การแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นประมาณ

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้:

อินพุต : ไฮเปอร์เพลน$H = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n: \mathbf{a}^T\mathbf{y} = {b}\}$ , ที่กำหนดโดยเวกเตอร์$\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^n$และ$b \in \mathbb{Z}$ในการแทนเลขฐานสองมาตรฐาน

$\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n = \arg \min d( \mathbf{x}, H)$

$d(\mathbf{x}, S)$$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$$S \subseteq \mathbb{R}^n$$d(\mathbf{x}, S) = \min_{\mathbf{y} \in S}{\|\mathbf{x} - \mathbf{y}}\|_2$

ในคำพูดเราได้รับไฮเปอร์เพลนและเรากำลังมองหาจุดในโครงตาข่ายจำนวนเต็มที่ใกล้กับไฮเปอร์เพลนมากที่สุด

คำถามคือ:

ความซับซ้อนของปัญหานี้คืออะไร?

โปรดทราบว่าเวลาพหุนามที่นี่จะหมายถึงพหุนามในบิตขนาดของอินพุต เท่าที่ฉันเห็นปัญหาน่าสนใจแม้ในสองมิติ ดังนั้นจึงไม่ยากที่จะเห็นว่าเพียงพอที่จะพิจารณาเฉพาะโซลูชันเหล่านั้น$(x_1, x_2)$ด้วย$0\leq x_1 \leq |a_1|/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$แต่นั่นเป็นตัวเลือกมากมาย

ปัญหาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคือการแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นคือการหาเพื่อให้ T x = bหรือพิจารณาว่าไม่มีxดังกล่าวอยู่ ดังนั้นการแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นจึงเท่ากับการหาว่ามีทางออกของค่า 0 กับปัญหาที่ฉันกำหนดไว้ข้างต้นหรือไม่ สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม ในความเป็นจริงแม้แต่ระบบของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามโดยการคำนวณสมิ ธ รูปแบบปกติของเมทริกซ์A ที่ให้ระบบ มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามที่คำนวณรูปแบบสมิ ธ ปกติของเมทริกซ์จำนวนเต็มซึ่งเป็นอันดับแรกที่กำหนดโดย$\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n$$\mathbf{a}^T\mathbf{x} = b$$\mathbf{x}$$\mathbf{A}$คานและ BACHEM

เพื่อให้ได้สัญชาตญาณเกี่ยวกับสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นเราสามารถพิจารณากรณีสองมิติอีกครั้ง เห็นได้ชัดว่าไม่มีการแก้ปัญหาที่แน่นอนถ้าไม่แบ่งข ถ้ามันไม่แบ่งขแล้วคุณสามารถเรียกใช้อัลกอริทึม GCD ขยายเพื่อให้ได้ตัวเลขสองsและtเช่นว่า1 s + 2 T = กรัมคd ( 1 , 2 )และชุดx 1$\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$b$$b$$s$$t$$a_1s + a_2t = \mathsf{gcd}(a_1, a_2)$และ x 2 = T ข/ กรัมคd ( 1 , 2 ) ตอนนี้คุณสามารถดูว่ารุ่นโดยประมาณแตกต่างกันอย่างไร: เมื่อ g c d ( a 1 , a 2 )ไม่แบ่ง bเราจะหาจำนวนเต็ม x 1 , x 2 ได้อย่างไรระยะห่างระหว่าง$x_1 = sb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$x_2 = tb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$b$$x_1, x_2$และบรรทัด a 1 x 1 + a 2 x 2 = bถูกย่อให้เล็กสุด?$(x_1, x_2)$$a_1x_1 + a_2x_2 =b$

ปัญหาสำหรับฉันฟังดูเหมือนปัญหาเวกเตอร์ที่ใกล้เคียงที่สุดที่สุดในโปรย แต่ฉันไม่เห็นการลดลงที่เห็นได้ชัดจากปัญหาอื่น ๆ

