ทำให้การย่อยสลายต้นไม้ที่มีความกว้างน้อยที่สุดโน้มตัวในเวลาพหุนาม

ในฐานะที่เป็นที่รู้จักกันดีต้นไม้สลายตัวของกราฟประกอบด้วยต้นไม้Tกับถุงที่เกี่ยวข้องT v ⊆ V ( G )สำหรับแต่ละจุดสุดยอดv ∈ V ( T $G$$T$$T_v \subseteq V(G)$$v \in V(T)$ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1. จุดยอดของทุกจุดเกิดขึ้นในถุง$G$$T$ T
2. สำหรับทุก ๆ ขอบของ$G$จะมีถุงบรรจุจุดปลายทั้งสองของขอบ
3. ทุกจุดสุดยอด , กระเป๋าที่มีโวลต์ทำให้เกิดทรีย่อยที่เกี่ยวโยงกันของT$v \in V(G)$$v$$T$

นอกจากนี้เรายังอาจเรียกร้องเงื่อนไขต่อไปนี้ที่เรียกว่าleannessจากการย่อยสลายของเรา:

• สำหรับกระเป๋า , T bของTทุกคู่หากA ⊆ T aและB ⊆ T bด้วย| A | = | B | = k , จากนั้น a) มีkจุดยอด - disjoint A - Bเส้นทางในGหรือ b) ต้นไม้Tมีขอบp qบนเส้นทางจากโหนดaไปยังโหนดbเช่นนั้น| ที$T_a$$T_b$$T$$A \subseteq T_a$$B \subseteq T_b$$|A| = |B| = k$$k$$A-B$$G$$T$$pq$$a$$b$และชุด V ( T P ) ∩ V ( T Q )ปริภูมิทั้งหมด - Bเส้นทางในG$|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq k$$V(T_p) \cap V(T_q)$$A-B$$G$

โรบินโทมัสแสดงให้เห็นว่ายังมีการสลายตัวต้นไม้ขั้นต่ำที่มีความกว้างซึ่งยังไม่ติดมันและพิสูจน์ที่เรียบง่ายของความเป็นจริงนี้ได้รับการให้บริการโดยนักเขียนหลายคนเช่นโดยแพทริค Bellenbaum และไรน์ฮาร์ดดสเตล

สิ่งที่ฉันสนใจมีดังต่อไปนี้: จากกราฟและการย่อยสลายต้นไม้ที่มีความกว้างน้อยที่สุดของGเราสามารถหาการสลายตัวของต้นไม้ที่มีความกว้าง น้อยที่สุดของ$G$$G$$G$ในเวลาพหุนามหรือไม่

หลักฐานที่กล่าวถึงทั้งสองไม่ได้ให้ประสิทธิภาพที่สร้างสรรค์เช่นนั้น ในกระดาษของ Bellenbaum และ Diestel มีการกล่าวถึงว่า "อีกบทพิสูจน์สั้น ๆ (สร้างสรรค์มากขึ้น) ของทฤษฎีบทของ Thomas ได้รับใน P. Bellenbaum, Schlanke Baumzerlegungen von Graphen, Diplomarbeit, Universitat Hamburg 2000. " อนิจจาฉันไม่สามารถหาต้นฉบับออนไลน์และภาษาเยอรมันของฉันไม่ได้ดีขนาดนั้น

นี่คือเหตุผลอย่างเป็นทางการว่าทำไมปัญหาไม่ได้เป็นโพลีเวลาแก้ปัญหาเว้นแต่ P = NP เรารู้ว่าการค้นหาความน่าจะเป็นของกราฟที่กำหนดคือ NP-Hard ได้รับกราฟเราสามารถเพิ่มก๊กเคลื่อนขนาดV ( G ) + 1เพื่อสร้างกราฟใหม่G ' นาทีความกว้างต้นไม้การสลายตัวของG 'สามารถรับได้ดังต่อไปนี้มันมีสองโหนดมีถุงหนึ่งมีโหนดทั้งหมดของก๊กและอื่น ๆ ที่มีโหนดทั้งหมดของG ตอนนี้ทำให้ต้นไม้สลายตัวยันจะต้องมีการหาการสลายตัวยันต้นไม้ของกราฟเดิมGซึ่งจะเป็นผลพลอยได้ให้ treewidth ของG$G$$V(G)+1$$G'$$G'$$G$$G$$G$