ตัวกำหนดของเมทริกซ์ Vandermonde ทั่วไป

มัวร์เมทริกซ์คล้ายกับเมทริกซ์ Vandermonde แต่มีนิยามที่ปรับเปลี่ยนเล็กน้อย http://en.wikipedia.org/wiki/Moore_matrix

ความซับซ้อนของการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของ $n \times n$ แบบเต็มอันดับคืออะไรเมทริกซ์โมดูโลจำนวนเต็มบางตัว?

Moore Moore สามารถลดลงได้จาก $O(n^{3})$ โดยใช้เทคนิค FFT เป็น $O(n\log^{a}n)$ สำหรับ $a \in \mathbb{R}_{+} \cup \{0\}$ บ้างไหม?

ความซับซ้อนของ Moore det modulo เป็นจำนวนเต็มและ Vandermonde det เหมือนกันหรือไม่? ความซับซ้อนของตัวกำหนด Vandermonde คือ $O(n\log^{2}n)$ (หน้า 644 ในคู่มือวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี: อัลกอริทึมและความซับซ้อนโดย Jan Leeuwen)

โพสต์ที่คล้ายกับปัจจุบัน: กำหนดโมดูโล m

cc.complexity-theory algebraic-complexity

— T ....
แหล่งที่มา

ตัวกำหนด Moore สามารถคำนวณได้ในเวลา O (n ^ 3) (บน RAM จำนวนเต็ม) หรือไม่

— Jeffε

@ Jɛ ff E นั่นคือเหตุผลที่ผมกล่าวถึงการสุ่มแบบโมดูโล

N \in N

$N \in \mathbb{N}$

— T ....

ยังไงก็ตามและฉันแค่อยากรู้อยากเห็นมีแอปพลิเคชันที่รู้จักที่จะได้ประโยชน์จากอัลกอริทึม "เร็วมาก" หรือไม่

— Juan Bermejo Vega

FFE ทำคุณเกิดขึ้นที่จะทราบว่าการคำนวณการยกกำลัง modular คู่มากกว่า

อยู่ใน BPP สำหรับจิ๊บจ๊อย

? เพราะนั่นเป็นปัญหาในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของเมทริกซ์

ε

$\varepsilon$

N

$N$

N

$N$

— Juan Bermejo Vega

คำตอบ:

โดยทั่วไปมีอัลกอริธึมทางทฤษฎีเวลาสำหรับการค้นหาการสลายตัว LUของเมทริกซ์โดยพลการโดยใช้อัลกอริทึม Coppersmith – Winogradซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นตัวกำหนดเวลา (เพิ่มเวลา) มีปัญหาอย่างไรก็ตามอัลกอริทึม Coppersmith – Winograd นั้นไม่ได้ถูกนำมาใช้ในทางปฏิบัติ ตอนนี้, คนส่วนใหญ่ใช้อัลกอริทึม Strassen เวลาไม่เพิ่ม lu_factorize ของUBLAS ให้ใช้สิ่งนี้หรือไม่ $O(n^{2.376})$ $O(n)$ $O(n^{2.807})$

ในกรณีของคุณเมทริกซ์ของมัวร์ควรได้รับการปรับให้เหมาะสมที่สุดเพราะโดยทั่วไปการกำจัดแบบเกาส์เซียนเช่นขั้นตอนการย่อยสลาย LU สามารถทำได้อย่างเป็นนามธรรม แน่นอนคุณจะพบว่าดีสูตรสำหรับการคำนวณมัวปัจจัยอ้างอิงจากวิกิพีเดียซึ่งสันนิษฐานหนึ่งพิสูจน์โดยเพียงแค่การทำงานออกจากการสลายตัว LU ทั่วไป $O(n)$

— Jeff Burdges
แหล่งที่มา

สวัสดี Jeff: การอ้างอิงใดที่คุณอ้างถึงสำหรับสูตร O (n ^ 2) ฉันคิดว่า Vandermonde det สามารถคำนวณได้ใน O (nlogn) แต่ฉันไม่สามารถหาข้อมูลอ้างอิงได้ ดังนั้น Moore det ควรอยู่ใน O (nlogn) ด้วยหรือไม่

— T ....

