ความซับซ้อนของการทดสอบการเป็นสมาชิกสำหรับกลุ่มอาเบลอัน จำกัด

พิจารณาคริสต์-กลุ่มย่อยสมาชิกทดสอบต่อไปนี้ปัญหา

ปัจจัยการผลิต:

1. จำกัด คริสต์กลุ่มกับพลขนาดใหญ่d_i$G=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_m}$$d_i$

2. สร้างชุดของกลุ่มย่อยG$\lbrace h_1,\ldots,h_n\rbrace$$H\subset G$

3. องค์ประกอบG$b\in G$

ผลลัพธ์: 'ใช่' ถ้าและ 'ไม่' ที่อื่น '$b\in H$

คำถาม:ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพในคอมพิวเตอร์คลาสสิคหรือไม่? ฉันพิจารณาอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพหากใช้เวลาและทรัพยากรหน่วยความจำในความรู้สึกปกติของเครื่องทัวริงแบบดั้งเดิม ขอให้สังเกตว่าเราสามารถสมมติสำหรับกลุ่มย่อย ๆHป้อนข้อมูลขนาดของปัญหานี้คือ\$O(\text{polylog}|G|)$$n= O(\log|G|)$$H$$\lceil \log|G|\rceil$

แรงจูงใจเล็กน้อย ดูเหมือนว่าปัญหาสามารถแก้ไขได้ด้วยอัลกอริทึมเพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นของสมการหรือสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น (อ่านด้านล่าง) อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่ามีความคิดที่แตกต่างกันของประสิทธิภาพการคำนวณที่ใช้ในบริบทของการคำนวณด้วยจำนวนเต็มเช่น: อย่างยิ่งเมื่อเทียบกับเวลาพหุนามอย่างอ่อน, พีชคณิตกับความซับซ้อนบิต ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญเกี่ยวกับคำจำกัดความเหล่านี้และฉันไม่สามารถหาข้อมูลอ้างอิงที่ตั้งคำถามได้อย่างชัดเจน

อัปเดต:คำตอบของปัญหาคือ "ใช่"

• ในคำตอบที่ล่าช้าฉันเสนอวิธีการตามแบบฟอร์มปกติของ Smith ซึ่งมีประสิทธิภาพสำหรับกลุ่มใด ๆ ที่มีแบบฟอร์มที่กำหนด

• คำตอบโดย Blondin แสดงให้เห็นว่าในกรณีที่ทั้งหมดอยู่ในรูปแบบและเป็น "จำนวนเต็มจิ๋ว" ดังนั้นปัญหาจึงเป็นของP} จำนวนเต็มเล็ก ๆ ชี้แจงขนาดเล็กที่มีขนาดการป้อนข้อมูล:|)วันที่ฉัน = N อีฉันฉันไม่มีฉัน , อีฉันNC 3 ⊂ P O ( เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ| |$d_i$$d_i= N_i^{e_i}$$N_i, e_i$$\text{NC}^3\subset \text{P}$$O(\log\log|A|)$

ในคำตอบของฉันฉันใช้ "กลุ่มย่อย orthogonal" เพื่อแก้ปัญหานี้ แต่ฉันเชื่อว่านี่ไม่จำเป็น ฉันจะพยายามที่จะให้คำตอบโดยตรงมากขึ้นในอนาคตตามวิธีแถวแบบแถวระดับที่ฉันกำลังอ่าน

---

แนวทางที่เป็นไปได้บางอย่าง

ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับการแก้ระบบเชิงเส้นของสมการและ / หรือสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น ฉันสรุปการเชื่อมต่อเหล่านี้สั้น ๆ เพื่อความสมบูรณ์

ใช้จะเป็นเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์ที่เป็นองค์ประกอบของการสร้างชุดที่ \ ระบบสมการต่อไปนี้{ h 1 , … , h n$A$$\lbrace h_1, \ldots, h_n \rbrace$

$$Ax^{T}= \begin{pmatrix} h_1(1) & h_2(1) & \ldots & h_n(1)\\ h_1(2) & h_2(2) & \ldots & h_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ h_1(m) & h_2(m) & \ldots & h_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix}$$

มีวิธีการแก้ปัญหาและถ้าหากH$b\in H$

หากปัจจัยวัฏจักรทั้งหมดมีมิติเดียวกันมีอัลกอริทึมที่ยึดตามรูปแบบปกติของสมิ ธ ที่ช่วยแก้ปัญหาในเวลาพหุนาม ในกรณีนี้ขั้นตอนวิธีการที่มีประสิทธิภาพจาก[1] พบว่ารูปแบบปกติของสมิ ธ : มันกลับเมทริกซ์ทแยงมุมและสองเมทริกซ์ผกผันและเช่นว่าDสิ่งนี้ช่วยลดปัญหาในการแก้ไขระบบที่เทียบเท่ากับ diagonal เราสามารถตัดสินใจได้อย่างมีประสิทธิภาพหากระบบมีทางออกโดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด$d=d_i$$A$$D$$U$$V$$D=UAV$$DY=Ub \mod d$$D$

