ความซับซ้อนของปัญหาเซตที่มีอิทธิพลในกราฟย่อยเฉพาะของกราฟ chordal

ฉันสนใจในความซับซ้อนของปัญหาที่มีอำนาจเหนือชุด (DSP) ในบางชั้นเรียนกราฟเฉพาะอย่างซึ่งเป็นคลาสย่อยของกราฟคอร์ดั

กราฟเป็นกราฟเส้นทางที่ไม่ได้บอกทิศทางหากเป็นกราฟจุดตัดยอดของตระกูลของเส้นทางในต้นไม้ที่ไม่ได้บอกทิศทาง ให้ UP เป็นคลาสของกราฟพา ธ ที่ไม่ได้บอกทิศทาง

กราฟเป็นกราฟEPTหากเป็นกราฟตัดกันของตระกูลของเส้นทางในต้นไม้ที่ไม่ได้กำหนดทิศทาง กราฟ EPT อาจไม่ใช่คอร์ด แต่ให้ CEPT เป็นคลาสของกราฟ EPT คอร์ด

กราฟคือกราฟเส้นทางชี้นำ (รูต)หากเป็นกราฟจุดตัดยอดของตระกูลเส้นทางกำกับในต้นไม้กำกับที่มีรากบางต้น (เช่นอาร์คทั้งหมดชี้ไปจากราก) ให้ RDP เป็นคลาสของกราฟพา ธ ที่กำกับ (root)

เรามี$RDP\subseteq CEPT \subseteq UP\subseteq chordal$

เป็นที่ทราบกันว่า DSP สามารถแก้ปัญหาแบบเส้นตรงเวลาสำหรับกราฟใน RDP แต่ NP-complete สำหรับกราฟของ UP [ Booth and Johnson, 1981 ]

ฉันสนใจในกราฟพิเศษที่สอดคล้องกับกราฟจุดตัดของครอบครัวของเส้นทางที่ไม่มีทิศทางในต้นไม้ที่เหมือนหนอนผีเสื้อที่มีระดับสูงสุด 3 อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น "หนอนผีเสื้อ" เหล่านี้ถูกสร้างขึ้นจากเส้นทางที่แต่ละจุดยอดที่สองมีระดับจี้ - หนึ่งจุดสุดยอดที่แนบกับ ให้เราเรียก cat-up ระดับนี้

ยิ่งไปกว่านั้นกราฟพิเศษของฉันยังสามารถสร้างเป็นกราฟตัดกันของบางตระกูลของเส้นทางที่ไม่มีทิศทางในต้นไม้เฉพาะที่มีระดับสูงสุด 3

ดังนั้นคำถามของฉันคือ:

1) ความซับซ้อนของ DSP สำหรับกราฟของ cat-up เป็นที่รู้จักหรือไม่? (โปรดทราบว่าการลด [ Booth and Johnson, 1981 ] สร้างทรีโฮสต์ซึ่งมีระดับสูงสุด 3 แต่ค่อนข้างไกลจากหนอนผีเสื้อ)

2) ความซับซ้อนของ DSP สำหรับกราฟของ CEPT คืออะไร และสำหรับกราฟของ CEPT เกิดจากต้นไม้โฮสต์ที่ระดับสูงสุด 3? ( สิ่งนี้ไม่รู้จักกับ ISGCI )

3) มีความซับซ้อนของ DSP ในตระกูลกราฟที่เกี่ยวข้องหรือไม่?

น่าเสียดายที่คุณรอมานานโดยไม่ได้รับคำตอบใด ๆ ฉันไม่ทราบสำหรับชั้นเรียนที่คุณขอ แต่ฉันรู้ว่าบางชั้นเรียนกราฟที่เกี่ยวข้องและเทคนิคใหม่ที่คุณสามารถลอง

ก่อนอื่นฉันจะพูดถึงว่าSteven Chaplickได้ทำงานเกี่ยวกับการเรียนกราฟที่เกี่ยวข้องเขาทำวิทยานิพนธ์ของเขาเมื่อต้นปีนี้คุณอาจพบว่างานวิจัยของเขาน่าสนใจ

ฉันรู้ว่าผลลัพธ์บางอย่างในทิศทางนี้ตามมาจากคลาสกราฟงานของฉันที่ มีโครงสร้างละแวกใกล้เคียงและแอปพลิเคชันขั้นตอนวิธี นี้ให้เทคนิคทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาต่าง ๆ รวมถึง DSP ในบางคลาสกราฟ เราทำสิ่งนี้โดยการแนะนำการแยกส่วนกราฟใหม่ (ดูวิทยานิพนธ์ของฉัน)

ตัวอย่างเช่นถ้าหากเราจะให้รูปแบบการตัดของขึ้นที่ต้นไม้ที่มีการศึกษาระดับปริญญาสูงสุด d และเส้นทางที่มีความยาวสูงสุด s เราสามารถแก้ปัญหามีอำนาจเหนือชุด(n)$(d-1)^{3(s-1)}poly(n)$

คล้ายกันถ้าเรามีกราฟที่กำหนดด้วยแบบจำลองการตัดกันซึ่งประกอบด้วยเส้นทาง -bend ในตาราง (สำหรับค่าคงที่ k)$0$$k \times n$

เทคนิคเดียวกันอาจใช้ได้กับ CEPT ที่เกิดจากแผนผังโฮสต์ที่ระดับสูงสุด 3 แต่ฉันต้องการเวลาเพิ่มเติมเพื่อทำความเข้าใจกับคลาสนี้ หากคุณมีลิงค์ไปยังการอธิบายลักษณะของคลาสนี้ที่จะช่วย