PCP ที่ดีสำหรับ NP ให้ PCP ที่ดีสำหรับลำดับชั้นพหุนามทั้งหมดหรือไม่

ทฤษฎีบท PCP ระบุว่าปัญหาการตัดสินใจทุกข้อใน NP มีหลักฐานพิสูจน์ได้ที่น่าจะเป็นไปได้ (หรืออย่างเท่าเทียมกันว่ามีระบบพิสูจน์ที่สมบูรณ์และเสมือนจริงสำหรับทฤษฎีบทใน NP โดยใช้ความซับซ้อนเคียวรีคงที่และบิตสุ่มจำนวนลอการิทึม

"ภูมิปัญญาพื้นบ้าน" รอบทฤษฎีบท PCP (ไม่สนใจสักครู่ความสำคัญของ PCP ต่อทฤษฎีการประมาณ) คือสิ่งนี้หมายความว่าหลักฐานที่เขียนขึ้นในภาษาคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดสามารถตรวจสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพในระดับที่ต้องการโดยไม่ต้องอ่านทั้งหมด หลักฐาน (หรือมากของหลักฐานทั้งหมด)

ฉันไม่สามารถเห็นสิ่งนี้ได้ พิจารณาการขยายลำดับที่สองไปที่ตรรกะเชิงประพจน์ด้วยการใช้ปริมาณที่ไม่ จำกัด (ซึ่งฉันบอกว่าอ่อนแอกว่า ZFC แล้ว แต่ฉันไม่ใช่นักตรรกวิทยา) เราสามารถเริ่มแสดงทฤษฎีบทที่ไม่สามารถเข้าถึง NP ได้โดยการสลับปริมาณ

คำถามของฉันคือไม่ว่าจะมีวิธีที่ง่ายและเป็นที่รู้จักของปริมาณ 'unrolling' ในคำสั่งเชิงประพจน์สูงกว่าเพื่อให้ PCPs สำหรับทฤษฎีบทใน NP นำไปใช้อย่างเท่าเทียมกันกับ PH ทุกระดับ อาจเป็นไปได้ว่าสิ่งนี้ไม่สามารถทำได้ - นั่นคือการยกเลิกค่าใช้จ่ายจำนวนในกรณีที่เลวร้ายที่สุดบางส่วนของความมั่นคงหรือความถูกต้องของระบบพิสูจน์ของเรา

lo.logic pcp polynomial-hierarchy

— Ross Snider
แหล่งที่มา

สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่า PCP สำหรับปัญหาเกือบตามคำจำกัดความจะทำให้เกิดปัญหาใน BPP ซึ่งหมายความว่าเป็นปัญหา

Σ_{2} \cap Π_{2}

$\Sigma_2 \cap \Pi_2$ โดย Sipser – Gács – Lautemann แต่อาจเห็นคำถามที่เกี่ยวข้องนี้ด้วย

— Peter Shor

ฟังดูสมเหตุสมผล แต่ฉันสับสน ถ้าสิ่งนี้ถูกต้องมันจะไม่ใส่ NP ใน BPP หรือไม่

— Ross Snider

อุ่ย ฉันควรจะได้กล่าวว่า MA ซึ่งยังมีอยู่ใน

Σ_{2} \cap Π_{2}

$\Sigma_2 \cap \Pi_2$ .

— Peter Shor

สิ่งนี้จะไม่ทำงาน ค่า PH นั้นทนต่อบทแทรกที่เกี่ยวข้อง พิจารณาบางสิ่งเช่น EXP ^ 2 มันสามารถจัดการ RP, RNP และอื่น ๆ ได้เป็นเรื่องตลก คุณไม่ได้เดินทางไปตามลำดับชั้นอย่างง่ายดาย

— Steve Uurtamo

คำตอบ:

