คำนวณค่าคงที่ Cheeger: เป็นไปได้สำหรับคลาสใด?

19

การคำนวณค่าคงที่ Cheeger ของกราฟหรือที่เรียกว่าค่าคงตัว isoperimetric (เพราะโดยพื้นฐานแล้วจะเป็นอัตราส่วนพื้นที่ / ปริมาตรขั้นต่ำ) เป็นที่รู้กันว่า NP-complete โดยทั่วไปจะประมาณ ฉันสนใจที่จะเรียนรู้ว่าอัลกอริทึมพหุนามที่แน่นอนนั้นเป็นที่รู้จักสำหรับกราฟระดับพิเศษหรือไม่ ตัวอย่างเช่นยังคงเป็น NP ที่สมบูรณ์สำหรับกราฟปกติหรือไม่ สำหรับกราฟระยะทางปกติ ? (ฉันไม่ได้ศึกษาหลักฐานพิสูจน์ความสมบูรณ์แบบ NP ที่มีอยู่เพื่อตรวจสอบสมมติฐานของพวกเขา) พอยน์เตอร์วรรณกรรมชื่นชม - ขอบคุณ!

ds.algorithms reference-request graph-algorithms

— Joseph O'Rourke
แหล่งที่มา

3

นั่นเป็นคำถามที่ดี การประมาณมีส่วนเกี่ยวข้องกับวิธีการตัดแบบกระจายหรือไม่?

— Suresh Venkat

1

ฉันรู้ว่านี่เป็นคำถามเก่า แต่ฉันสงสัยว่าถ้าใครรู้เกี่ยวกับการประมาณเวลาพหุนามสำหรับกราฟทั่วไปที่ได้ค่าคงที่ภายในเปอร์เซ็นต์คงที่บ้างไหม?

— yberman

11

สังเกตุว่าการประมาณระยะห่างจากการตัดไปที่จะให้ค่าประมาณสำหรับค่าคงที่ Cheeger ตามที่กำหนดไว้ นี่คือเอกสารบางส่วนที่ให้อัลกอริธึมการประมาณค่าคงที่สำหรับการตัดแบบเบาบางในกราฟที่ จำกัด : $\alpha$ $2\alpha$

ประเภทที่ถูกผูกไว้: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1873619
ความกังวลที่ จำกัด : http://arxiv.org/abs/1006.3970

ยิ่งไปกว่านั้นhttp://arxiv.org/abs/1006.3970v2พิสูจน์ว่าการตัดแบบกระจายนั้นเป็นปัญหาที่ยากสำหรับกราฟที่มีความกว้าง 2 และมีการอ้างอิงเพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับการตัดแบบแยกส่วนในกรณีที่ จำกัด

ฉันจะสมมติว่าสำหรับกราฟทุกชั้นที่กล่าวถึงในกระดาษไม่มีการรู้ขั้นตอนวิธีที่แน่นอน (เนื่องจากพวกเขาสนใจในการประมาณค่า) โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าการตัดแบบกระจายน้อยนั้นเป็นปัญหาที่ยากสำหรับกราฟที่มีพา ธ พา ธ 2 มันก็ยากสำหรับกราฟที่มีจำนวน treewidth 2 และตัวตัดความกว้าง 2 ฉันคิดว่ามันไม่ได้ให้พื้นที่มากนัก การกำหนดพารามิเตอร์สำหรับการตัดแบบกระจาย

ฉันค่อนข้างมั่นใจว่าการตัดบางส่วนนั้นยาก NP บนกราฟปกติ แต่ไม่สามารถหาข้อมูลอ้างอิงได้

ต่อการสังเกตเห็นว่าฉันไม่ระวังเมื่อฉันดูเอกสารด้านบน ผลความแข็งใช้สำหรับการตัดแบบไม่กระจายแบบไม่สม่ำเสมอ การคำนวณการตัดแบบกระจัดกระจายหรือค่าคงที่ของ Cheeger นั้นง่ายบนต้นไม้ (WLOG การตัดที่ดีที่สุดจะแยกทรีย่อย) ด้วยการทำงานอีกเล็กน้อยที่ให้อัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกสำหรับการคำนวณค่าคงที่ Cheeger บนกราฟ treewidth แบบ จำกัด ขอบเขต

ตารางที่ 1 ในกระดาษ 2 ด้านบนยังกล่าวถึงผลลัพธ์ที่ให้ค่าประมาณคงที่สำหรับกราฟที่มีค่าเล็กน้อยที่แยกออกมา

สำหรับกราฟประเภทขอบเขตที่ดีที่สุดที่จะรู้ได้คือการประมาณค่าคงที่ (กระดาษ 1 ข้างบนให้โดยที่คือสกุล $O(\sqrt{\log g})$ $g$

— Sasho Nikolov
แหล่งที่มา

คุณไม่สามารถสร้างกราฟใด ๆ เป็นประจำด้วยการเพิ่มการวนซ้ำตัวเองได้หรือ

— MCH

2

@MCH ด้วยวิธีการจุดยอดคี่ระดับยังคงอยู่ในระดับคี่และแม้กระทั่งจุดยอดองศายังคงอยู่ถึงระดับ

— Sasho Nikolov

1

ผลลัพธ์ความแข็งที่คุณพูดถึงสำหรับพา ธ ไวด์ ธ 2 คือการตัดแบบไม่กระจายซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับค่าคงที่ของ Cheeger อันที่จริงเท่าที่ฉันเห็นการคำนวณทั้งการตัดแบบเบาบางที่สุดหรือค่าคงที่ของ Cheeger ในกราฟของความว่องไวที่ล้อมรอบนั้นเป็นเรื่องง่าย

— ต่อ Austrin

5

สำหรับการแก้ปัญหาที่แน่นอนในกราฟภาพถ่ายดูPark และฟิลลิป STOC 93 นี่เป็นสิ่งสำคัญสำหรับเครื่องแบบที่มีความต้องการแยกส่วนด้วยความแตกต่างเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ตัวหารของพวกเขาคือ | S | แทน | S | * | VS | ตามที่ระบุโดย Per กรณีของความต้องการที่ไม่เหมือนกันนั้นแตกต่างกัน

— Robert Krauthgamer
แหล่งที่มา