เมทริกซ์นั้นมีอยู่จริงหรือไม่?

ระหว่างการทำงานฉันพบปัญหาต่อไปนี้:

ฉันกำลังพยายามหา $n \times n$ $(0,1)$ matrix $M$ สำหรับใด ๆ ที่ $n > 3$ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ดีเทอร์มีแนนต์ของ $M$ คือเท่ากัน
สำหรับชุดย่อยที่ไม่ว่างเปล่า $I,J\subseteq\{1,2,3\}$ ด้วย $|I| = |J|$ ที่ submatrix $M^I_J$ มีปัจจัยแปลกถ้าหาก $I=J$ J

นี่ $M^I_J$ หมายถึง submatrix ของ $M$ ที่สร้างขึ้นโดยการลบแถวที่มีดัชนีใน $I$ และคอลัมน์ที่มีดัชนีในJ $J$

จนถึงตอนนี้ฉันพยายามค้นหาเมทริกซ์ดังกล่าวผ่านการสุ่มตัวอย่าง แต่ฉันสามารถค้นหาเมทริกซ์ที่มีคุณสมบัติทั้งหมดยกเว้นเมทริกซ์แรกเท่านั้นนั่นคือเมทริกซ์จะมีปัจจัยแปลกเสมอ ฉันลองใช้ขนาดต่าง ๆ และชุดอินพุต / เอาต์พุตที่แตกต่างกันโดยไม่ประสบความสำเร็จ ดังนั้นนี่ทำให้ฉันคิดว่า:

คือมีการพึ่งพาระหว่างข้อกำหนดซึ่งป้องกันไม่ให้พวกเขาเป็นจริงพร้อมกันหรือไม่

หรือ

เป็นไปได้ไหมที่เมทริกซ์นั้นมีอยู่และมีคนยกตัวอย่างให้ฉันได้ไหม?

ขอบคุณ Etsch

— Etsch
แหล่งที่มา

คุณหมายถึงชุดย่อยแบบสุ่มหรือส่วนย่อยใด ๆ

— Suresh Venkat

ดูเหมือนว่าและขัดแย้งกัน เนื่องจากไม่มีสิ่งใดที่จะหยุดในชุดย่อยหนึ่งชุดที่เป็นในชุดย่อยสุ่มอื่น หรือไม่คุณก็อยากให้เรื่องนี้เป็นจริงสำหรับคู่เดียวของส่วนย่อย , ?

det (M_{o_{1}}^{i_{1}}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_1}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{o_{2}}^{i_{1}}) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M^{i_1}_{o_2}) \equiv 0 \pmod{2}$

o_{1}

$o_1$

o_{2}

$o_2$

{o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\{o_1,o_2,o_3\}$

{i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\{i_1,i_2,i_3\}$

— Peter Shor

ใช่ทั้งสองส่วนย่อยและได้รับการแก้ไข เช่นสำหรับสามารถตั้งค่า , ,และ , ,แล้วคำถามคือ: มีเมทริกซ์ (7x7)ที่ , ,และอื่น ๆ ตามที่กำหนดไว้ 20 คุณสมบัติ

I = {i_{1}, i_{2}, i_{3}}

$\mathcal{I} = \{i_1,i_2,i_3\}$

O = {o_{1}, o_{2}, o_{3}}

$\mathcal{O} = \{o_1,o_2,o_3\}$

n = 7

$n=7$

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 5

$i_3 = 5$

o_{1} = 2

$o_1 = 2$

o_{2} = 3

$o_2 = 3$

o_{3} = 4

$o_3 = 4$

M

$M$

det (M) \equiv 0 (\mod 2)

$\det(M) \equiv 0\pmod{2}$

det (M_{2, 3, 4}^{1, 2, 5}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2,5}_{2,3,4}) \equiv 1 \pmod{2}$

det (M_{2, 3}^{1, 2}) \equiv 1 (\mod 2)

$\det(M^{1,2}_{2,3}) \equiv 1\pmod{2}$

— Etsch

คุณไม่สามารถแก้ไข , , , , ,เพื่อทำให้คำถามง่ายขึ้นและทำให้อ่านง่ายขึ้น?

i_{1} = 1

$i_1 = 1$

i_{2} = 2

$i_2 = 2$

i_{3} = 3

$i_3 = 3$

o_{1} = 1

$o_1 = 1$

o_{2} = 2

$o_2 = 2$

o_{3} = 3

$o_3 = 3$

— Jukka Suomela

แก้ไขเพื่อความชัดเจน

— Jeffε

ไม่มีเมทริกซ์ดังกล่าวอยู่

ตัวตน Desnanot-Jacobiกล่าวว่าสำหรับ , ดังนั้นการใช้ สิ่งนี้เราได้รับ แต่ความต้องการของคุณบังคับให้ด้านซ้ายเป็น 0 (mod 2) และด้านขวามือให้เป็น 1 (mod 2) ซึ่งแสดงว่าไม่เข้ากัน $i \neq j$

det M_{i j}^{i j} det M = det M_{i}^{i} det M_{j}^{j} - det M_{i}^{j} det M_{j}^{i}

$\det M_{ij}^{ij} \det M = \det M_i^i \det M_j^j -\det M_i^j \det M_j^i$

det M_{12}^{12} det M = det M_{1}^{1} det M_{2}^{2} - det M_{1}^{2} det M_{2}^{1}

$\det M_{12}^{12} \det M = \det M_{1}^{1} \det M_{2}^{2} - \det M_{1}^{2} \det M_{2}^{1}$

— Peter Shor
แหล่งที่มา

ดี! อย่างไรก็ตามตอนนี้ฉันสับสนเพราะผู้ถามบอกว่ากระสุนนัดที่สองในคำถามเดียวสามารถสร้างความพึงพอใจซึ่งขัดแย้งกับตัวตนที่คุณอ้าง

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: กระสุนนัดที่สองขัดแย้งกับตัวตนอย่างไร? เมทริกซ์เอกลักษณ์ที่เป็นไปตามกระสุนที่สองและมันง่ายที่จะตรวจสอบว่าเป็นไปตามตัวตนของ Desnanot-Jacobi (ยกเว้นกรณีที่คุณกำลังซึ่งฝ่าฝืนเงื่อนไขในตัวตนที่ฉันเพิ่งเพิ่มคำตอบของฉัน.)

I

$I$

I

$I$

i = j

$i = j$

— ปีเตอร์เชอร์

ขออภัยความคิดเห็นก่อนหน้าของฉันคือปลอมและดูเหมือนว่าฉันสับสนมากกว่าที่ฉันคิด เหตุใดข้อกำหนดในคำถามจึงบังคับให้ด้านซ้ายของสมการที่สองในคำตอบของคุณเป็น 0 mod 2

— Tsuyoshi Ito

ตอนนี้ฉันเห็นสิ่งที่คุณหมายถึง คุณไม่จำเป็นต้องลบแถวแรกและคอลัมน์แรก

— Tsuyoshi Ito

@Etsch: ฉันคิดเมื่อผมเขียน{1,2,3} ฉันคิดว่ามันถูกต้องแล้ว

M

$M$

M_{1, 2, 3}^{1, 2, 3}

$M^{1,2,3}_{1,2,3}$

— Peter Shor