ตัวอย่างข้างต้นชี้ให้เห็นว่าปัญหาสามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้เทคนิคที่คล้ายกันในกรณีทั่วไป เราสามารถลองแก้ปัญหาระบบที่ทำงานแบบแยกส่วนหรือเปลี่ยนระบบให้เป็นระบบสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นที่มีขนาดใหญ่ขึ้น เทคนิคที่เป็นไปได้ในการแก้ไขปัญหาที่ฉันสามารถนึกได้คือ

1. คอมพิวเตอร์สมิ ธ ในรูปแบบปกติของ$A$
2. คอมพิวเตอร์แถวรูปแบบระดับของ$A$
3. การกำจัดแบบเกาส์จำนวนเต็ม

การตรวจสอบว่า (โดยที่เป็นเวกเตอร์ตามความคิดเห็นของ OP) เทียบเท่ากับการตรวจสอบว่ามีวิธีแก้ปัญหาระบบนี้หรือไม่: $b \in \langle h_1, \ldots, h_n\rangle$$h_i$

$$\begin{pmatrix} h_{1}(1) & \cdots & h_{n}(1) & d_1^{e_1} & 0 & \cdots & 0 \\\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\ h_{1}(m) & \cdots & h_{n}(m) & 0 & 0 & \cdots & d_m^{e_N} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1) \\\\ \vdots \\\\ x(n) \\\\ y(1) \\\\ \vdots \\\\ y(m) \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} b(1) \\\\ \vdots \\\\ b(m) \end{pmatrix}$$

ในกรณีของคุณเป็นตัวเลขเล็ก ๆ (เช่นค่าเหล่านี้คือ logartihmic ในขนาดอินพุต) น่าเสียดายที่เราไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่านั้นเล็กมาก$e_1, \ldots, e_N$$d_1, \ldots, d_n$

หากเป็นเช่นนั้นแล้วคุณสามารถหาวิธีการแก้ระบบในจากผลของการ McKenzie & Cook [1] กระดาษนี้จะแสดงให้เห็นว่าการแก้ congruences เชิงเส้นแบบโมดูโลจำนวนเต็มกับปัจจัยเล็ก ๆ (LCON) คือใน 3 นอกจากนี้ปัญหานี้คือ - เทียบเท่ากับปัญหาการเป็นสมาชิกกลุ่มการเปลี่ยนแปลง Abelian (AGM) วิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของ McKenzie จะทุ่มเทอย่างเต็มที่เพื่อให้ปัญหาเหล่านั้น[1] เมื่อเร็ว ๆ นี้ปัญหาเหล่านั้นได้รับการพิจารณาโดย Arvind & Vijayaraghavan [3]$\text{NC}^3$$\text{NC}^3$$\text{NC}^1$

[1] Pierre McKenzie & Stephen A. Cook ความซับซ้อนขนานของปัญหากลุ่มการเปลี่ยนแปลง Abelian 1987

[2]ปิแอร์แม็คเคนซี่ ความซับซ้อนและกลุ่มการเปลี่ยนแปลงที่ขนานกัน 1984

[3] V. Arvind & TC Vijayaraghavan การจำแนกปัญหาเรื่องความสอดคล้องเชิงเส้นและกลุ่มการเปลี่ยนแปลงของ Abelian โดยใช้คลาสการนับ Logspace 2010

หลังจากนั้นครู่หนึ่งฉันพยายามหาอัลกอริธึมที่ไม่เหมาะสม แต่ง่าย ๆ ที่พิสูจน์ว่าความซับซ้อนของปัญหาคือพหุนาม

ขั้นตอนวิธี

(ก) การคำนวณการสร้างชุดของกลุ่มย่อยมุมฉากของH$H^{\perp}$$H$

(b) ตรวจสอบว่าองค์ประกอบเป็น orthogonal ถึงหรือไม่$b$$H^{\perp}$

มีอัลกอริทึม clasical ที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหา (a) และ (b) (ดูการวิเคราะห์ด้านล่าง) นี้จะช่วยให้สมาชิกทดสอบที่มีประสิทธิภาพตั้งแต่องค์ประกอบเป็นฉากกับถ้าหากว่าH$b$$H^\perp$$h\in H$