ความจริงของคำสั่งนั้นแตกต่างจากที่มีหลักฐาน (สั้น) ในระบบพิสูจน์ ภาษามีความหมาย แต่ไม่ได้หมายความว่าข้อความที่ถูกต้องทั้งหมดในภาษานั้นมีบทพิสูจน์สั้น ๆ ในระบบ

ทฤษฎีบทไม่ได้บอกว่าคุณสามารถตรวจสอบความจริงของข้อความหรือแม้แต่ความถูกต้องของการพิสูจน์แบบยาวตามอำเภอใจหรือทฤษฎีบทโดยพลการ มันเป็นหลักฐานการเป็นสมาชิกใน $\mathsf{NP}$ ชุดซึ่งตามคำนิยามมีการพิสูจน์ขนาดพหุนาม (ใบรับรอง) ของการเป็นสมาชิก ทฤษฎีบทนี้บอกว่าคุณไม่จำเป็นต้องอ่านหลักฐานการเป็นสมาชิกแบบเต็ม (ขนาดพหุนาม) $\mathsf{NP}$ กำหนดให้ตัดสินใจถูกต้อง

หนึ่งในความหมายของทฤษฎีบทคือการใช้มันกับเซตของ theorems ในภาษาโดยพลการซึ่งมีการพิสูจน์สั้น ๆ (เช่นพหุนามพหุนาม) ในระบบพิสูจน์ที่มีประสิทธิภาพ คำให้การ). ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของ ZFC ซึ่งมีการพิสูจน์ขนาด $n^{100}$ ที่ไหน $n$ คือขนาดของสูตร หากระบบพิสูจน์เป็นเสียงคุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของทฤษฎีที่มีการพิสูจน์สั้น ๆ โดยการอ่านส่วนเล็ก ๆ ของบทพิสูจน์ได้ ฉันคิดว่านี่เป็นความหมายที่ตั้งใจของคำว่า " หลักฐานที่เขียนขึ้นในภาษาคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดสามารถตรวจสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพตามระดับความถูกต้องที่ต้องการโดยไม่ต้องอ่านหลักฐานทั้งหมด "

— Kaveh
แหล่งที่มา

ให้ฉันพยายามอธิบาย

พิจารณาปัญหาการคำนวณดังต่อไปนี้: รับข้อความทางคณิตศาสตร์ (ในระบบสัจพจน์ที่คุณชื่นชอบ) และตัวเลข n ที่ให้ในการเป็นตัวแทน unary ตัดสินใจว่าคำสั่งนั้นมีการพิสูจน์ขนาด n หรือไม่

นี่เป็นปัญหา NP: เมื่อได้รับการพิสูจน์เราสามารถตรวจสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพว่ามันมีขนาด n และเป็นหลักฐานที่ถูกต้องของทฤษฎีบท หมายเหตุ:แม้ว่าคำสั่งนั้นจะเกี่ยวข้องกับปริมาณเช่น FOR ALL มันไม่ได้หมายความว่าผู้ตรวจสอบต้องตรวจสอบความเป็นไปได้ทั้งหมด แต่ก็หมายความว่าผู้ตรวจสอบใช้กฎการอนุมานที่เกี่ยวข้องกับ FOR ALL quantifier

ทฤษฎีบท PCP นำไปใช้กับปัญหานี้และมีรูปแบบการพิสูจน์ (แตกต่างกัน) ที่อนุญาตให้มีการตรวจสอบความน่าจะเป็น

หมายเหตุอื่น (เกี่ยวกับคำกล่าวของ Peter): ตัวตรวจสอบ PCP ใช้การสุ่มแบบลอการิทึมเท่านั้น ซึ่งหมายความว่ามันสามารถถูกแทนที่ด้วยตัวตรวจสอบมาตรฐานตัวตรวจสอบที่ดูการพิสูจน์ทั้งหมด นั่นคือการมีตัวตรวจสอบ PCP สำหรับภาษาวางไว้ใน NP

— Dana Moshkovitz
แหล่งที่มา