ใช่ฉันควรจะพูดว่า O (n) ชัด ๆ จริงๆ O (n log n) สำหรับ n ขนาดใหญ่

— Jeff Burdges

สวัสดี Jeff: คุณมีข้อมูลอ้างอิงหรือไม่?

— T ....

@JeffBurdges: ถ้าเวลาทำงานคือ O (n log n) "for large n" จากนั้นตามคำนิยามเวลาทำงานคือ O (n log n) ไม่ใช่ O (n)

— Jeffε

ฉันไม่เห็นสูตร

อ้างอิงโดย Wikipedia ที่ดีที่สุดที่จะมีลักษณะ

)

O (n)

$O(n)$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— Peter Taylor

มันเป็นสิ่งสำคัญที่ในนิยามที่คุณให้เมทริกซ์อาศัยอยู่ในสนาม จำกัด บอกว่าโดยที่นั้นสำคัญที่สุด นี้จะช่วยให้คุณใช้ทฤษฎีบทออยเลอร์ในการคำนวณ double-exponentials $\mathbb{Z}_m$ $m$ ที่ปรากฏใน matrix ในเวลา $a^{q^e}\mod m$ ) $O(\log (mn) \; M(\log m))$ ไม่อย่างนั้นมันก็ยากที่จะคำนวณเมทริกซ์สัมประสิทธิ์โดยไม่แยกตัวประกอบ

a^{q^{i}} \equiv a^{q^{i} (\mod φ (m))} (\mod m)

$a^{q^i}\equiv a^{q^i\pmod{\varphi(m)}}\pmod m$

m

$m$ เมตร

หากเป็นสำคัญหรือสามารถ factorised ได้อย่างมีประสิทธิภาพที่เลวร้ายที่สุดกรณีซับซ้อนถูกครอบงำโดยจำนวนของขั้นตอนที่คุณต้องการสำหรับคูณเมทริกซ์ )ตัวอย่างเช่นวิธีการแบบฟอร์มปกติของ Smith ที่ฉันกล่าวถึงในโพสต์พันธมิตรจะคำนวณปัจจัยในเวลา $m$ $O(n^\omega)$ ถ้าคุณใช้ "ช้า" อัลกอริทึมการคูณ*สามารถเลือกที่จะเป็น 2.373 $O\left( n^\omega \; \log^2m\; \log (mn) \right)$ $^*$ $\omega$

คุณได้รับช้าลงใน Moore vs Vandermonde เนื่องจากคุณต้องทวีคูณสัมประสิทธิ์ของเมทริกซ์ เมื่อคุณสามารถ factorise นี้ชะลอตัวลงเป็นเพียง polylogarithmic บนเมตรถ้าไม่อัลกอริทึมที่นำเสนอจะช่วยให้คุณลดคุกเพื่อดับเบิล Modular-ยกกำลังในเมตร $m$ $m$ $\mathbb{Z}_m$

* หมายเหตุ: ขั้นตอนวิธีการได้เร็วขึ้นสำหรับจำนวนเต็มคูณช่วยให้คุณสามารถเปลี่ยน กับ ) $\log^2 m$ $M(\log m \log\log m)$

ปรับปรุง : เป็นไปได้ของการบรรลุ ) $O(n\log^a n)$

ฉันไม่มีคำตอบที่ชัดเจนสำหรับเรื่องนี้ แต่ฉันพบข้อมูลบางอย่างที่อาจทำให้การค้นหาของคุณกระชับ

อัลกอริทึมสำหรับเมทริกซ์โครงสร้างที่คำนวณปริมาณเช่นดีเทอร์มิแนนต์ในเวลา เรียกว่า "superfast" ในวรรณคดี อัลกอริธึม "superfast" ที่รู้จักกันดีทั้งหมดสำหรับเมทริกซ์โครงสร้าง (Vandermonde, Toeplitz, Hankel) ดูเหมือนจะอาศัยคุณสมบัติทั่วไปของเมทริกซ์นี้ที่รู้จักกันในชื่อ หารือเกี่ยวกับบทแรกของหนังสือเล่มนี้(หน้าเปิดการเข้าถึง) หรือในบทความนี้[ACM] , [PDF] $O(n\log^a n)$ [PDF]