---

การวิเคราะห์

กลุ่มย่อย orthogonal ถูกกำหนดผ่านกลุ่มอักขระของเป็น: คุณสมบัติหลัก:$H^{\perp}$$G$

$$H^{\perp}:= \{g\in G : \chi_g(h)=1\quad \forall h\in H \}$$

1. $H^{\perp}$เป็นกลุ่มย่อยของG$G$
2. $H^{\perp^\perp}=H$

อัลกอริทึมสำหรับ(a) :

ฉันทำตามอัลกอริทึมจาก [ 1 ] ด้วยการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย เป็นของถ้าหากสำหรับทุกแต่โดยการเชิงเส้นมันก็เพียงพอที่จะแสดงสำหรับ แต่ละกำเนิดของHการขยายตัวในแง่ของ exponentials (ที่นี่ฉันใช้ปัจจัยการสลายตัวโดยปริยาย) เงื่อนไขนี้เทียบเท่ากับ เพื่อแก้สมการเหล่านี้ให้คำนวณโดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดและหมายเลขH ⊥ χ กรัม ( H ) = 1 ชั่วโมง∈ H χ ข ( H ฉัน ) = 1 H ประสบการณ์{ 2 π ฉัน( กรัม( 1 ) ชั่วโมงฉัน ( 1 $g$$H^{\perp}$$\chi_{g}(h)=1$$h\in H$$\chi_{b}(h_i)=1$$H$

$$\begin{eqnarray} \exp \left\lbrace 2\pi i \left( \frac{g(1)h_{i}(1)}{d_1}+\ldots + \frac{g(m) h_{i}(m)}{d_m} \right) \right\rbrace=1 \end{eqnarray}$$ $M:= \text{lcm}(N_1,\ldots,N_d)$$\alpha_i:=M/d_i$\เราสามารถเขียนเงื่อนไขข้างต้นใหม่สำหรับทุก ๆในฐานะระบบสมการเชิงเส้นแบบแยกส่วนได้$i$

$$\begin{pmatrix} \alpha_1 h_1(1) & \alpha_2 h_1(2) & \ldots & \alpha_m h_1(m)\\ \alpha_1 h_2(1) & \alpha_2 h_2(2) & \ldots & \alpha_m h_2(m)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ \alpha_1 h_n(1) & \alpha_2 h_n(2) & \ldots & \alpha_m h_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g(1)\\ g(2)\\ \vdots\\ g(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod M\\ \mod M\\ \vdots\\ \mod M \end{matrix}$$ ตามที่ได้รับการพิสูจน์ใน1ถ้าเราสุ่มตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาแบบสุ่มของระบบนี้ สมการที่เราจะได้รับชุดที่ก่อให้เกิดของกับความน่าจะชี้แจงใกล้กับหนึ่ง{t}$t+\lceil\log|G|\rceil$$H^{\perp}$$p\geq 1 -1/2^{t}$$AX=0 \pmod M$. ที่นี่เป็นเมทริกซ์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเหนือจำนวนเต็มโมดูโลซึ่งอัลกอริทึมที่ให้ไว้ใน2ช่วยให้สามารถคำนวณการสลายตัวปกติของสมิ ธ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ขั้นตอนวิธีการส่งกลับเมทริกซ์ทแยงมุมและสองเมทริกซ์ผกผัน ,เช่นว่าDการใช้สูตรนี้ระบบสมการที่สามารถเขียนเป็นกับXตอนนี้มันเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาการประมวลผลแบบสุ่มของโดยใช้อัลกอริทึมของยุคลิดตั้งแต่นี้เป็นระบบสมการในรูปแบบM ในที่สุดการคำนวณ$A$$M$$D$$U$$V$$D=UAV$$DY=0 \pmod M$$X=VY$$DY=0\pmod M$$d_i y_i =0 \pmod M$$X=VY$หนึ่งได้รับองค์ประกอบแบบสุ่มของกลุ่มมุมฉากตามที่ต้องการ$H^{\perp}$

อัลกอริทึมสำหรับ(b) :

เนื่องจากเราทราบวิธีการคำนวณชุดการสร้างของจึงง่ายต่อการตรวจสอบว่าองค์ประกอบที่กำหนดเป็นของหรือไม่ แรกคำนวณการสร้างชุดของperp} จากนั้นโดยนิยามเป็นของและถ้าหากสำหรับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมดของperp} เนื่องจากมีจำนวน O (polylog ( )) จำนวนและสิ่งนี้สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้เลขคณิตแบบแยกส่วนที่เราทำ$H^{\perp}$$b$$H$$\langle g_1,\ldots, g_s \rangle$$H^{\perp}$$b$$H$$\chi_{b}(g_i)=1$$H^{\perp}$$|G|$