ความซับซ้อนในการสื่อสารกับผู้ตัดสิน

สมมติกรอบความซับซ้อนในการสื่อสารที่เรามีผู้เล่นสองคน A (เหา) และ B (ob) และ R (eferee) A และ B ไม่สื่อสารโดยตรงกัน ในแต่ละรอบของการสื่อสารแต่ละคนจะส่งข้อความ ($m_A$, $m_B$) เพื่อ R. R คำนวณสองฟังก์ชั่น $f_A(m_A,m_B)$ และ $f_B(m_A,m_B)$และส่งผลลัพธ์ให้พวกเขา ฟังก์ชั่นได้รับการแก้ไข แนวคิดคือการสื่อสารระหว่างผู้เล่นถูก จำกัด ยิ่งไปกว่านั้นผู้ตัดสินอาจทำการประมวลผลข้อความ

ตัวอย่าง:

A และ B ส่งหมายเลขสอง (ขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ) ไปยัง R, R เพื่อตรวจสอบว่าหมายเลขใดดีกว่าและแจ้งผู้เล่น

ในกรอบนี้เราสามารถออกแบบโปรโตคอลอย่างง่ายที่คำนวณฟังก์ชันต่อไปนี้โดยใช้รอบเดียว A และ B ส่ง$x$ และ $y$ ถึง R, R ส่งคืนคำตอบให้กับพวกเขาและพวกมันออกคำตอบ

เห็นได้ชัดว่านี่ไม่ใช่กรณีที่น่าสนใจเนื่องจากฟังก์ชั่นที่เราใช้นั้นเหมือนกับฟังก์ชั่นผู้ตัดสิน กรณีที่น่าสนใจคือเมื่อเรามีความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นคงที่$\vec{a} \cdot \vec{x} \leq \vec{b} \cdot \vec{y}$ และค่าสำหรับตัวแปรจะถูกแบ่งระหว่างผู้เล่น (A มี $\vec{x}$ และ B มี $\vec{y}$) ภารกิจคือการตัดสินใจว่าความไม่เท่าเทียมนั้นถูกต้องหรือไม่ โปรโตคอลในกรณีนี้คือผู้เล่นคำนวณส่วนของพวกเขาแล้วส่งพวกเขาไปยังผู้ตัดสิน

คำถาม:

มีการศึกษาความซับซ้อนของการสื่อสารประเภทนี้หรือไม่? ถ้าใช่ฉันจะหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้จากที่ไหน

หมายเหตุ 1: ในหน้า 49 Kushilevitz และ Nisan พูดถึงกรอบที่เกี่ยวข้องกับผู้ตัดสิน แต่ดูเหมือนจะแตกต่างจากสิ่งที่ฉันถาม

หมายเหตุ 2: ฉันไม่แน่ใจว่าการเรียกผู้ตัดสินเป็นสิ่งที่ถูกต้องหรือไม่โปรดแสดงความคิดเห็นหากคุณมีข้อเสนอแนะที่ดีกว่า

ฉันแน่ใจว่าคุณรู้บทความต่อไปนี้ แต่ฉันใส่ลิงค์ไปเพราะผู้อ่านคนอื่นอาจสนใจ: การแก้ไขโดยเกม

กระดาษนี้เป็นความพยายามที่จะใช้กรอบความซับซ้อนของการสื่อสารเพื่อแสดงขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับเครื่องบินตัด โพรโทคอลถูกใช้เพื่อสร้างวงจร interpolant สำหรับ CNF ที่ไม่น่าพอใจ:

ผู้เล่น $A$ รับอินพุต $a$ และ $y^a$ผู้เล่น $B$ ได้รับ $b$ และ $z^b$. หากมีการพิสูจน์ที่คล้ายต้นไม้ตื้น ๆ ในระนาบการตัดผู้เล่นสองคนจะมีโปรโตคอลการสื่อสารเช่นนั้น

• การสื่อสารใด ๆ จะกระทำโดยผู้ตัดสินซึ่งช่วยในการประเมินความไม่เท่าเทียมในการพิสูจน์
• ปริมาณของการสื่อสารมีขนาดเล็ก (ต้นไม้จะตื้น);
• ผู้เล่นสองคนตัดสินใจว่า $A$ หรือ $B$ เป็นเท็จ
• พวกเขาค้นหาตำแหน่ง $i$ ซึ่งใน $a_i \not= b_i$.

ผู้ชี้ขาดกลายเป็นโปรโตคอลน่าจะเป็นสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน ด้วยวิธีนี้จึงเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนขอบเขตล่างสำหรับโปรโตคอลความน่าจะเป็นต้นไม้ในกรอบการสื่อสารที่มีความซับซ้อนเป็นขอบเขตล่างสำหรับพิสูจน์การตัดต้นไม้เหมือนต้นไม้

หากเรามีขอบเขตล่างสำหรับโปรโตคอลการสื่อสารในรูปแบบของ PLS เราก็จะได้ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับการพิสูจน์การตัดแบบเหมือนโลหะ

ขอให้สังเกตว่าเทคนิคนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับกฎการอนุมานที่เกิดขึ้นจริงของเครื่องบินตัด ถ้าเราสมมติกฎการอนุมานที่จะเป็น (1) การรวมกันในเชิงบวก (2) แบ่งจำนวนเต็มกับชั้นที่เราสามารถสร้างเสียงเดียววงจร interpolant ใช้พาเวลPudlák โต้แย้ง

