ลดการใช้พื้นที่ของการเชื่อมต่อ st ด้วยหลายรอบหรือไม่

20

สมมติว่ากราฟมีจุดยอดแสดงเป็นสตรีมของขอบแต่อนุญาตให้ผ่านได้หลายครั้งผ่านกระแส $G$ $n$ $m$

Monika Rauch Henzinger, Prabhakar Raghavan และ Sridar Rajagopalanตั้งข้อสังเกตว่ามีความจำเป็นที่จะต้องพิจารณาว่ามีช่องว่างระหว่างจุดสองจุดที่กำหนดในหรือไม่ถ้าอนุญาตผ่านข้อมูล (ดูที่เวอร์ชันรายงานทางเทคนิคด้วย) อย่างไรก็ตามจะไม่มีการจัดทำอัลกอริทึมเพื่อให้บรรลุข้อผูกพันนี้ ฉันคิดว่าอัลกอริทึมที่ดีที่สุดจริงจะใช้เวลาพื้นที่ในแบบจำลองคอมพิวเตอร์ที่สมจริงตั้งแต่หนึ่งที่มีการแยกแยะความแตกต่างจุดที่แตกต่างกันหากไม่สามารถหน่วยความจำดัชนีโดยใช้ตัวชี้ขนาดคงที่ $\Omega(n/k)$ $G$ $k$ $O((n\, \log\, n)/k)$ $n$

เราจะตัดสินใจเลือกการเชื่อมต่อกราฟที่มีผ่านโดยใช้พื้นที่อย่างไร $k$ $O((n\, \log\, n)/k)$

หากอนุญาตให้ส่งผ่านได้เพียงครั้งเดียวข้อมูลอินพุตสามารถจัดเก็บเป็นพาร์ติชันของชุดจุดยอดรวมชุดถ้าขอบถูกมองเห็นระหว่างจุดยอดในชุดต่าง ๆ ที่สอง สิ่งนี้ต้องมีพื้นที่มากที่สุดอย่างชัดเจน คำถามของฉันเกี่ยวกับ : เราจะใช้บัตรผ่านเพิ่มเติมเพื่อลดพื้นที่ที่ต้องการได้อย่างไร $O(n\, \log\, n)$ $k > 1$

(เพื่อหลีกเลี่ยงเรื่องไร้สาระเป็นพารามิเตอร์ที่ไม่สามารถ จำกัด ขอบเขตนิรนัยได้โดยค่าคงที่และขอบเขตของพื้นที่เป็นนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของทั้งและ ) $k$ $n$ $k$

อัปเดต: แม้แต่สำหรับมันจะมีประโยชน์มากที่จะมีวิธีเก็บเฉพาะจุดยอดหรือมีขอบเขตต่ำกว่าที่แข็งแกร่งกว่าสำหรับค่าคงที่โดยไม่คำนึงถึง ? $k=2$ $n/2$ $cn$ $c$ $k$

— András Salamon
แหล่งที่มา

วิธีการโดยไม่คำนึงถึง ? ถ้ามันมีขนาดใหญ่มากการเชื่อมต่อแบบ st สามารถแก้ไขได้ในพื้นที่ดังนั้นจึงมีโอกาสสำหรับอัลกอริทึม แต่ตามที่แสดงโดย azotlichid อาจไม่อยู่ในk)

k

$k$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

O (n \log n / k)

$O(n\log n /k)$

— domotorp

โปรดทราบว่าการกำจัด Pass ของ Guha และ McGregor สำหรับอัลกอริธึมแบบสุ่มทำงานในทิศทางตรงกันข้ามโดยใช้พื้นที่มากขึ้นเพื่ออนุญาตให้ผ่านน้อยกว่า (แม้ว่าพื้นที่เพิ่มเติมจะมีขนาดใหญ่หากข้อผิดพลาดที่ต้องการมีขนาดเล็ก) คำถามนี้ถามว่าด้วยการใช้บัตรผ่านมากขึ้นใครสามารถลดการใช้พื้นที่

— András Salamon

8

มันเป็นปัญหาที่เปิดกว้างมายาวนานในการค้นหาอัลกอริธึมสำหรับการเชื่อมต่อแบบเซนต์ที่ทำงานในพื้นที่ย่อยเชิงเส้นพร้อมกันและเวลาพหุนามซึ่งเป็นงานที่ง่ายกว่าที่คุณต้องการ อัลกอริธึมดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันในเวอร์ชันที่ไม่ได้กำกับทิศทางแต่แม้จะต้องใช้เวลาพหุนามขนาดใหญ่ (แทนที่จะใช้เวลา O (กม.) ซึ่งจะถูกบอกเป็นนัยโดยอัลกอริทึม k-pass) ดูเอกสารอ้างอิงของ Tompa โดยเฉพาะว่าเหตุใดคดีที่กำกับดูเหมือนยาก

— โนม
แหล่งที่มา

1

M. Tompa อัลกอริธึมการปิด transitive ที่คุ้นเคยสองอันซึ่งไม่ยอมรับเวลาพหุนามการใช้พื้นที่ sublinear SIAM J. Comput 11 (1), 130–137 dx.doi.org/10.1137/0211010

— András Salamon

กระดาษนี้ให้ "อัลกอริทึมสำหรับการเชื่อมต่อเซนต์ที่ทำงานในพร้อมกันพื้นที่ย่อยเชิงเส้นและเวลาพหุนาม"

$\hspace{1.71 in}$

4

นี่ไม่ใช่คำตอบ แต่ฉันแค่อยากจะชี้ให้เห็นว่าถ้าคุณสามารถแก้ปัญหานี้สำหรับคุณก็จะแก้ปัญหาการเชื่อมต่อ st ในพื้นที่และเวลา ( ซึ่งในกรณีออฟไลน์คุณสามารถทำได้ด้วยความน่าจะเป็น> 1/2 โดยการเดินแบบสุ่ม แต่ดูเหมือนยากขึ้นเล็กน้อยเมื่อขอบมาจากสตรีม) คำถามที่น่าสนใจมาก IMO $k = \Theta(n)$ $O(\log n)$ $O(nm)$

— zotachidil
แหล่งที่มา

3

$k$

— ชาด Brewbaker
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับตัวชี้นี่เป็นกระดาษที่น่าสนใจ โปรเซสเซอร์มีการเข้าถึงโครงสร้างข้อมูลที่มีขนาดใหญ่เท่ากับกราฟอย่างน้อยดังนั้นจึงไม่ช่วยลดการใช้พื้นที่ มันจะเป็นเรื่องที่น่าสนใจหากมีวิธีการลดการใช้พื้นที่โดยใช้ประโยชน์จากจำนวนรอบเช่นเดียวกับจำนวนตัวประมวลผล

— András Salamon

2

ยังไม่มีคำตอบอื่น: มีเอกสารบางอย่างเกี่ยวกับอัลกอริทึมสไตล์ mapreduce ปฏิบัติการบนกราฟขนาดใหญ่ เป้าหมายคือเพื่อให้ได้พื้นที่ว่างต่อเครื่อง o (m) สำหรับกราฟที่หนาแน่น แต่โดยทั่วไปแล้วต้องการพื้นที่ O (n) ต่อเครื่อง

theory.stanford.edu/~sergei/papers/soda10-mrc.pdf http://theory.stanford.edu/~sergei/papers/spaa11-matchings.pdf

— Martin Pál
แหล่งที่มา

1

$O(n\log n/ k)$ $k$ $n/k$ $st$ $n/k$ $n/k$ $st$

— domotorp
แหล่งที่มา