ขอบเขตของช่วงเวลาความถี่โดยประมาณ

ให้เป็นลำดับของจำนวนเต็มซึ่งแต่ละ\} สำหรับให้. TH ขณะความถี่ถูกกำหนดให้เป็นเจ ∈ { 1 , 2 , ... , n } ฉัน∈ { 1 , 2 , ... , n } m ฉัน = | { j : a j = i } | $a_1, a_2,\dotsc, a_m$$a_j \in \{1,2,\dotsc,n\}$$i \in \{1,2,\dotsc,n\}$$m_i = |\{j : a_j = i\}|$$k$

$\displaystyle F_k = \sum_{i=1}^n m_i^k.$

ในกระดาษที่รู้จักกันดีความซับซ้อนของพื้นที่ในการประมาณช่วงเวลาของความถี่ Alon และคณะ ให้ขั้นตอนวิธีการสตรีมมิ่งที่ใกล้เคียงกับใช้ประมาณพื้นที่ พวกเขายังใช้เทคนิคการสื่อสารความซับซ้อนเพื่อให้ได้ขอบเขตล่างของสำหรับ5 สำหรับจะให้การจับคู่ส่วนบนและส่วนล่างที่ตรงกันมากหรือน้อย O ( n 1 - $F_k$Ω(n1-$O(n^{1-\frac{1}{k}}(\log n + \log m))$k>5k=0,1,$\Omega(n^{1-\frac{5}{k}})$$k > 5$$k = 0,1,2$

มีการปรับปรุงขอบเขตเหล่านี้ตั้งแต่นั้นมาและมีความคืบหน้าสำหรับ ?$k = 3,4,5$

มีความคืบหน้าพอสมควร ในการแก้ปัญหาที่เฉพาะเจาะจงของมีการจับคู่บนและล่างผูกพันของสำหรับ2 ขอบเขตบนมาจากกระดาษนี้โดย Indyk และดุจดัง (ซึ่งปรากฏใน STOC 2005) และขอบเขตล่างผ่านกรอบข้อมูลซับซ้อนเนื่องจากBar-Yossef et al,และChakrabarti et al,n 1 - 2 / k k > $F_k$$n^{1-2/k}$$k > 2$

สำหรับ k <= 2

1) k = 0 ผูกพันเป็นจากhttp://people.seas.harvard.edu/~minilek/papers/f0.pdf$O(1/\epsilon^2+log(n))$

2) k = 1, กระดาษโดย Alon และทั้งหมดให้การอ้างอิงถึงกระดาษโดย Morris ซึ่งใช้พื้นที่ พื้นที่$\tilde{O}(log(log(n))$

3) k = 2 ฉันคิดว่าร่าง AMS จากกระดาษของพวกเขาเหมาะสมที่สุด

สิ่งที่เกี่ยวข้อง

ฉันคิดว่ามีบางงานที่เกี่ยวข้องกับการประมาณค่าโดยที่ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม http://www.stat.cornell.edu/~li/SODA09_CC.pdfเป็นสิ่งที่ฉันรู้ ผมไม่ได้สมบูรณ์คุ้นเคยกับการนี้ แต่ผมคิดว่าจุดหลักของพวกเขาที่น่าสนใจคือการพึ่งพาและไม่nอัลฟ่าε $F_\alpha$$\alpha$$\epsilon$$n$