พูดเพียงไม่กี่ อันดับแรกฉันไม่เห็นเลยว่าทำไมเราถึงต้องการผู้ตัดสินเลย หากผู้เล่นรู้จักฟังก์ชั่นของเขา / เธอทำไมพวกเขาไม่สามารถจำลองผู้ตัดสินได้? อลิซส่ง$m_A$ ถึง Bob เขา (ไม่เห็น $m_A$) คำนวณ $m_B$หลังจากนั้นเขาคำนวณ $f(m_A,m_B)$และบอกผลลัพธ์ให้อลิซ บางทีคุณอาจคิดว่า$f_A$บ๊อบไม่เป็นที่รู้จักและ$f_B$ ถึงอลิซ

ประการที่สองโปรโตคอลที่เกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นแน่นอนน่าสนใจในบริบทของการพิสูจน์การตัดระนาบ ในกรณีนี้มันก็เพียงพอที่จะพิจารณาโปรโตคอลที่รูปแบบของข้อความถูกจำกัด มาก : เพียงแค่ค่าของการรวมกันเชิงเส้นบางส่วนของตัวแปรอินพุตสามารถสื่อสาร

เพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้นสมมติว่าเราได้รับระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม เรารู้ว่าระบบไม่มี$0$-$1$สารละลาย. ตัวแปรจะถูกแบ่งอย่างใดอย่างหนึ่งในหมู่ผู้เล่น (ในลักษณะห้าสิบห้าสิบ); นี่คือสถานการณ์ "พาร์ติชันที่แย่ที่สุด": ฝ่ายตรงข้ามสามารถเลือกพาร์ติชัน "ที่แย่ที่สุด" ให้$0$-$1$สตริงเป้าหมายของผู้เล่นคือการหาความไม่เท่าเทียมที่ไม่พอใจ นั่นคือคำตอบไม่ใช่ตอนนี้เพียงเล็กน้อย แต่ชื่อของความไม่เท่าเทียมกันหนึ่งระบบของเรา (นี่คือเกมการสื่อสารประเภท Karchmer-Wigderson)

ตอนนี้ให้พิจารณาโปรโตคอลที่ถูก จำกัด ดังต่อไปนี้สำหรับเกมดังกล่าว: (i) ผู้ตัดสินทำงานถ้าเพียง $f(\alpha,\beta)=1$ IFF $\alpha \leq \beta$, (ii) ข้อความของผู้เล่นถูก จำกัด ไว้ที่ข้อความเชิงเส้น : ในแต่ละรอบอลิซต้องส่งข้อความของแบบฟอร์ม$m_A(\vec{x})=\vec{c}\cdot \vec{x}$และ Bob ข้อความของแบบฟอร์ม $m_B(\vec{y})=\vec{d}\cdot \vec{y}$.

Impagliazzo, Pitassi และ Urquhart (1994)สังเกตสิ่งต่อไปนี้: หากสัมประสิทธิ์ทั้งหมดที่ใช้ในการพิสูจน์ระนาบการตัดเป็นพหุนามในจำนวนตัวแปรและหากเกมนี้ต้องการ$t$ การสื่อสารนิดหน่อยจากนั้นทุก ๆ ต้น - พิสูจน์ความพอใจของระบบที่กำหนดจะต้องสร้าง $\exp(t/\log n)$ความไม่เท่าเทียมกัน จากนั้นพวกเขาใช้ขอบเขตล่างที่รู้จักกันในความซับซ้อนของการสื่อสารเพื่อให้ระบบที่ชัดเจนต้องการการพิสูจน์ขนาดเอ็กซ์โปเนนเชียล ข้อเสียของผลลัพธ์นี้คือระบบมีการประดิษฐ์มากซึ่งสอดคล้องกับปัญหาการปรับให้เหมาะสมแบบ "ไม่จริง" ดังนั้นจึงเป็นคำถามที่น่าสนใจที่จะเกิดข้อ จำกัด ด้านล่างสำหรับปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพที่ "แท้จริง"

หนึ่งในปัญหาดังกล่าวคือปัญหาชุดอิสระสำหรับกราฟ รับกราฟ $G=(V,E)$ เราสามารถเชื่อมโยงกับแต่ละจุดสุดยอด $u$ ตัวแปร $x_u$ และพิจารณาระบบความไม่เท่าเทียมซึ่งประกอบด้วยความไม่เท่าเทียมกัน $\sum_{v\in V}x_v>\alpha(G)$และความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด $x_u+x_v\leq 1$ สำหรับขอบทั้งหมด $uv$ ของ $G$. ตั้งแต่ทุก ๆ$0$-$1$ วิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบย่อยของความไม่เท่าเทียมกันหลังเหล่านี้ให้ชุดอิสระ $G$ระบบทั้งหมดไม่มีวิธีแก้ปัญหาแบบศูนย์เดียว ความซับซ้อนในการสื่อสารของเกมสำหรับระบบดังกล่าวคืออะไร?

หากกราฟของเรา $=(L\cup R,E)$ เป็นสองฝ่ายแล้วมันก็เป็นธรรมชาติ (สำหรับปฏิปักษ์) ที่จะแบ่งตัวแปรตามส่วนต่าง ๆ ของมัน ในกรณีนี้อลิซได้รับส่วนย่อย$A\subseteq L$บ๊อบชุดย่อย $B\subseteq R$ พร้อมกับสัญญาว่า $|A\cup B|>\alpha(G)$. เป้าหมายคือการหาขอบระหว่าง $A$ และ $B$. ที่นี่$\alpha(G)$ คือหมายเลขอิสรภาพ "bipartite": ขนาดสูงสุดของชุดอิสระที่ไม่ได้อยู่ในทั้งหมด $L$ หรือใน $R$. หนึ่งในปัญหาที่ฉันโปรดปรานคือ: พิสูจน์ว่า$n\times n$ กราฟที่ต้องการ $\omega(\log^2 n)$บิตของการสื่อสารที่มีอยู่

@Kaveh: ขออภัยที่ "ตอบ" คำถามของคุณด้วยคำถาม