ผู้เยาว์ต้องห้ามสำหรับกราฟ treewidth ที่ถูกล้อมรอบ

คำถามนี้คล้ายกับหนึ่งในคำถามก่อนหน้าของฉัน เป็นที่รู้จักกันว่าเป็นผู้เยาว์ต้องห้ามสำหรับกราฟของ treewidth ที่มากที่สุดที$K_{t+2}$$t$

มีกลุ่มของกราฟที่สร้างขึ้นอย่างสวยงามไม่มีพารามิเตอร์ (นอกเหนือจากกราฟที่สมบูรณ์และกราฟกริด) ซึ่งเป็นสิ่งต้องห้ามเล็ก ๆ น้อย ๆ สำหรับผู้เยาว์ในกราฟของความว่องไวทุกครั้ง กล่าวอีกนัยหนึ่งมีกราฟชัดเจนบนจุดยอดr (ซึ่งไม่ใช่กราฟที่สมบูรณ์) เช่นที่G rเป็นสิ่งต้องห้ามเล็กน้อยสำหรับกราฟของ treewidth มากที่สุดrซึ่งrคือฟังก์ชันของt ?$G_r$$r$$G_r$$r$$r$$t$

ชุดที่สมบูรณ์ของผู้เยาว์ต้องห้ามเป็นที่รู้จักสำหรับกราฟของ treewidth ที่มากที่สุดสาม ดูบทความ Wikipedia นี้สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

เป็นชุดที่สมบูรณ์ของผู้เยาว์ต้องห้ามของกราฟของ treewidth ที่รู้จักกันมากที่สุดสี่?

ถ้า G ถูกสร้างขึ้นจากกราฟที่เล็กกว่า H ซึ่งไม่ใช่ clique โดยการเพิ่มจุดยอดสองจุด x และ y เช่นนั้น x และ y ไม่ได้อยู่ติดกัน แต่ติดกับจุดยอดอื่น ๆ ทั้งหมดของ G ดังนั้น 2 สำหรับในการย่อยสลายต้นไม้ใด ๆ ของGทั้งxและyจะมีลำดับย่อยที่แยกกันหรือมีซ้อนทับย่อย หากพวกมันมีจุดแยกย่อยย่อยทั้งหมดอื่น ๆ ทั้งหมดจะต้องรวมเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างต้นไม้สำหรับxและyซึ่งมันจะตามมาว่า treewidth คือn - $tw(G)=tw(H)+2$$G$$x$$y$$x$$y$$n-2$; สมมติฐานที่ว่าไม่ได้เป็นก๊กนั้นจะสามารถนำมาใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าn - 2 ≥ เสื้อW ( H ) + 2 อีกทางเลือกหนึ่งถ้าxและy ที่ได้ทับซ้อนกัน subtrees ทุกจุดสุดยอดอื่น ๆ จะต้องมีทรีย่อยที่แตะจุดตัดของสอง subtrees ของที่xและy ที่และเราสามารถ จำกัด การสลายตัวต้นไม้แยกที่ให้สลายตัวต้นไม้ในที่xและy ที่มีส่วนร่วมในทุกโหนดต้นไม้$H$$n-2\ge tw(H)+2$$x$$y$$x$$y$$x$$y$

นี่ก็หมายความว่ารูปแบบของกราฟ hyperoctahedral กับ2 kโหนดเป็นผู้เยาว์ต้องห้ามน้อยที่สุดสำหรับความกว้าง2 k - 3 สำหรับกราฟแปดด้านK 2 , 2 , 2เป็นสิ่งต้องห้ามเล็ก ๆ น้อย ๆ สำหรับความกว้างสามซึ่งจากการโต้แย้งข้างต้นแสดงให้เห็นว่ากราฟ hyperoctahedral มีความกว้าง2 k - $K_{2,2,2,\dots}$$2k$$2k-3$$K_{2,2,2}$$2k-2$. และถ้ามีการหดตัวของขอบหรือลบขอบใด ๆ ในกราฟ hyperoctahedral กราฟของสมมาตรช่วยให้เราสมมติว่าการดำเนินการเกิดขึ้นกับหนึ่งในสิบสองขอบในฐานแปดซึ่งทำให้เกิดความกว้างและความกว้างของไฮเพอร์ทาทาเฮดราทั้งหมด สร้างขึ้นจากมันเพื่อลด

(กราฟระดับอื่นที่คุณควรรวมไว้ในคำถามของคุณพร้อมกับกราฟที่สมบูรณ์คือกราฟกริดกริดกริดมี treewidth rมันแยกออกจากกราฟผู้เยาว์ที่สมบูรณ์เพราะระนาบของมัน มากกว่าจุดยอดสี่จุด แต่มันก็ไม่ใช่สิ่งต้องห้ามเล็ก ๆ น้อย ๆ เพราะการเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ น้อย ๆ (เช่นการหดตัวที่มุมมุม) ไม่เปลี่ยนความน่าเชื่อถือของมัน)$r\times r$$r$

ในสิ่งกีดขวางเบาบางและความมุ่งมั่น treewidth ที่แน่นอน , ลูเซนากล่าวว่าในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของแซนเดอ "75 หรือน้อยที่สุดเพื่อให้ผู้เยาว์ต้องห้ามสำหรับ treewidth จะได้รับและเชื่อว่าแม้ว่าจะไม่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่านี่อาจเป็นชุดที่มีการอุดตันทั้งหมด."$\leq 4$