หากเครื่องนามธรรมสามารถจำลองตัวเองได้นั่นทำให้ทัวริงสมบูรณ์หรือไม่

ยกตัวอย่างเช่นในภาษาการเขียนโปรแกรมมันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะเขียน X-in-X คอมไพเลอร์ / ล่าม แต่ในระดับทั่วไปที่หลายคนรู้จักระบบทัวริงสมบูรณ์สามารถจำลองตัวเองในรูปแบบที่น่าประทับใจ (เช่นการจำลองเกมชีวิต Conway ในเกมชีวิต )

ดังนั้นคำถามของฉันคือ: ระบบสามารถจำลองตัวเองได้เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าเป็นทัวริงสมบูรณ์หรือไม่ เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นอย่างแน่นอน

ไม่จำเป็น. ตัวอย่างเช่นหุ่นยนต์บล็อกเซลลูลาร์สองมิติที่มีสองสถานะซึ่งเซลล์จะมีชีวิตอยู่ก็ต่อเมื่อโฟร์รุ่นก่อนของมันมีเซลล์ที่อยู่ติดกันสองเซลล์เท่านั้นสามารถจำลองตัวเองด้วยปัจจัยชะลอตัวสองครั้งและปัจจัยระเบิดขนาดสอง ไม่ทราบว่าทัวริงสมบูรณ์ ดูB36 / S125“ 2x2” เซลล์เซลลูล่าร์เหมือนชีวิต โดย Nathaniel Johnston สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับหุ่นยนต์บล็อกนี้และกฎ B36 / S125 สำหรับย่าน Moore ซึ่งสามารถจำลองหุ่นยนต์บล็อกนี้ได้

ไม่มันไม่ใช่. ฉันรู้เทคนิคที่สำคัญสองประเภทเพื่อหลีกเลี่ยงความไม่แน่นอน / ความสมบูรณ์แบบของทัวริง

1. การโจมตีบรรทัดแรกคือการตั้งค่าระบบเพื่อให้สามารถปรับโครงสร้างไวยากรณ์ได้ แต่ทฤษฎีบทจุดคงที่ของ Godel ไม่ผ่าน Dan Willard ทำงานอย่างกว้างขวางในเรื่องนี้และให้ระบบตรวจสอบตนเองที่สอดคล้องกัน เคล็ดลับคือการกำจัดสัญลักษณ์การคูณและการเพิ่มฟังก์ชันและแทนที่ด้วยการหารและการลบ สิ่งนี้ทำให้คุณมีแรงม้ามากพอที่จะแสดงไวยากรณ์ทางคณิตศาสตร์ได้ แต่ทฤษฎีจุดคงที่นั้นไม่ผ่านเนื่องจากการคูณนั้นไม่สามารถพิสูจน์ได้ทั้งหมด

   ดู Dan Willard ระบบ Self-การตรวจสอบความจริงที่ขาดทฤษฎีบทและหลักการการสะท้อนที่เกี่ยวข้อง วารสารสัญลักษณ์ Symbolic 66 (2001) หน้า 536-596

2. การโจมตีแนวที่สองนั้นอนุญาตให้ใช้จุดคงที่ได้มากขึ้น แต่การตั้งค่าต่าง ๆ เพื่อที่ว่าไวยากรณ์จะไม่ทำให้เกิดปัญหา ระบบที่สวยที่สุดสำหรับสิ่งนี้คือ (IMO) ซึ่งขึ้นอยู่กับตัวแปรของลอจิกเชิงเส้น ยกตัวอย่างเช่นใน Kazushige Terui ของ Light Affine Set Theory แม้กระทั่งหลักการของชุดความเข้าใจที่ไม่มีข้อ จำกัดก็คือเสียง แต่เนื่องจากตรรกะรอบข้างของทฤษฎีเซตนั้นเป็นเส้นตรง (ดังนั้นจึงไม่อนุญาตให้มีการหดตัว) รัสเซลเป็นบุคคลที่ผิดธรรมดา

   เหตุผลที่เข้าใจได้ง่ายว่าการลดความผิดพลาดคือการตั้งค่าฟังก์ชั่นเชิงเส้นแสงเพื่อให้ผู้อยู่อาศัยทั้งหมดเป็นเวลาพหุนาม เป็นผลให้รุ่นเชิงเส้นแบบเบาของสัจพจน์ Peano ไม่สามารถพิสูจน์ผลรวมของการยกกำลัง (เนื่องจากการยกกำลังของตัวเลขที่เป็นเลขชี้กำลังต้องใช้เวลาเป็นเลขชี้กำลัง) และดังนั้นจึงไม่มีความแตกต่างระหว่างจำนวนธรรมชาติและสายอักขระบิตอีกต่อไป$A \multimap B$

   Kazushige Terui Light affine set theory: ทฤษฎีเซตไร้เดียงสาของเวลาพหุนาม Studia Logica, Vol. 77, ลำดับที่ 1, หน้า 9-40, 2004

   ฉันคิดว่าเอกสารนี้สามารถเข้าถึงได้มากขึ้นหลังจากอ่านบทความต่อไปนี้ของ Yves Lafont:

   Y. Lafont, Soft Linear Logic และเวลาพหุนามวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี 318 (ฉบับพิเศษเรื่องความซับซ้อนของการคำนวณโดยนัย) หน้า 163-180 เอลส์เวียร์ (2004)

   ทฤษฎีเซตของ Terui มีความหมายมาก แต่ก็ยากที่จะเปรียบเทียบกับทฤษฎีเซตดั้งเดิมเนื่องจากกฎการพิสูจน์เชิงทฤษฎีไม่ใช่เครื่องมือที่ดีสำหรับการเปรียบเทียบระบบที่อ่อนแอมาก ยกตัวอย่างเช่นการตั้งทฤษฎี Terui ชัดไม่สามารถพิสูจน์ได้ยกกำลังทั้งหมดและด้วยเหตุนี้ความแข็งแรงพิสูจน์ทฤษฎีของมันไม่สามารถแม้แต่จะขึ้นไปถึงωคลาสที่มีความซับซ้อนน่าจะดีกว่า - มันสมบูรณ์สำหรับ polytime (สามารถพิสูจน์ได้ว่าทุกฟังก์ชันของ polytime รวมกัน แต่ไม่มาก)$\omega$

   ฉันมักจะคิดว่าระบบเหล่านี้เป็นแนวคิดของแนวคิดสำหรับความคิดที่ว่าทฤษฎีความซับซ้อนสามารถใช้เป็นรากฐานสำหรับการ ultrafinitism บางชนิด

$i$$x$$0$

โปรดทราบว่าเครื่องMใด ๆ$M$$M(\langle \ulcorner M' \urcorner, x \rangle ) = M'(x) = 0$$M', x$

เห็นได้ชัดว่าไม่ทัวริงสมบูรณ์ แต่ยังมีเครื่องจักรสากลอย่างชัดเจน