เอาล่ะการคิดมากกว่านี้ฉันเชื่อว่าฉันมีการลดปัญหาที่ชัดเจนลงไปสู่การขยาย GCD ฉันจะอธิบายไว้ในกรณี แต่ผมเชื่อว่ามันขยายไปถึงพลn โปรดทราบว่านี่เป็นการค้นหาxที่ลดระยะห่างจากไฮเปอร์เพลนให้น้อยที่สุด แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นx ที่เล็กที่สุด(ในความเป็นจริงแล้วมีค่ามากมายที่ได้รับระยะทางต่ำสุดเท่ากัน) - ฉันเชื่อว่าปัญหาหลังสุดเป็นไปได้เช่นกัน มันมีความคิดที่แท้จริงเลย อัลกอริทึมนั้นใช้หลักการง่ายๆสองสามข้อ:$n=2$$n$ $\mathbf{x}$$\mathbf{x}$

• หากแล้วชุดของค่าดำเนินการในโดย⋅ x = 1 x 1 + 2 x 2เป็นอย่างแม่นยำ{ 0 , ± กรัม, ± 2 กรัม, ± 3 กรัม, … } ; นอกจากนี้ค่าx 1และx 2กับ1 x $g=\mathrm{GCD}(a_1, a_2)$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = a_1 x_1 + a_2 x_2$$\left\{0, \pm g, \pm 2g, \pm 3g, \ldots\right\}$$x_1$$x_2$สามารถพบได้อย่างมีประสิทธิภาพ (นี่คืออัลกอริทึมแบบยุคลิดแบบขยาย)$a_1 x_1 + a_2 x_2 = g$
• ระยะทางต่ำสุดจากไฮเปอร์เพลนไปยังจุดบนขัดแตะคือระยะทางที่น้อยที่สุดจากจุดบนไฮเปอร์เพลนไปจนถึงไฮเปอร์เพลน (ชัดเจน แต่เป็นปัญหาการผกผันที่เป็นประโยชน์)
• ระยะทางจากจุดที่กำหนดถึงไฮเปอร์เพลนa ⋅ y = bเป็นสัดส่วนกับ| a ⋅ x - b | (โดยเฉพาะคือ1 / | a |คูณค่านี้ - แต่เนื่องจากการคูณระยะทางทั้งหมดด้วยค่านี้ไม่มีผลกับตำแหน่งของขั้นต่ำเราจึงสามารถละเว้นปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานได้)$\mathbf{x}$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{y} = b$$\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$$1/|\mathbf{a}|$

นี่เป็นการแนะนำขั้นตอนต่อไปนี้:

• Compute พร้อมกับx 0 1 , x 0 2ดังกล่าวว่า1 x 0 1 + 2 x 0 2 =กรัม$g=\mathrm{GCD}(a_1,a_2)$$x^0_1, x^0_2$$a_1x^0_1+a_2x^0_2 = g$
• คำนวณและคำนวณd=min(b-rg,(r+1)g-b); dคือระยะทางที่เล็กที่สุด (สเกล) จากโครงตาข่ายถึงไฮเปอร์เพลน ให้sเป็นrหรือr+1(=⌈$r = \left\lfloor{b\over g}\right\rfloor$$d =\min(b-rg, (r+1)g-b)$$d$$s$$r$$r+1$ยกเว้นว่าbเป็นผลคูณของg) ขึ้นอยู่กับว่าใครจะบรรลุระยะทางที่น้อยที่สุด$=\left\lceil{b\over g}\right\rceil$$b$$g$
• คำนวณและx 2 = s x 0 2 ; แล้ว⋅ x = s กรัมเป็นหลายที่ใกล้ที่สุดของกรัมเพื่อขและทำให้| a ⋅ x - b | บรรลุขั้นต่ำของระยะนี้ในทุกจุดขัดแตะ$x_1 = sx^0_1$$x_2 = s x^0_2$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = sg$$g$$b$$\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$

เท่าที่ฉันรู้ขั้นตอนเดียวกันแน่นอนควรทำงานอย่างถูกต้องในมิติโดยพล; ที่สำคัญคือว่า GCD มิติยังคงตอบสนองเอกลักษณ์ของเบซูและอื่น ๆ เพื่อหาระยะทางขั้นต่ำที่จะเป็นจุดขัดแตะคุณจะต้องไปหาหลายที่ใกล้ที่สุดของกรัมจะข$n$$g$$b$