มีทฤษฎีบทการทำซ้ำแบบขนานอย่างต่อเนื่องหรือไม่

ทฤษฎีบทการทดลองแบบขนานของ Raz คือผลลัพธ์ที่สำคัญใน PCP, ความไม่เหมาะสม ฯลฯ ทฤษฎีบทนี้ได้รับการ fomalized ดังนี้

เกม , ที่เป็นเซต จำกัดคือการกระจายในและคำกริยา \} กำหนดค่าของเกม และเกมn- fold G ^ n = (\ mathcal {S} ^ n, \ mathcal {T} ^ n, \ mathcal {A} ^ n, \ mathcal { B} ^ n \ n Pi ^, ^ V n) ทฤษฎีบทบอกว่าถ้าวี (G) \ leq 1- \ epsilon,แล้ว$G=(\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B},\pi, V)$$\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$$\pi$$\mathcal{S}\times\mathcal{T}$$V:\mathcal{S}\times\mathcal{T}\times\mathcal{A}\times\mathcal{B}\rightarrow\{0,1\}$

$$v(G)=\max_{h_A\in\mathcal{H}_A,h_B\in\mathcal{H}_B}\sum_{s,t}\pi(s,t)V(s,t,h_A(s),h_B(t))$$ $n$$G^n=(\mathcal{S}^n,\mathcal{T}^n,\mathcal{A}^n,\mathcal{B}^n,\pi^n, V^n)$$v(G)\leq 1-\epsilon,$$v(G^n)\leq (1-\epsilon^c)^{\Omega(\frac{n}{\log\max\{|A|,|B|\}})}$\}})}

คำถามของฉันคือสิ่งที่เกิดขึ้นถ้าเซตไม่มีที่สิ้นสุดในอวกาศอย่างต่อเนื่อง พูดว่า$\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$เป็นส่วนย่อยของช่องว่างพูด$R^n$หรือเว้นวรรคที่เป็นนามธรรมมากกว่า ที่เหลือทั้งหมดเหมือนกัน ทฤษฎีบทของ Raz ให้ขอบเขตบนเพียงเล็กน้อย$1$เนื่องจากชุดคำตอบมีขนาดไม่ จำกัด เห็นได้ชัดว่าค่า$n$ -fold จะถูกล้อมรอบด้วยสำเนาเดียว การลดลงแบบเลขชี้กำลังเกิดขึ้นในกรณีต่อเนื่องหรือไม่ มันน่าสนใจกว่าหรือที่จะ จำกัด$\mathcal{H}_A,\mathcal{H}_B$ให้เป็นคอลเลกชันของฟังก์ชันต่อเนื่องหรือฟังก์ชัน$C^{\infty}$หรือฟังก์ชันที่วัดได้หรือไม่

การลดลงแบบเลขชี้กำลังเกิดขึ้นในกรณีต่อเนื่องหรือไม่

ไม่ Feige และ Verbitsky [FV02] แสดงให้เห็นว่าสำหรับทุก ๆnจะมีเกมG (ที่มีชุดคำถามและคำตอบที่ จำกัด ) เช่นนั้นv ( G ) ≤3 / 4 และv ( G ⁿ ) ≥1 / 8 เนื่องจากการกำหนดของคุณทำให้เกมทั่วไปมีชุดคำถามและคำตอบที่ จำกัด ไม่ว่าจะขนาดใดการทำซ้ำแบบขนาน

[FV02] Uriel Feige และ Oleg Verbitsky การลดข้อผิดพลาดโดยการทำซ้ำแบบขนาน - ผลลัพธ์เชิงลบ Combinatorica , 22 (4): 461-478 ตุลาคม 2002 ดอย: 10.1007 / s00493-002-0001-0