ่มอาร์กิวเมนต์นี้ลงในคำตอบในการแก้ไข 3
Tsuyoshi Ito

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ oracle ที่เกี่ยวข้องกับBPP⊈P ^ NP ที่กล่าวถึงในคำตอบนี้ให้ดูคำถามนี้
Tsuyoshi Ito
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.