วงจรเลขคณิตแบบโมโนโทน

สถานะของความรู้ของเราเกี่ยวกับวงจรเลขคณิตทั่วไปดูเหมือนจะคล้ายกับสถานะของความรู้ของเราเกี่ยวกับวงจรบูลีนนั่นคือเราไม่มีขอบเขตล่างที่ดี บนมืออื่น ๆ ที่เรามีขนาดชี้แจงลดขอบเขตสำหรับเสียงเดียววงจรบูลีน

เรารู้อะไรเกี่ยวกับวงจรเลขคณิตแบบโมโนโทน เรามีขอบเขตล่างที่ดีเหมือนกันสำหรับพวกเขาหรือไม่? ถ้าไม่ความแตกต่างที่สำคัญคืออะไรที่ไม่อนุญาตให้เราใช้ขอบเขตล่างที่คล้ายกันสำหรับวงจรเลขคณิตแบบโมโนโทน

คำถามได้รับแรงบันดาลใจจากความคิดเห็นในคำถามนี้

ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับวงจรเลขคณิตแบบโมโนโทนนั้นง่ายกว่าเพราะพวกเขาห้ามการยกเลิก บนมืออื่น ๆ ที่เราสามารถพิสูจน์ขอบเขตล่างชี้แจงสำหรับวงจรคอมพิวเตอร์ฟังก์ชั่นบูลแม้ว่าเสียงเดียวใด ๆจริงมูลค่าฟังก์ชั่นจะได้รับอนุญาตเป็นประตู (. เห็นเช่นนิกาย 9.6 ในหนังสือ )$g:R\times R\to R$

แม้ว่าวงจรเลขคณิตแบบโมโนโทนนั้นจะอ่อนแอกว่าวงจรแบบบูลโมโนโทน(ในสมัยที่เรายกเลิกการและa ∨ ( a ∧ b ) = a ) วงจรเหล่านี้น่าสนใจเพราะความสัมพันธ์กับอัลกอริธึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก (DP) . อัลกอริธึมส่วนใหญ่ดังกล่าวสามารถจำลองได้โดยวงจรผ่านเซมินนิ่ง( + , นาที)หรือ( + , สูงสุด$a\land a=a$$a\lor (a\land b)=a$$(+,\min)$$(+,\max)$. ประตูนั้นสอดคล้องกับปัญหาย่อยที่อัลกอริทึมใช้ สิ่งที่ Jerrum และ Snir (ในบทความโดย V Vinay) พิสูจน์ได้จริงคืออัลกอริธึม DP สำหรับการจับคู่อย่างสมบูรณ์แบบ Min Weight Perfect (รวมถึงปัญหา TSP) จะต้องสร้างปัญหาย่อยมากมาย แต่ปัญหาการคิดเลขที่สมบูรณ์แบบนั้นไม่ได้มาจาก "ความผิดปกติของ DP" (มันไม่เป็นไปตามหลักการของการปรับให้เหมาะสมของ Bellman ) การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (ไม่ใช่ DP) เหมาะสำหรับปัญหานี้มากขึ้น

ดังนั้นสิ่งที่เกี่ยวกับปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพที่, B ) + นาที( , C )สามารถแก้ไขได้ด้วยอัลกอริธึม DP ที่มีขนาดเล็กพอสมควร - เราสามารถพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าได้ด้วยหรือไม่ น่าสนใจมากในส่วนนี้เป็นผลมาจาก Kerr (ทฤษฎีบท 6.1 ในปริญญาเอกของเขา) นั่นหมายความว่าอัลกอริทึม Floyd-Warshall DP แบบคลาสสิกสำหรับปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดของ All-Pairs (APSP) นั้นเหมาะสมที่สุด : ปัญหาย่อยเป็นสิ่งที่จำเป็น สิ่งที่น่าสนใจยิ่งกว่าคืออาร์กิวเมนต์ของ Kerr นั้นง่ายมาก (ง่ายกว่า Jerrum และ Snir ที่ใช้): มันใช้การแจกแจงความจริง a + min ( b , c ) = min ( $\Omega(n^3)$$a+\min(b,c)=\min(a,b)+\min(a,c)$และความเป็นไปได้ที่จะ "ฆ่า" นาทีประตูโดยการตั้งค่าหนึ่งของการขัดแย้งในการวิธีการนี้เขาพิสูจน์ให้เห็นว่าn 3บวกประตูที่มีความจำเป็นที่จะคูณสองn × nเมทริกซ์มากกว่า semiring ( + , นาที ) ในนิกาย 5.9 ของหนังสือโดย Aho, Hopcroft และ Ullman แสดงว่าปัญหานี้เทียบเท่ากับปัญหา APSP$0$$n^3$$n\times n$$(+,\min)$

คำถามต่อไปคือปัญหาเกี่ยวกับเส้นทางที่สั้นที่สุดที่มาเดียว (SSSP) อัลกอรึทึมของ Bellman-Ford DP สำหรับปัญหานี้ (ดูเหมือนว่า "ง่ายกว่า") ก็ใช้ประตู ( n 3 ) สิ่งนี้ดีที่สุดหรือไม่? จนถึงตอนนี้ยังไม่มีการแยกระหว่างปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดทั้งสองเวอร์ชันนี้ ดูเอกสารที่น่าสนใจของ Virginia และ Ryan Williams ตามบรรทัดเหล่านี้ ดังนั้นขอบเขตที่ต่ำกว่า Ω ( n 3 )ในวงจร ( + , min )สำหรับ SSSP จะเป็นผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยม คำถามต่อไปอาจเป็น: แล้วขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับเครื่องหลัง ในร่างนี้$O(n^3)$$\Omega(n^3)$$(+,\min)$ขอบเขตล่างสำหรับเป้มีการพิสูจน์ในรูปแบบที่อ่อนแอของวงจรซึ่งการใช้+ -gates ถูก จำกัด ในภาคผนวก Kerr ได้พิสูจน์การทำซ้ำ$(+,\max)$$+$

ใช่. เรารู้ขอบเขตที่ดีและเรารู้จักพวกเขามาระยะหนึ่งแล้ว

Jerrum และ Snir พิสูจน์ชี้แจงขอบเขตต่ำกว่าวงจรเลขคณิตเดียวสำหรับถาวร 1980 องอาจแสดงให้เห็นว่าแม้แต่ประตูเดียวลบชี้แจงมีประสิทธิภาพมากขึ้น

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวงจรเลขคณิต (โมโนโทน) ตรวจสอบแบบสำรวจของ Shpilka เกี่ยวกับวงจรเลขคณิต

$2k$$k$เดียววงจรเลขคณิตจะใช้เวลาขนาดชี้แจง

นับนี้หรือไม่: ขอบเขตต่ำกว่ากึ่งกลุ่มของ Chazelle สำหรับปัญหาการค้นหาช่วงพื้นฐาน (ในการตั้งค่าออฟไลน์) ขอบเขตที่ต่ำกว่าทั้งหมดนั้นเกือบจะเหมาะสมที่สุด (สูงสุดถึงเงื่อนไขการบันทึกเมื่อขอบเขตล่างเป็นพหุนามและเงื่อนไขบันทึกการทำงานเมื่อขอบเขตล่างเป็น polylogarithmic)