ตัวกำหนดโมดูโล m

สิ่งที่เป็นที่รู้จักกันเป็นกลไกที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณปัจจัยของเมทริกซ์จำนวนเต็มมีค่าสัมประสิทธิ์ในแหวนของสารตกค้างแบบโมดูโลเมตร ตัวเลขmอาจไม่ได้เป็นจำนวนเฉพาะ แต่คอมโพสิต (ดังนั้นการคำนวณจะดำเนินการในวงแหวนไม่ใช่ฟิลด์)$\mathbb{Z}_m$$m$$m$

เท่าที่ฉันรู้ (อ่านด้านล่าง) อัลกอริธึมส่วนใหญ่เป็นการดัดแปลงการกำจัดแบบเกาส์เซียน คำถามเกี่ยวกับประสิทธิภาพการคำนวณของขั้นตอนเหล่านี้

หากเกิดขึ้นว่ามีวิธีการที่แตกต่างกันฉันก็อยากรู้เกี่ยวกับมัน

ขอบคุณล่วงหน้า.

ปรับปรุง:

ฉันขออธิบายที่มาของคำถามนี้ สมมติว่าเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นZ mจึงเป็นสนาม และในกรณีนี้เราสามารถทำการคำนวณทั้งหมดโดยใช้ตัวเลขน้อยกว่าmดังนั้นเราจึงมีขอบเขตบนที่ดีในการดำเนินการทั้งหมดเกี่ยวกับตัวเลข: การเพิ่มการคูณและการผกผัน --- การดำเนินการที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อเรียกใช้การกำจัดแบบเกาส์$m$$\mathbb{Z}_m$$m$

บนมืออื่น ๆ ที่เราไม่สามารถดำเนินการผกผันสำหรับตัวเลขบางอย่างในกรณีที่ไม่ได้เป็นนายก ดังนั้นเราจึงต้องการเทคนิคบางอย่างในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์$m$

และตอนนี้ฉันก็อยากรู้ว่ากลเม็ดที่รู้จักกันดีในการทำงานคืออะไร

ถ้าคุณรู้ว่าตัวประกอบของคุณสามารถคำนวณแบบโมดูโลแต่ละพีอีฉันฉันแยกแล้วรวมผลการใช้ remaindering จีน ถ้าอีฉัน = 1แล้วคำนวณแบบโมดูโลพีอีฉันฉันเป็นเรื่องง่ายตั้งแต่นี้เป็นสนาม สำหรับe i ที่ใหญ่กว่าคุณสามารถใช้การยก Hensel $m = p_1^{e_1} \cdots p_n^{e_n}$$p_i^{e_i}$$e_i = 1$$p_i^{e_i}$$e_i$

มีอัลกอริทึม combinatorial โดย Mahajan และ Vinay ที่ทำงานกับวงแหวน commutative: http://cjtcs.cs.uchicago.edu/articles/1997/5/contents.html

เพื่อแก้ปัญหานี้มีขั้นตอนวิธีการที่กำหนดได้อย่างรวดเร็วขึ้นอยู่กับรูปแบบปกติสมิ ธที่มีความซับซ้อนที่เลวร้ายที่สุดกรณีได้บนล้อมรอบด้วยค่าใช้จ่ายของเมทริกซ์การคูณจำนวนเต็มกว่าแบบโมดูโลเมตรสำหรับเมทริกซ์ใด ๆขั้นตอนวิธีการขับแบบปกติของสมิ ธ จากที่เดชอุดม( )สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดาย$m$$A$$\text{det}(A)$

เพิ่มเติมรูปธรรมกำหนดเพื่อให้สองn × nเมทริกซ์ที่มีสัมประสิทธิ์นำมาจาก Zเมตรสามารถคูณโดยใช้O ( n ω )พื้นฐานดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในZเมตร (นอกจากจำนวนเต็มคูณยกกำลัง ฯลฯ ) จากนั้น$\omega$$n \times n$$\mathbb{Z}_m$$O(n^{\omega})$$\mathbb{Z}_m$

กำหนดเมทริกซ์∈ Z n × nเมตรมีอยู่ขั้นตอนวิธีการที่กำหนดว่าคำนวณเดชอุดม( )โดยใช้O ( n ω )พื้นฐานการดำเนินงานเกี่ยวกับคณิตศาสตร์มากกว่าZม [1]$A\in \mathbb{Z}_m^{n \times n}$$\text{det}(A)$$O(n^{\omega})$$\mathbb{Z}_m$

เมื่อสิ่งนี้ถูกเขียนขึ้นในปี 1996 ไม่มีทางเลือกได้เร็วขึ้นแบบ asymptotically (กระดาษกล่าวถึงการดำรงอยู่ก่อนหน้าของอัลกอริทึมที่มีขอบเขตเหมือนกัน แต่ฉันไม่รู้ว่าอันไหนน่าจะเป็นไปได้หรือไม่)

Update (17 กรกฎาคม 2013):คุณลักษณะโบนัสที่ดีของขั้นตอนวิธีนี้ก็คือว่ามันทำงานในเวลาพหุนามสำหรับพลคอมโพสิต โดยไม่ทราบว่านายก-nuber ตัวประกอบของม ! นี่เป็นสิ่งที่ดีเนื่องจากไม่มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพ (คลาสสิก) ที่รู้จักสำหรับการแยกตัวประกอบ (แน่นอนถ้าคุณมีคอมพิวเตอร์ควอนตัมคุณก็สามารถใช้อัลกอริทึมของชอร์ได้ ) ถ้าคุณทำมีตัวประกอบแล้วอัลกอริทึมมาร์คัสปัญหาดูเหมือนว่าวิธีที่ง่ายในการดำเนินการ$m$$m$

หมายเหตุ:ในกระดาษซับซ้อนของ "การดำเนินงานเกี่ยวกับคณิตศาสตร์พื้นฐาน" คือถ้าคุณใช้คณิตศาสตร์จำนวนเต็มมาตรฐาน แต่คุณสามารถบรรลุO ( M ( บันทึกเมตร) เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบม. )ด้วยเทคนิคการได้เร็วขึ้น M ( t )จำกัด ต้นทุนของการคูณจำนวนเต็มสองจำนวนt -bit ระเบียนปัจจุบันสำหรับωคือ2.3727$O(\log^2 m)$$O(M(\log m)\log \log m)$$M(t)$$t$$\omega$