คำถามทางเทคนิคเกี่ยวกับการเดินสุ่ม

(คำถามเดิมของฉันยังไม่ได้รับคำตอบฉันได้เพิ่มคำอธิบายเพิ่มเติมแล้ว)

เมื่อวิเคราะห์การเดินแบบสุ่ม (บนกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง) โดยการดูการเดินแบบสุ่มเป็นลูกโซ่มาร์คอฟเราต้องการกราฟที่ไม่เป็นฝ่ายสองฝ่ายเพื่อให้ทฤษฎีบทพื้นฐานของลูกโซ่มาร์คอฟใช้

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ากราฟแทนสองฝ่าย? ฉันสนใจโดยเฉพาะในเวลาที่ชนที่มีขอบระหว่างและในGสมมติว่ากราฟสองฝ่ายมีขอบเป็นเราสามารถเพิ่มการวนซ้ำของตัวเองไปยังจุดสุดยอดตามอำเภอใจในกราฟเพื่อสร้างกราฟที่ไม่ใช่ผลลัพธ์ของใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของโซ่มาร์คอฟไปจากนั้นเราจะได้รับที่ในและนี่คืออย่างชัดเจนนอกจากนี้ยังผูกพันบนสำหรับในG$G$$h_{i,j}$$i$$j$$G$$G$$m$$G'$$G'$$h_{i,j} < 2m+1$$G'$$h_{i,j}$$G$

คำถาม: จริงหรือที่การเรียกร้องที่แข็งแกร่งถือเป็น ? (มันเคยเห็นสิ่งนี้ได้รับการอ้างสิทธิ์ในการวิเคราะห์อัลกอริธึมการเดินแบบสุ่มสำหรับ 2SAT) หรือว่าเราต้องทำตามขั้นตอนพิเศษนี้ในการเพิ่มการวนซ้ำตัวเองหรือไม่$h_{i,j} < 2m$$G$

คำตอบนี้พิสูจน์สิ่งที่แตกต่างจากสิ่งที่ผู้ถามสนใจจริง ๆ ปล่อยไว้ที่นี่เพื่อคนอื่นจะไม่ทำผิดซ้ำเหมือนเดิม

ในกรณีส่วนใหญ่เราสามารถพิสูจน์ความคิดอย่างเป็นทางการว่า "ลูปตัวเองสามารถชะลอความเร็วในการเดิน" โดยการมีเพศสัมพันธ์ ในกรณีเช่นนี้หนึ่งสามารถคู่เดินกับลูปตัวเอง (ขอเรียกว่า) และเป็นหนึ่งโดยไม่ต้องลูปตนเอง (โทรให้ของที่ ) เพื่อที่เตะเดียวกันขั้นตอนแต่ล่าช้าในเวลา สามารถเช่นนี้สามารถทำได้ดังนี้สมมติว่า เริ่มต้นที่และผ่านไป k ตอนนี้เราใช้ดังนี้ดังนี้:จะผ่านจุดยอดเดียวกันกับ ยกเว้นจุดยอดนั้น$A$$B$$A$$B$$B$$u = x_0$$x_i: i =1,2,\ldots,k$$A$$A$$B$$x_i$มันจะรอเวลาทางเรขาคณิต ( ) ที่คือความน่าจะเป็นของการวนตัวเองที่$p_i$$p_i$$x_i$ x_iโปรดทราบว่านี่เป็นการใช้งานที่ถูกต้องของ$A$ (ความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดนั้นถูกต้อง) และรูปแบบของการมีเพศสัมพันธ์ทำให้มั่นใจได้ว่า $A$ ไม่เคยถึงจุดสุดยอดใด ๆ มาก่อน $B$นั่นคือเรามีคู่กัน $H_t^A$ และ $H_t^B$ (เวลาการชนแบบสุ่มในสองครั้ง) ดังนั้น $H_t^A \geq H_t^B$ ด้วยความน่าจะเป็น $1$. ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันสำหรับเวลาที่กดปุ่มคาดว่าจะตามมา

ฉันได้โพสต์สิ่งนี้เป็นความคิดเห็นก่อนหน้านี้และฉันเชื่อว่ามันเป็นคำตอบของคำถามที่แก้ไขแล้วของ user686 ในการยืนยัน (เมื่อ $i$ และ $j$ เชื่อมต่อกันด้วยขอบในกราฟ $G$ (ไม่ว่าจะเป็นสองฝ่ายหรือไม่ก็ตาม) $h(i,j)$เวลาที่คาดว่าจะมาจาก $i$ ถึง $j$ ความพึงพอใจ $h(i,j) < 2m$.)

ฉันควรทราบด้วยว่าในเวอร์ชันที่ไม่มีการแก้ไขเดิมคำถามไม่ได้ระบุว่า $i$ และ $j$ อยู่ติดกันดังนั้นในขณะที่คำตอบก่อนหน้านี้เกี่ยวข้องกับคำถามต้นฉบับคำตอบเหล่านี้จะไม่เกี่ยวข้องกับเวอร์ชันที่แก้ไขใหม่

ถ้า $i$ และ $j$ อยู่ติดกันเวลาเดินทาง $C(i,j)=h(i,j)+h(j,i)=2mR(i,j)$ที่ไหน $R(i,j)$ คือความต้านทานที่มีประสิทธิภาพระหว่าง $i$ และ $j$ ใน G และเป็นอย่างมาก $1$ (ตั้งแต่ $i$ และ $j$เชื่อมต่อกันด้วยขอบ) สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า$h(i,j)<2m$ เมื่อไหร่ $i$ และ $j$ อยู่ติดกัน $G$เนื่องจากทั้งคู่ $h(i,j)$ และ $h(j,i)$ เป็นบวกอย่างเคร่งครัด

ตัวตน $C(i,j) = 2mR(i,j)$ ถือสำหรับจุดยอดโดยพลการ $i$ และ $j$. หลักฐานปรากฏขึ้นเช่นในหนังสือโดย Lyons และ Peres

@ user686 ขออภัยสำหรับคำตอบก่อนหน้าของฉัน: ฉันไม่ทราบว่าคุณกังวล $2m+1$ VS $2m$. อย่างไรก็ตามในกรณีนี้ฉันไม่คิดว่ามีการอ้างสิทธิ์เกิดขึ้นจริงหากคุณเพิ่มการวนซ้ำตัวเองที่$j$. เดินสุ่มเริ่มต้นที่$i$ ในกรณีของทั้งสอง $G'$ และและ $G$ สามารถเชื่อมต่อกันเพื่อที่พวกเขาจะได้ $same$ ขั้นตอนในเวลาเดียวกันจนกว่าจะถึง $j$. ซึ่งหมายความว่า$H(i,j)_G=H(i,j)_{G'}$และเวลาในการชนที่คาดหวังจึงจะต้องเท่ากัน

นอกจากนี้ตั้งแต่การผูกไว้ $h_{i,j} < 2m+1$ ไม่ถูกต้องโดยทั่วไป (บนเส้นทางของ $m$ โหนด $h_{i,j}$ สามารถมีขนาดใหญ่เท่า $\Theta(m^2)$) กราฟของคุณพิเศษไหม?

PS: ฉันอัปเดตคำตอบก่อนหน้าของฉันเพราะดูเหมือนว่ามันไม่ได้อยู่ที่ความกังวลหลักของคุณ