จากสิ่งที่ฉันอ่านให้ Moore matrix ถ้าคุณสามารถหาเมทริกซ์ , เช่นเมทริกซ์ใหม่ (หรือ $m\times n$ $M$ $A$ $B$ $L(M)=AM-MB$ ) มีโครงสร้างดังต่อไปนี้ $L(M)=M- AMB$

L (M) = \sum_{k = 1}^{r} g_{k} h_{k}^{T}

$L(M) = \sum_{k=1}^r g_k h_k^T$

และยศมีขนาดเล็ก (คงที่หรือล้อมรอบด้วย $r>0$ ) จากนั้นคุณสามารถใช้ที่มีอยู่เทคนิค (ตรวจสอบบทที่ 5 ของหนังสือเล่มนี้หน้าเปิดการเข้าถึง) เพื่อ triangulariseและดังนั้นการคำนวณใช้ )ด้านบน ,แสดงถึงเวกเตอร์ หากคุณไม่สามารถหาหนังสือด้านบนเพื่ออ่านสิ่งทั้งหมดบทความนี้ยังมีข้อมูลจำนวนมากเกี่ยวกับวิธีการเหล่านี้ $o(\text{min} \;\{m,n\})$ $M$ $\det{M}$ $O(n\log^2 n)$ $g_k$ $h_k$

น่าเสียดายที่ฉันไม่สามารถหาโครงสร้างการกระจัดตำแหน่งต่ำสำหรับเมทริกซ์มัวร์ (Vandermonde มี) ภาวะแทรกซ้อนหลักที่นี่ดูเหมือนจะเกิดขึ้นจากธรรมชาติ "ไม่ใช่เชิงเส้น" ของเลขชี้กำลังสองเท่า ถ้ามันช่วยได้กรณีของ Vandermonde, Cauchy, Toeplitz, Hankel นั้นถูกนำมาใช้ในหนังสือเล่มนี้

— Juan Bermejo Vega
แหล่งที่มา

ฉันสามารถทำให้เมทริกซ์ของฉันอาศัยอยู่ในเขตของถ่าน3

อย่างไรก็ตามขนาดของตัวอักษรสำหรับแอปพลิเคชันที่ฉันต้องการจะมีขนาดใหญ่ ดังนั้น

เป็นรูปแบบ

สำหรับบางขนาดใหญ่พอที่k

3

$3$

m

$m$

3^{k}

$3^{k}$

k

$k$

— ....

3^{k}

$3^k$

ดีที่ไม่ลดความซับซ้อนของความซับซ้อนฉันจะบอกว่าตั้งแต่เขตข้อมูลมีขนาดใหญ่มาก

— ....

φ (3^{k}) = 3^{k} - 3^{k - 1}

$\varphi(3^k)=3^k-3^{k-1}$

a^{q^{i}} \mod m

$a^{q^i}\mod m$

b = q^{i} \mod φ (3^{k})

$b=q^i\mod \varphi(3^k)$ , then

a^{b} \mod 3^{k}

$a^b\mod 3^k$ . You can do this in time

O (\log (n 3^{k}) M (k \log 3))

$O(\log(n3^k)M(k \log3))$ . Using school-multiplication algorithm,

M (n) = n^{2}

$M(n)=n^2$ , and you would get a final "netto" cost of

O (n^{ω} k^{2} l o g^{2} 3 (\log n + k \log 3))

$O(n^\omega k^2 log^2 3 (\log n + k\log 3))$ which is efficient.

— Juan Bermejo Vega

Can we replace

ω

$\omega$ by

1 + ϵ

$1 + \epsilon$ ? That is the cost saving I curious in (may be possible from the matrix structure). With

ω \geq 2

$\omega \ge 2$ , I don't gain anything for my purpose.

— T....